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福建省厦门第一中学 2025-2026 学年度 第二学期期中考试 高二年数学试卷
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题5 分, 共 40 分.在每个小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知函数 ,则
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2. 已知数列 是等差数列,且 ,则
A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
3. 设随机变量的分布列如表所示,且 ,则
0 1 2 3
0.1 0.1
A. 0.2 B. 0.1 C. 0.15 D. 0.4
4. 的展开式中 的系数是
A. 10 B. 15 C. 20 D. 30
5. 对于三次函数 ,给出定义: 设 是函数 的导数, 是 的导数,若方程 有实数解 ,则称点 为函数 的“拐点”. 经过探究发现: 任何一个三次函数都有“拐点”, 任何一个三次函数都有对称中心, 且“拐点”就是对称中心. 设函数 ，则
A. 0 B. 2 C. 4 D. 6
6. 无重复数字的三位偶数的个数为
A. 136 B. 328 C. 360 D. 720
7. 已知 是双曲线 的右焦点,直线 与双曲线 交于 两点, 其中 在第一象限， ，且 ，则双曲线 的离心率为
A. B. C. D.
8. 学校食堂每餐推出 、 两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐,若他前 1 天选择了 套餐,则第 2 天选择 套餐的概率为 ; 若他前 1 天选择了 套餐,则第 2 天选择了 套餐的概率为 . 已知他开学第 1 天中午选择 套餐的概率为 ，在该同学第 3 天选择了 套餐的条件下,他第 2 天选择 套餐的概率为
A. B. C. D.
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 选错得 0 分.
9. 记圆 ,圆 ,则
A.
B. 若坐标原点在圆 上,则点 在圆 上
C. 若圆 与圆 内切,则
D. 当 时,圆 与圆 的相交弦方程为
10. 我国南宋数学家杨辉在 1261 年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角, 由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的. 以下关于杨辉三角的说法正确的是
A. 第 6 行从左到右第 4 个数是 15 B. 第 2026 行的第 1014 个数最大
C. D. 记第 行的第 个数为 ,则
11. 已知棱长为 4 的正方体 中，点 为棱 的中点，动点 满足 ,其中 ,则下列结论正确的是
A. 若 ，则
B. 若 ，则点 到平面 的距离为
C. 若 ，则直线 与直线 所成角的最小值为
D. 若 与 夹角为 ，则 的最小值为
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 直线 的一个方向向量为 ,平面 的一个法向量为 ,且 ,则 _____▲_____.
13. 城区某中学安排 5 位老师到 三所乡村中学任教，要求每个乡村中学至少安排 1 位老师，每位老师只能去 1 个中学支教，则不同的安排方式有_____▲_____种.
14. 已知 ,若对任意 ,都存在 ,使得 ,则实数 的取值范围为_____▲_____.
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知 为数列 的前 项和,且 .
(1)求该数列的通项 ；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
16. 已知函数 在 处取得极值 .
(1)求 ；
(2)证明: 时, .
17. 平面直角坐标系中,动点 到点 的距离与它到直线 的距离之比为 .
(1)求动点 的轨迹 的方程；
(2)过点 的直线 与轨迹 交于 两点，且点 在第一象限，点 ， 与 的面积之比为 ,求 的内切圆半径.
18. 已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)若函数 在 存在单调递减区间，求实数 的取值范围；
(3)当 时，证明:函数 有且仅有两个零点.
19. 1907 年物理学家 Tatiana 和 Paul Ehrenfest 为了解释热力学第二定律提出了一个分子扩散模型. 编号为 和 的两个容器相互联通,当中仅用薄膜分割(允许分子在两容器间穿梭),当一个分子从一个容器转移到另一个容器,则称发生一次转移. 发生 次转移后,容器 中的分子数记为 ,容器 的分子数从 到 的概率记为 ,即 . 初始状态时,容器 内有 2 个分子,容器 内有 8 个分子. 假设每个分子发生转移的可能性相同,均为 .
(1)求 ；
(2)求2次转移后，容器 中的分子数 的分布列与期望；
(3)求出 与 的关系式，并用解释当 时 的含义.
厦门一中 2024 级高二(下)数学期中考试参考答案
一、单项选择题: 1-5: ADCCC 6-8: BBA
8. 设 为第 天选 A 套餐， 为第 天选 B 套餐，则
,
二、多项选择题: 9.BD 10. BCD 11. ACD
11. 解: 选项: 因为 ,所以点 ,则 面 . 因为 ,所以 面 ，故 . A 选项正确 . 选项: ，由于 ， 则点 ,故点 到面 的距离等于点 到面 的距离 . 延长 交 于点 , ,故 ,又因为 ， 所以 . 利用等体积法, ,故 . C选项:取 中点 ，过点 作 的平行线 ，当 时， ，则 面 ， 设 与面 所成角 ,由最小角定理可知, ,而 面 ,所以 .
选项: 因为 与 夹角为 ,所以点 落在以 为轴, 母线的圆锥面,又因为 即 面 与面 所成角为 ，所以圆锥面与面 的交线是一条抛物线,点 落在抛物线上,以点 为原点, 为 轴正方向建系, ,设抛物线 , 则 ，解得 . 故 .
三、填空题: 12. 1 13. 150
14.
14. 解: 令 ,则 .
所以 的值域为 . 所以 . 令 ,则 .
所以 的值域为 . 由 ,得 ,所以 是 的子集, 所以 ,所以 .
四、解答题
14. 解: (1) 当 时, ,
所以 ,整理可得 , 4 分 5. 以数列 是首项为 2,公比为 2 的等比数列,故 . 6 分
(2)因为 ，所以 ， 8 分
所以 . 13 分
16. 解: (1) , 2 分
故 且 ,解得 , 6 分
故 ,令 得 ,令 得 ,
所以 在 处取得极值 ,满足要求; 7 分
(2) 时， ，令 ， 11 分则 ,故 在 上单调递增,在 上单调递减, 13 分则 ,所以 ,证毕. 15 分
17. 解: (1) 设动点 的坐标为 ,由题意可得 , 2 分即 ,化简得 ,即动点 的轨迹 的方程为 分 (2)设 ，点 在第一象限，则 ，
若直线 的斜率不存在，由椭圆对称性可知 与 的面积之比为 1，不符合题意； 5 分故直线 的斜率必存在且不为 0,可设直线 的方程为 ,
联立 ，得: ， ， 7 分由于 ,即 ,即 ,
则 ，则 ，
结合 ,可得 ,
化简得 ,结合 ,则 ,故 , 11 分
故 ,则 ,
的面积为 , 的周长为
, 13 分
设 的内切圆半径为 ，则 ，即 ，故 15 分
18. 解: (1) 当 时, ,则 ,
所以 ,所以切线方程为 ,即 . 4 分
(2)由题意得 ,
若函数 存在单调递减区间,则 在 上有解,即 在 上有解 6 分因为函数 在 上单调递减,所以 ,故 . 9 分
(3)由题意得 ，则 ， 10 分
令 ,则 ,
令 可得, (舍) 或 ,
当 时, ,则 在 上单调递减,
当 时, ,则 在 上单调递增, 12 分
又 ,所以存在 ,使得 ,即 14 分所以当 时， ，则 在 上单调递减，当 时， ，则 在 上单调递增,因为 时, ,
所以存在 ,使得 , 16 分
又 ,所以存在 ,使得 ,
所以函数 有且仅有两个零点. 17 分
19.(1)周介子的子的能发生转移且分子数有限
本题是古典概型, . 4 分
(2) 所有可能取值为 0,2,4,则 ,
. 7 分故 的分布列为
0 2 4
21 50 28
. 9 分
(3)由题得， ， 当 则 1 1 分
设 ,则 , 14 分
解得 ,
. 16 分
当 时, .
解释:充分混合后，最终两容器分子数相等. 17 分
*注:期望递推关系为:

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