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2024级高二4月期
数学
满分 150 分, 时间 120 分钟。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
1. 的展开式中，常数项为( )
A. -20 B. 20 C. -160 D. 160
2. 已知函数 的导函数 的图象如图所示，则下列说法一定正确的是( )
A. 函数 在 处取得极大值
B. 函数 在区间 上单调递增
C. 函数 有两个零点
D. 当 时,函数 的最大值是
3. 记 为等差数列 的前 项和,若 ,则 ( )
A. 5 B. 2 C. 0 D. -2
4. 已知函数 在 处有极小值,则 ()
A. -5 B. -1 C. -1或-5 D. -1或5
5. 有 7 个座位连成一排，现有 3 人入座，则恰有两个空位相邻的不同坐法的种数为( )
A. 144 B. 72 C. 48 D. 36
6. 我国国旗的标准尺寸有五种通用规格(用“长×宽”表示)，其中长与宽之比均为 3:2.
规格 一号 二号 三号 四号 五号
尺寸(单位:cm) 288×192 240×160 192×128 144×96 96×64
根据上表，可以判断五种规格国旗的( )
A. 周长构成等差数列 B. 周长构成等比数列
C. 面积构成等差数列 D. 面积构成等比数列
7. 现将数列、立体几何、解析几何、导数、概率与统计这五道解答题排序, 数列必须在第一道或者第二道位置，解析几何不能在第一道，则不同的题目分配方式有( )
A. 30 种 B. 36 种 C. 42 种 D. 48 种
8. 若实数 满足 ，下列说法正确的是( )
A. 存在最小值 B. 存在最大值 C. 存在最小值 D. 存在最大值
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 下列求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
10. 已知 ，且第 5 项与第 8 项的二项式系数相等，则下列说法正确的有( )
A.
B.
C.
D.
11. 已知数列 ,给出以下定义: 对于任意 ,都有 ,则称数列 为 “友好数列”，下列说法正确的有( )
A. 若数列 满足 ，且前 项和为 ，则数列 为“友好数列”
B. 若数列 满足 ，且数列 为“友好数列”，则
C. 若数列 为“友好数列”, 且 ,则数列 没有最小项
D. 若数列 为 “友好数列”,则对于任意 ,当 时,总有 成立
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 已知等差数列 的前 项和为 ,则数列 的前 2026 项和为_____.
13. 小唐和小陈去旅游，他们打算从 、 、 、 等 8 个景点中各自随机选择 4 个，若他们不同时选择 景点，且有且只有两个景点是相同的，则选择方法共有_____种. (用数字作答)
14. 已知关于 的不等式 有且仅有 2 个整数解,则实数 的取值范围为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
已知函数 .
(1)当 时,求函数 在 上的最值;
(2)若对任意的 恒成立，求实数 的取值范围.
16. (15分)
已知数列 的首项 ,且满足 .
(1)求证:数列 是等差数列；
(2)记 ，求 的前 项和 .
17. (15 分)
用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的数.
(1)求可组成多少个四位数；
(2)将(1)中的四位数按从小到大的顺序排成一排，求第 101 个数；
(3)求可组成多少个偶数互不相邻的六位数.
注: 结果均用数字作答.
18.(17分)
已知 的展开式中，第 4 项与第 5 项的系数之比为 8:7 .
(1)求 的值；
(2)求展开式中二项式系数最大的项；
(3)求展开式中系数最大的项.
19.(17 分)
已知函数 .
(1)当 时,求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 的两个极值点分别为 和 ，且 .
(i) 求实数 的取值范围;
(ii) 求证: .
2024级高二4月期中质量检测
数学 (人教A版) 参考答案
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D A B B A C B
1. 由展开式的通项得 ,令 ,得 常数项为 . 故选 C.
2. D 由图知,当 时, ; 当 时, ,所以函数 在 上单调递增,在 上单调递减,所以 在 处取得极大值,无极小值,故 错误, 错误; 由函数 在区间 上单调递减,得当 时,函数 的最大值是 ,故 正确; 由图无法确定函数 的零点个数. 故选 D.
3. A 由题意得, ,即 ,所以 ,又 ,则公差 , 所以 . 故选 A.
4. B 由题意得, ,则 ,解得 或 . 当 时, ,则 在 和 上单调递增,在 上单调递减,此时 在 处取得极大值, 不符合题意; 当 时, ,则 在 和 上单调递增, 在 上单调递减,此时 在 处取得极小值,符合题意. 故选 B.
5. 由题意,先让 3 人坐定,有 种方法,这样会形成 4 个空隙 (包括两端),相邻的两个空位看作一个座位,再将 3 个座位插入 4 个空隙中,有 种方法,因此恰有两个空位相邻的不同坐法的种数为 . 故选 B.
6. A 由题意得五种国旗通用规格的具体情况如下:
规格 一号 二号 三号 四号 五号
尺寸 288×192 240×160 192×128 144×96 96×64
周长 960 800 640 480 320
面积 55296 38400 24576 13824 6144
由 ,得周长构成等差数列; 由 ,得周长不构成等比数列; 由 ,得面积不构成等差数列; 由 , 得面积不构成等比数列. 故选A.
7. C 数列排在第一道 (此时解析几何必然不在第一道) 的排序方法有 种; 数列排第二道时,第一道有 种排法,第三、四、五道有 种,则排序方法有 种. 综上,不同的题目分配方式有 种. 故选 C.
8. 令 ,则 ,令 ,则 ,则函数 在 上单调递减,在 上单调递增,所以 ,因为 ,所以 ,则函数 在 上单调递减，当 时， ，当 时， ，则函数 的值域为 ，而 的值域为 ,故 不存在最小值,也不存在最大值. 因为 , ,函数 在 上单调递减,所以存在 ,使得 , 即当 时, ,当 时, ,因为 ,所以要使关于 的方程 有实数解,必须满足 ,得 ,故 存在最大值 ,不存在最小值. 故选 B.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
题号 9 10 11
答案 ABC AC ABD
9. ,故 正确; ,故 B 正确; ,故 C 正确; ,故 D 错误. 故选 ABC.
10. 由题意得, ,则 ,故 正确; 令 ,得 ,令 ,得 ,则 ,故 错误; 展开式的通项为 ,则 ,故 C 正确; 由 ,得 ,令 , 得 ,故 D 错误. 故选 AC.
11. ABD 由 ,得 ,对于任意 , ,故 ,所以数列 是 “友好数列”，故 正确；因为数列 为“友好数列”，所以对于任意 ，都有 ,即 ,又 ,则 ,即 所以
,故 B 正确; 因为数列 为“友好数列”, ,所以对于任意 ,都有 ,即 ,设 ,则数列 为单调递增数列,且 ,所以 ,因为 ,所以 ,所以存在 时, ,当 时, ,数列 为递减数列; 当 时, ,数列 为递增数列. 因此,数列 存在最小项为 ,故 错误; 因为 为 “友好数列”,所以对任意 ,都有 ,即 , 所以对于任意 ，当 时，总有 ,所以 ,又 ,所以 ,由 ,得 ,故 D 正确. 故选 ABD.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.
设公差为 ,由 ,得 ,解得 , ,故数列 的前 2026 项和为 .
13. 1890
若仅小唐选了 景点，有 种选法；若仅小陈选了 景点，同理也有 种选法; 若小唐和小陈都没有选 景点,则有 种选法. 综上,共有 1890 种选法.
14.
由题意得, ,不等式化整理得 ,即 . 当 时, , 且 ,令 ,所以 ,令 ,则 ,所以 在 上单调递增,所以 ,即 ,所以 在 上单调递减,当 , 此时不等式有无穷多个整数解,不符合题意; 当 时, ,且 ,令 ,所以 ,记 ,则 ,所以 在 上单调递增,所以 ,即 ,所以 在 上单调递增,因为 ,且不等式 有且仅有 2 个整数解,则这 2 个整数解为1,2,所以 ,即
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)
(1)当 时， ，则 ，
令 ,则 ,由 得 , (2 分)
所以 在 上单调递减,在 上单调递增,
因为 ,所以 在 上恒成立,
即 在 上恒成立,所以 在 上单调递减, ( 5 分)
所以 在 上的最大值为 ,最小值为 . (6 分)
(2)由题意得, ,即 ,
设 ,
由 ,得 在 上单调递增, (8 分)
则 在 上恒成立,即 在 上恒成立. (9 分)
设 ,则 ,
令 ,解得 ,令 ,解得 ,
所以 在 上单调递减,在 上单调递增,所以 , (11 分) 所以 ,即实数 的取值范围为 . (13 分)
16.(15 分)
(1)由题意得， ，所以由 ，得 ，即 ， 又 ，所以 是首项为 2，公差为 3 的等差数列. ( 5 分)
(2)由(1)得， ，
即 ,所以 , (7 分)
所以 ①,
②, (9 分)
①-②,得
(14 分)
. (15 分)
17.(15分)
(1)四位数的千位不能为0，有 种选法，
再从剩下的 6 个数字选 3 个进行排列，有 种选法,
根据分步乘法计数原理,得可组成 个四位数. (4 分)
(2)千位为1时，一共有 个四位数，所以第101个数的千位一定为1.
百位为0,2,3,4,5,6中任一个时,有 个四位数,
则第101个数百位为 6 的最小的四位数, 即 1602 . (8 分)
(3)0，1，2，3，4，5，6 中有 3 个奇数，4 个偶数，
若有 4 个偶数, 要求偶数互不相邻, 至少需要 3 个奇数隔开,
这样就是 7 位数, 不合题意, 所以有 3 个奇数, 3 个偶数. (10 分)
3 个奇数全排列, 形成 4 个空位, 从 4 个偶数中选 3 个将其放在 4 个空位中的 3 个,
则有 种排法. (12 分)
若首位为 0,3 个奇数全排列,形成 4 个空位,第一位为 0 , 从 3 个偶数中选 2 个将其放在 3 个空位中的 2 个,则有 种排法, (14 分)
综上,可组成 个六位数. (15 分)
18.(17分)
(1) 的展开式的通项为
则 , (3 分)
则第 4 项的系数为 ,第 5 项的系数为 .
第 4 项与第 5 项的系数之比为 ,解得 . (6 分)
(2) ， 展开式中二项式系数最大项的项为第 6 项，
展开式中二项式系数最大项为 . (9 分)
(3)设 项为展开式中系数最大的项，且 ，
则 , (11 分)
即 ,即 ,解得 , (15 分)
展开式中系数最大的项为 . (17 分)
19.(17分)
(1)当 时， ，
则 的定义域为 ,则 ,
所以曲线 在点 处的切线方程为 ,
即 . (3 分)
(2)(i) ，定义域为 .
因为函数 有两个极值点,所以 是方程 的两个正根. (4 分)
令 ,则定义域为 ,
令 ,解得 ,令 ,解得 ,
所以 在 上单调递减,在 上单调递增,
则 . (6 分)
又当 时, ,当 时, , (7 分)
所以当 时, 的图象与直线 有两个不同的交点,
综上,实数实数 的取值范围为 . (10 分)
(ii) 由 (i) 知, ,且 时, ,
又 ，所以 . (11 分)
令 ,则 ,
易得 在 上单调递增,且 , (12 分)
所以当 时, 时, ,
所以 在 上单调递减,在 上单调递增,
所以 ,
即 ,则 , (15 分)
又因为 ,所以 ,
所以 ,即 . (17 分)

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