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2026 年春季期中考高二数学科试卷
考试时间:120 分钟 总分:150 分
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。
1. 在 的展开式中，含 项的系数是( )
A. 21 B. 84 C. -21 D. -84
2. 函数 在 处的瞬时变化率为( )
A. -6 B. 1 C. 6 D. 12
3. 随机变量 与 满足 ，若 ，则 ( )
A. 8 B. 5 C. 4 D. 2
4. 泉州市为做城市营销，计划将 5 本不同的城市宣传册分给甲、乙、丙三个志愿者小屋. 若要求每个志愿者小屋至少得到 1 本，则不同的分配方法共有( )
A. 240 种 B. 180 种 C. 150 种 D. 300 种
5. 某人外出，委托邻居给家里盆栽浇一次水，若不浇水，盆栽枯萎的概率为 0.8；若浇水，盆栽枯 萎的概率为 0.2 . 若邻居浇水的概率为 ，该人回来盆栽没有枯萎的概率为 0.74，则实数 的值为 ( )
A. 0.9 B. 0.85 C. 0.8 D. 0.75
6. 已知函数 的导函数 满足: 对任意的 都有 ,若 , 则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
7. 某教师准备对一天的五节课进行课程安排，要求语文、数学、外语、物理、化学每科分别要排一节课，则数学不排第一节，物理不排最后一节的情况下，化学排第四节的概率是( )
A. B. C. D.
8. 若 ,则( )
A. B.
C. D.
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9. 象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值. 它具有红黑两种阵营，将、车、 马、炮、兵等均为象棋中的棋子. 现将 3 个红色的“将”“车”“马”棋子与 2 个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则下列说法正确的是 ( )
A. 共有 120 种排列方式 B. 若两个“将”相邻，则有 24 种排列方式
C. 若两个“将”不相邻，则有 72 种排列方式 D. 若同色棋子不相邻，则有 12 种排列方式
10. 如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中就有出现，则下列关于“杨辉三角”的性质中正确的是( )
A. 第 2026 行的第 1013 个数最大
B. 第 8 行所有数之和为 256 第1行
C. 第2行
D. 记第 2 行第 3 个数字为 4 ，第 3 行第 3 个数字为第4行 ,第 行的第 3 个数字为 ,则
11. 已知函数 ，其导函数为 ，下列说法正确的有( )
A. 若 ，则
B. 时， 的单调递减区间为
C. 时， 为 的极值点
D. 时， 无零点
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 已知随机变量 的分布列为
1 2 3
0.2 0.4 0.4
则 的值为_____.
13. 已知 ，则 _____.
14. 已知函数 ,若不等式 在 上恒成立,则实数 的取值范围是_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分) 已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求 的单调区间和极值.
16. (15 分)甲、乙两个箱子装有大小及外观相同的小球，甲箱中有 5 个白球和 3 个黑球，乙箱中有 4 个白球和 3 个黑球.
(1)若从甲箱中任取 2 个小球，求这 2 个小球同色的概率；
(2)若先从甲箱中任取 2 个小球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取 1 个小球，求从乙箱中取出的球是白球的概率.
17. (15 分) 已知函数 存在两个极值点 ,记 . (1)若 ，求 的值；
(2)若曲线 上存在点 ，使得 ，求 的取值范围.
18. (17分)某种比赛采用“ 2n+1 局 胜”(n∈N’)制(即累计先赢 局者获得本场比赛胜利). 在该比赛中，选手甲对阵选手乙，假设每一局比赛甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 (每局比赛结果相互独立,不受之前战局影响,且无平局).
(1)当 时，若 ，结束比赛时，比赛的局数为 ，求 的分布列与数学期望；
(2)如果选择以下方案中的一种:
方案一:若采用“5 局 3 胜”制，甲累计先赢 3 局比赛结束的概率为 .
方案二:设甲乙赛满 5 局比赛，甲至少赢 3 局比赛的概率为 .
比较 和 的大小;
(3)记“ 局 胜”( )制比赛中甲获得最终胜利的概率为 ，记“ 局 胜”( )制比赛中,甲在第一局输的条件下甲获得最终胜利的概率为 ,证明: .
19. (17 分) 已知函数 ,其中 .
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时， ，求实数 的取值范围；
(3)若存在不等实数 和 ，满足 ，且 ，求 的取值范围.
2026 年春季期中考高二数学科
《参考答案及评分标准》
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D A C A D B B ACD BCD
题号 11
答案 ABD
6. D
令 ,则 ,因为对任意的 都有 , 所以 ,所以 在 上单调递减,
不等式 等价于 ,
即 ,所以 ,解得 ,故选: D.
7. B
事件 :数学不排第一节，物理不排最后一节.
若物理安排在第一节，其它 4 节课安排 4 科，作全排有 种；
若物理不在第一节，中间 3 节课任选一节上物理，余下的 4 节课去掉第 1 节课的 3 节课中任选一节上数学，最后剩下的 3 节课安排 3 科，做全排有 A；和；
综上,事件 的安排数有 种;
事件 :化学排第四节.
若物理安排在第一节，其它 3 节课安排 3 科，作全排有 种；
若物理不在第一节，中间前 2 节课任选一节上物理，余下的 1 节课和最后一节课任选一节上数学， 最后剩下的 2 节课安排 2 科，做全排有 种;
综上，事件 的安排数有 种;
5 科任意排有 种,所以 , 故满足条件的概率是 . 故选: B
8. B
因为 ,所以 ,
又 ,所以 ,
所以 ,设 ,则 ,
当 时， ，仅当 时等号成立，则 在 上单调递减，
而 ,故 ,即 ,所以 ,综上所述,可得 . 故选: B 10. BCD
A 错,因为第 2026 行的第 个数是 ,由组合数性质可知, 为 的最大值，所以第 2026 行的第 1014 个数最大；
B 对，由二项式系数的性质知，第 行各数的和为 ，所以第 8 行所有数之和为 ；
对,因为
；
由题意知
,故 正确. 故选: BCD.
11. ABD
易知 的定义域为 ,
对于 ,因为 ,则 ,
当且仅当 时取等号,故 正确;
对于 ,当 时, ,
由 ,解得 ,又 在 处有意义,
所以 的单调递减区间为 ，故 正确；
对于 ,当 时, ,
因为 ,所以 恒成立,当且仅当 时取等号,
故 在区间 上单调递增，则 无极值点，故 错误；
对于 ,因为 ,当 时,易知 在区间 上单调递减,
又 时, ,
所以 ,使得 ,即 ,
当 时, ,当 时, ,
所以 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减,
则 ,
令 ,则 ,
当 时， ，则 在区间 上单调递增，所以 ， 即 ，所以 恒成立， 无零点，故 D 正确. 故选:ABD
12. 21.2
13.
由 ,即 ,解得 ,
又 ,即 ,解得 ,而 ,
则 ，所以 . 故答案为:
14.
函数 的定义域为 .
因为
所以 是奇函数. .
由基本不等式, ,当且仅当 时取等号且 ,
得 . 因此 在 上严格单调递增.
由 ,得 .
于是 ,参变分离得 ,在 上恒成立,
令 ,利用 ,化简得 ,
设 ,因 ,故 在 上严格单调递增,
因此 的取值范围为: ,
令 ,令 ,得 .
当 时， 单调递减；当 时， 单调递增.
因此 在 处取得最小值:
,即 在 上的最小值为 .
要使 恒成立，只需 ，即 的取值范围是 .
15.(1)由题意知 , .1 分则 , .3 分
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .5 分
(2) 的定义域为 ，由(1)知 ， .6 分
令 ,得 或 ;
令 ,得 或 ,
所以 的单调递增区间为 和 ,单调递减区间为 和 . .11 分易知 的极大值为 ,极小值为 . .13 分
16.(1)从甲箱中任取 2 个小球的事件数为 ， ..1 分
这 2 个小球同色的事件数为 , .2 分
所以这 2 个小球同色的概率为 . ..4 分
(2)设事件 为“从乙箱中任取 1 个小球，取出的这个小球是白球”，
事件 为“从甲箱中取出的 2 个小球都是白球”,
事件 为 “从甲箱中取出的 2 个小球为 1 个白球 1 个黑球”,
事件 为“从甲箱中取出的 2 个小球都是黑球”, .6 分
则事件 彼此互斥. .7 分
..10 分
所以
, ..14 分所以取出的这个小球是白球的概率为 . .15 分
17.(1)因为 ，则
因为函数 有两个不等的极值点 ,则 ,可得 , 令 ,解得 ,
因为 ,
此时 , .4 分
所以 ,
整理可得 ,解得 . .6 分
(2)因为 、 ，则 ，
所以点 在线段 的中垂线 上. .8 分
又 在曲线 上,则方程 存在正数解,
即 在 存在零点. ..10 分
可知 ,
由 可得 ,由 可得 ,
故 在 上单调递增,在 上单调递减 ..12 分
因为 ，由零点存在定理可知，只需 即可，
可得 ,又因为 ,解得 , .14 分
所以 的取值范围为 . ..15
分
18.( 1 )由题意， ， ，即采用 3 局 2 胜制， 所有可能值为 2,3, .1 分则 ; .3 分则 的分布列如下，
2 3
1 2 1 2
所以 . .5 分
(2)由题意，采用“5 局 3 胜”制，甲只要取得 3 局比赛的胜利，比赛结束且甲获胜，
则 ; .7 分
在甲乙比赛满 5 局，甲至少取得 3 局比赛胜利，
设甲嬴的局数为 ，那么 服从二项分布，即 ， .8 分
则 , .9 分
所以 . .10 分
(3)设甲乙进行 局比赛，甲赢的局数为 ，则 ， ， .11 分 “ 局 胜”制游戏中，甲第一局输的条件下，甲要获得最终胜利可拆解为:
若第 2 局甲输,则后续最多 局比赛,甲至少胜 局,
若第 2 局甲胜,则后续最多 局比赛,甲至少胜 局, .13 分
由全概率公式得
.16 分
故 .17 分
19.(1) 函数 中 ,当 时, ; 当 时, 当 时，函数 的定义域为 ；当 时，函数 的定义域为 ， 1.1 分
求导得 ,令 ,解得 ,
当 时，由 ，得 ；由 ，得 ，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减； .2 分
当 时，由 ，得 ；由 ，得 ，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减， .3 分
所以当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减. .4 分
(2)函数 ，求导得 ，当 时， ；当 时， ，
函数 在 单调递增，在 单调递减， .5 分
而 ,
则 ，而 ，
因此当 时， 恒成立， .7 分
令函数 ,求导得 ,
当 时, ; 当 时, ,
函数 在 上递减，在 上递增，
,令函数 ,求导得 ,
函数 在 上单调递增，当 时， ，则 ，
所以 的取值范围为 .10 分
(3) 由 ,得 ,则 ,即 ,
令 ,则 , ..12 分
令函数 ，求导得 ，
令函数 ,求导得 ,
函数 在 上单调递增， ，
因此 ,函数 在 上单调递增,则 , .15 分
由函数 的单调性可知，其在 上单调递减，
则 , .16 分
即 ，所以 的取值范围是 .17 分

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