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湖南省长沙市第一中学 2025 - 2026 学年高三下学期月考(十) 数学试题
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分, 每小题只有一个选项符合要求
1. 已知集合 ，且 ，则
A. 1 B. -1 C. 2 D. -2
2. 复数 的值为
A. -2i B. 2i C. -2 D. 2
3. 已知平面向量 为单位向量，且 ，若 ，则
A. B. C. D.
4. 在 中,角 的对边分别为 . 若 ,则 为
A. 1 B. 2 C. 1 或 2 D. 1 或
5. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,点 在 上,且满足 , ,则 的离心率为
A. B. C. D.
6. 已知定义在 上的函数 有最小值,但无最大值,则 的取值范围是
A. B. C. D.
7. 已知在正三棱台 中， ，此正三棱台存在内切球，则此正三棱台的高为
A. 1 B. C. D. 2
8. 现有 个相同的袋子,里面均装有 个除颜色外其他无区别的小球,第 个袋中有 个红球, 个白球. 现将这些袋子混合后,任选其中一个袋子,并且从中连续取出三个球 (每个球取后不放回),若第三次取出的球为白球的概率是 ,则在前两次取出的球是白球的条件下,第三次取出的球是白球的概率是
A. B. C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求。全 部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9.2025 湖南省足球联赛以全民参与和城市荣誉为理念, 多元融合激活文旅消费, 助推体育产业创新, 创造经济效益超 4 亿元. 下表是常规赛各队的积分:
永州队 常德队 长沙队 株洲队 娄底队 衡阳队 郴州队 岳阳队 益阳队 邵阳队 湘潭队 怀化队 湘西州臥 张家界队
22 26 35 27 23 20 19 19 18 13 11 6 5 4
则下列说法正确的是
A. 积分数据的众数为 19
B. 积分数据的第 70 百分位数为 22
C. 积分数据的中位数为 19.5
D. 积分最高的 4 队积分的方差比积分最低的 4 队积分的方差小
10. 已知抛物线 ，其焦点为 ，准线为 ，过 的直线与抛物线交于 ， 两点，过 ， 分别作 的垂线， 垂足分别记为 ,则
A. 是定值 B. 以 为直径的圆过点
C. 对于 上的任一点 恒成立 D. 面积的最小值为 2
11. 已知数列 满足 为 的前 项和,则
A. 当 时, B. 当 时，
C. ,使得 D. 为等比数列的充要条件是
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分
12. 已知 ,则 _____.
13. 在正方形 所在平面内,动点 在以点 为圆心且与直线 相切的圆上,设 ，则 的最大值为_____.
14. 已知函数 有三个不同的零点 ,且 ,则 的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分, 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15. 如图所示,在四棱锥 中,底面是边长为 6 的正方形 , 平面 ,点 是 的中点,点 是 的中点.
(1)求证: .
(2) 求二面角 的余弦值.
16. 已知数列 的前 项和为 ,对任意 ,满足 ,且 数列 满足 ,其前 3 项和为
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)将数列 ， 的项按照“当 为奇数时， 放在前面；当 为偶数时， 放在前面”的要求进行“交叉排列”,得到一个新的数列: ,求这个新数列的前 33 项和 .
17. 已知直线 与双曲线 有唯一的公共点 .
(1)若点 在直线 上，求满足条件的所有直线 的方程；
(2) 已知直线 的斜率为 ，且 ，过点 且与 垂直的直线交 轴于 ，交 轴于 点. 是否存在定点 使得当点 在双曲线上运动时,动点 使得 为定值？若存在,求出点 的坐标和定值; 若不存在,请说明理由.
18. 已知函数 ( 为自然对数的底数).
(1) 求证: 时, :
(2) 设 的解为 .
① 当 时，求 的取值范围；
②判断是否存在 ，使得 成立，并说明理由.
19. 现有一款益智棋类游戏，棋盘由全等的正三角形组成 (如图所示)，假设棋盘足够大. 一颗质地均匀的正方体骰子,六个面分别以 标号. 在棋盘上,以 为原点建立平面直角坐标系,设点 的坐标为 . 棋子初始位置为坐标原点,投掷骰子 次,用 表示第 次投掷后棋子的位置 为坐标原点 ,规定: 得偶数的总次数.
(1)求点 所有可能的坐标；
(2)求投掷骰子 8 次后棋子在原点的概率；
(3)投掷骰子 80 次，记棋子在原点且投掷过程中掷得奇数的次数恰为 的概率为 ，求 的表达式，并指出当 为何值时， 取得最大值.
参考答案
1.
由 ,得 ,
所以 或 或 ,解得 或 或 或 .
当 时, ,不符合集合元素的互异性,故舍去.
当 时, ,不符合集合元素的互异性,故舍去.
当 时, ,符合题意.
当 时, ,不符合集合元素的互异性,故舍去.
故 .
2.
.
3.
由向量 为单位向量,又 ,知 .
因为 ,则 ,
所以 .
4.
因为 ,由余弦定理得 ,化简得 0,则 或 .
5. A
设 ,则 ,在 中,由正弦定理得 ,
又因为 ,所以 ,整理得 ,
因为 为三角形内角, ,所以 ,则 ,
故 ,即 是以 为直角顶点的直角三角形,
在 中, ,由勾股定理得 ,代入 ,得 ,解得 ,所以 ,
根据椭圆的定义，有 ,所以 ,
因此,椭圆的离心率 .
6.
,
因为 ,则 ,
又 有最小值,但无最大值,所以 ,解得 .
7.
由题可知上下底正三角形的高分别为 , 由几何体结构特征结合题意可知内切球与上、下底面切点为上下底的重心, 如图，取 和 的中点分别为 ，上、下底面的中心分别为 ， 则 .
设内切球的球心为 ,半径为 ,则正三棱台的离 ,
内切球与 相切于点 ,根据圆的性质可知, .
则 ,
如图:
所以 ,即 ,
所以正三棱台的高为 2 .
8.
设 “取出第 个袋子” 为事件 ， “从袋子中连续取出三个球，第三次取出的球为白球” 为事件 ，
则 ,且 两两互斥, ,
所以 ,
所以
.
令 ,解得 .
所以第 1 个袋子 红4白; 第 2 个袋子 红3白;
第 3 个袋子 红2白; 第 4 个袋子 红1白;
第 5 个袋子 红.
设前两次取出白球为事件 ,第三次取出白球为事件 ,则 .
所以 .
故在前两次取出的球是白球的条件下,第三次取出的球是白球的概率是 .
9.
将 14 支球队的积分,按照从小到大的顺序排列:4,5,6,11,13,18,19,19,20,22,23,26,27 , 35 :
积分数据的众数为 选项正确；
因为 ,所以积分数据的第 70 百分位数为第 10 个数据,即 选项正确:
积分数据的中位数为 选项错误;
积分最高的 4 队积分的平均数为 ,积分最高的 4 队积分的方差 ,
积分最低的 4 队积分的平均数为 ,积分最低的 4 队积分的方差
所以积分最高的 4 队积分的方差比积分最低的 4 队积分的方差大, 选项错误.
10.
抛物线 的焦点 ,准线 ,设直线 ,
由 消去 ,得 ,则 ,
对于 正确:
对于 ,连接 ,由 ,
得 ,则 ,
因此以 为直径的圆过点 正确;
对于 ,取 中点 ,当 为 中点时, ,则 错误;
对于 ,
当且仅当 时取等号,因此 面积的最小值为 正确.
11. BCD
对于 ,由 ,
,
由递推关系以下过程重复操作,后面各项依次为 所以数列 除了 外,从 开始成周期为 3 规律,
从 到 共 2025 项,2025是 3 的倍数,所以 ,故 错误;
对于 ,根据选项 可知, ,故 正确;
对于 ,取 ,则 ,则 ,
依此下去,对 ,都有 ,此时 ,
,即 ,使得 ,故 正确;
对于 ,若 ,则 ,则 ,
依此下去,对 ,都有 ,则 成立,
故 ,数列 为等比数列;
若数列 为等比数列,设公比为 ,
假设数列 中存在某项 ,则 ,
可得 ,又 ,解得 ,
由 ,可知 ,故必存在某项 ,则 ,
即 ,这与公比 矛盾,假设错误,
即数列 中任意一项都小于 3,自然 ;
再假设数列 中存在某项 ,则 ,即 ,
则由 ,可知 时, ,且数列 为递增数列,
故存在某项 ,则 ,这与数列递增矛盾,假设也错误:
所以数列 中也不存在大于 0 且小于 3 的项,又等比数列中各项均不为 0,
故数列 中任意一项均小于 0,即 ;
综上所述， 为等比数列的充要条件是 ，故 正确.
12.0
由题意可知,令 ,则 .
13.3
如图,设正方形 的边长为 1,以 为原点, 为 轴, 为 轴建立平面直角坐标系,
则各点坐标为 ,
直线 的方程为 ,
由题意得,圆 与直线 相切,
所以圆 的半径 等于点 到直线 的距离,即 ,
所以,动点 的轨迹方程为 ,
因为 ,所以 ,
设 ,则 ,所以 ,
问题转化为: 在圆 上,求 的最大值,
设 ,即 ,
当直线 与圆 相切时, 取得最值,
圆心 到直线 的距离等于半径,即 ,解得 ,
所以 ,因此, 的最大值为 3 .
14.5
由题意得 ,
所以 1 是函数 的一个零点,
当 时,令 ,可得 ,
令
所以 关于 对称,
若要函数 有三个不同的零点 ,
则需满足方程 有两个实数根,
即函数 与 有两个交点,且两交点关于直线 对称,
又 ,可得 ,
所以 ,
当且仅当 时,等号成立,
此时 的最小值为 5 .
15. (1) 取 的中点 ,连接 ,
因为点 是 的中点,点 是 的中点,
可得 ,且 ,而 ,且 ,
所以 且 ,所以四边形 为平行四边形,所以 ,
又因为 平面 ,而 平面 ,所以平面 平面 ,
因为 平面 ,平面 平面 ,
所以 平面 ,而 平面 ,所以 ,所以 :
(2) 以 为坐标原点,以 所在的直线分别为 轴建立空间直角坐标系,
，底面是边长为 6 的正方形 ，点 是 的中点，点 是 的中点，
则 ,
所以 ,
所以 ,
易得平面 的法向量 ，
设平面 的法向量为 ,
则 ,即 ,令 ,则 ,
可得 ,
所以 ,
因为二面角 的平面角为锐角,所以它的余弦值为 .
16. (1) 且 ，所以，数列 是以 1 为首项，以 为公差的等差数列，
.
当 时, .
也适合上式,所以, .
,即 ,
所以,数列 为等差数列,设其公差为 ,则 ,
,所以,数列 是正项等比数列,设其公比为 ,则 .
由题意可得 ,解得 ,
因此, .
(2) 数列 的前 项和为 ,
数列 的前 项和为 ,
① 当 。 时, :
② 当 。 时,
特别地,当 时, 也适合上式:
③ 当 。 时，
综上所述,
所以 .
17. (1) 因为直线 与双曲线 有唯一的公共点 ,
所以直线 与双曲线渐近线平行或者与双曲线相切:
双曲线渐近线 ,
情况一:直线 的斜率不存在。
此时直线 的方程为: ,不符合题意;
情况二:直线 的斜率存在.
设直线 的方程为: ,即 ,
将直线方程代入双曲线方程中得到: ,
直线平行于双曲线的渐近线,此时 ,
直线 的方程为: 或者 ;
直线与圆锥曲线相切,
此时 ,且 ,
设切点 ,则 ,过点 的切线方程为 ,
因为点 在直线 上,所以代入切线方程可得 ,
所以代入双曲线方程得: ,
解得 或 ,
当 时, ,切点为: ,
切线方程为 ,
当 时, ,切点为: ,
切线方程为 ,
综上,满足条件的直线 的方程为有以下四条:
(2) 直线 的斜率为 ，且 ，所以直线 为切线，
由 (1) 过点 的切线方程为 ,
所以 ,
过点 且与 垂直的直线 (法线) 的斜率为: ,
法线方程为: ,
因为该直线交 轴于 ,交 轴于 点,
所以令 得: ,所以 ,同理可得 ,
所以动点 的坐标为 ,因为 ,
所以设 ,则 ,
所以 ,化简得 ,
所以动点 的轨迹方程为 ,
根据双曲线的定义,双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值为常数 ,
因为 ,
所以 ,
该双曲线的焦点坐标为: ,
对于双曲线上的任意点，都有 ，
所以存在定点 使得当点 在双曲线上运动时,动点 使得 为定值，定点坐标为 ,定值为 .
18. (1) ,令 ,求导得: ,
令 ,则 在 上单调递减,
在 上单调递减,则 ,即 , 所以 时, .
(2) ,当 或 或 时, , 当 或 时, ,
于是得 在 上都递增,在 上都递减, 而 ,
又 时, 的部分图象大致如图,
观察图象知,当 时,又 ,必有 ,
令 ,因 在 上递减,则 在 上递减,
因此, 在 上递增,则当 时, ,
所以 的取值范围是 ;
②不存在，
因 ，则当 时，而 ，必有 ，即 不成立，
当 时, 不存在或者 ,有 ,即 不成立,
当 时, ,令 ,
而当 时, ,则 ,即 在 上递增,
,因此, ,于是得 ,
又 , ,且函数 在 上递增,故有 ,即 不成立,
综上,不存在 ,使得 成立.
19. (1) 由题意,点 可能的坐标为 .
(2) 令向量 ,
则当 时, ; 当 时, ;
当 时 ,其中 ,且 .
要保证 为原点,则在 8 次投掷过程中,掷得奇数的次数 应为 0,3,6 .
①若 ，即 8 次投掷全部为偶数，共 1 种情况:偶偶偶偶偶偶偶偶；
②若 ，即 8 次投掷过程中有 5 次偶数，3 次奇数，则共 8 种情况；
奇偶奇偶奇偶偶偶, 奇偶奇偶偶偶偶奇, 奇偶偶奇偶偶奇偶, 奇偶偶偶偶奇偶奇,
偶奇偶奇偶奇偶偶,偶奇偶偶奇偶偶奇,偶偶奇偶奇偶奇偶,偶偶偶奇偶奇偶奇;
③若 ，即 6 次奇数，仅有 1 种情况:奇奇偶奇奇偶奇奇.
故 为坐标原点的概率 .
(3) 当 不是 3 的倍数时,显然有 .
以下讨论当 是 3 的倍数的情况. 不妨设 ,则掷得偶数的次数为 次.
记进行加向量 为操作 ，加向量 为操作 ，加向量 为操作 ，不做任何操作记为操作 .
定义操作小结: ,其中 可以为 0 .
在 80 次投掷产生的操作过程,可分为若干操作小结. 注意到 1 个操作小节中有 2 次操作 ,每两个操作小节也由操作 连接,所以共有 个操作小节,如下图所示:
所以有 其中 .
由隔板法可知，上述不定方程共有 组解，而每一组解对应着一种满足题意的投掷，于是有
. 综上,有
因此,当 ,即 时, 取得最大值.

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