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山东省济南第三中学等2025-2026学年第二学期高一年级期中学情检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数为虚数单位，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.下列命题正确的是( )
A. 三个点可以确定一个平面
B. 一条直线和一个点可以确定一个平面
C. 两条直线可以确定一个平面
D. 长方体一定是直四棱柱，正四棱柱一定是长方体
3.在中，内角、、的对边分别为、、，，，，则( )
A. B. C. 或 D.
4.圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为( )
A. B. C. D.
5.已知平面向量，，则向量在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.在中，若，，，则三角形解的个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 不确定
7.如图，中，点是线段的中点，是线段的靠近的三等分点，则( )
A. B. C. D.
8.图为迪拜世博会中国馆，建筑名为“华夏之光”，外观取自中国传统灯笼，寓意希望和光明它的形状可视为内外两个同轴圆柱某爱好者制作了一个迪拜世博会中国馆的实心模型如图，已知模型内层底面直径为，外层底面直径为，且内外层圆柱的底面圆周都在同一个球面上若该模型的表面积为，则此模型外接球的体积为( )

A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数的实部为，则下列说法正确的是( )
A. 复数的虚部为 B. 在复平面内对应的点位于第三象限
C. D. 复数的共轭复数
10.已知向量，满足，，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C. 存在非零实数，使得
D. 向量与的夹角为
11.如图，在棱长为的正方体中，已知，，分别是棱，，的中点，点满足，，下列说法正确的是( )
A. 平面
B. 若，，，四点共面，则
C. 若，点在侧面内，且平面，则点的轨迹长度为
D. 若，则以为顶点，以过、、三点作该正方体的截面为底面的棱锥的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，若，则 ．
13.如图，是水平放置的的直观图，则的周长为 ．
14.如图，在平面四边形中，，，，，则 ，四边形的面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数．
若为纯虚数，求的值；
若为实数，求的值；
若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围．
16.本小题分
如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点．
求证：；
求证：平面；
17.本小题分
如图，已知正方形的边长为，为的中点，．
若，求的值
求的取值范围．
18.本小题分
已知为锐角三角形，，，分别为三个内角，，的对边，且，
求
若，的面积为，求的周长
若，求周长的取值范围．
19.本小题分
如图，设半圆的半径为，点三等分半圆，，，分别是，，的中点，将此半圆以为母线卷成一个圆锥如图在图中完成下列各题．
求在圆锥中的线段的长；
求四面体的体积；
若是的中点，在线段上是否存在一点，使得平面若存在，求的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由．
参考答案
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15.解：因为为纯虚数，
所以
解得：；
若为实数，则，
解得：或；
所对应的点在第二象限，则，即
解得：．
故的取值范围为．

16.证明：
在四棱锥中，平面，平面，
平面平面，
．
取的中点，连接，，
是的中点，
则为的中位线，
，．
又由可得，且，
，，
四边形是平行四边形，
，
平面，平面，
平面．
17.解：如图所示，以为坐标原点，建立平面直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，
因为，
则，解得；
由知，，，
则，
当时，，
即的取值范围是．
18.解：在中，因为，
所以，
即，
因为，所以，故，
则
因为的面积为，
即，所以，
由余弦定理得
。解得，
所以周长为；
由正弦定理得，
即，，，
则，
因为为锐角三角形，则，，
故，所以，
则，
故，
故周长的取值范围为．
19.解：在图中，设圆锥的底面圆半径为，
则，解得，
因为在图中，点、三等分半圆，
所以在图中，点、为圆锥的底面圆周的三等分点，
所以为等边三角形，所以，所以，
又因为点、分别是、的中点，
所以；
，
圆锥的高，
所以，
所以，
即四面体的体积为；
在线段上存在点，且，使得平面，
理由如下：如图，取的中点，且是的中点，连接，
所以，
取的四等分点，使，连接，
因为，所以，，
所以，，
所以四边形是平行四边形，所以
又平面，平面，所以平面

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