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北京市第五十五中学2025-2026学年度第二学期高二期中考试
数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，共50分。
1.已知函数的导函数，则函数可以是( )
A. B. C. D.
2.从标有数字，，，，的五张卡片中，依次抽出张取后不放回，则在第一次抽到卡片是偶数的情况下，第二次抽到卡片是奇数的概率为( )
A. B. C. D.
3.若，则( )
A. B. C. D.
4.投资甲、乙两种股票，每股收益单位：元分别如下表：
甲种股票收益分布列 乙种股票收益分布列
收益 收益
概率 概率
则下列说法正确的是( )
A. 投资甲种股票期望收益大，投资乙种股票的风险更高
B. 投资乙种股票期望收益大，投资甲种股票的风险更高
C. 投资甲种股票期望收益大，投资两种股票的风险一样高
D. 投资乙种股票期望收益大，投资两种股票的风险一样高
5.已知函数，则下列说法错误的是( )
A. 有三个零点 B. 在上单调递减
C. 点是曲线的对称中心 D. 有两个极值点
6.中国古典乐器按“八音”分类“八音”是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于周礼春官大师，分为“金、石、土、革、丝、木、匏、竹”八音其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器现从“八音”中任取不同的“两音”，则“两音”来自两种不同类型乐器的概率为( )
A. B. C. D.
7.设函数，则“”是“没有极值点”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.已知且该多项式展开式的二项式系数和为，则( )
A. B. C. D.
9.已知函数，，则图象为下图的函数可能是 ( )
A. B.
C. D.
10.从商业化书店到公益性城市书房，再到“会呼吸的文化森林”--图书馆，建设高水平现代化开放式的图书馆一直以来是大众的共同心声，现有一块不规则的地，其平面图形如图所示，百米，建立如图所示的平面直角坐标系，将曲线看成函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分，若在此地块上建立一座图书馆，平面图为直角梯形如图，则图书馆占地面积万平方米的最大值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11.已知函数，，那么 ．
12.若离散型随机变量，则 ， ．
13.将名志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶个项目进行培训，每名志愿者只分配到个项目，每个项目只培训一人，志愿者小明不去花样滑冰项目，则不同的分配方案共有 种用数字作答
14.若的展开式中存在常数项，则正整数的一个取值是 ，且此时常数项等于 用数字作答
15.已知函数与的图像如下图所示，设函数给出下列四个结论
函数在区间上是减函数，在区间上是增函数；
函数在区间和上是增函数，在区间上是减函数；
函数有三个极值点；
函数有两个零点．
其中，所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.在中，．
求的大小；
若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积．
条件：边上中线的长为；
条件：；
条件：．
注：如果选择的条件不符合要求，第问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
17.如图，四边形是正方形，平面，，，，，分别为，，的中点．
求证：平面；
求平面与平面所成角的大小
18.为了解客户对，两家快递公司的配送时效和服务满意度情况，现随机获得了某地区客户对这两家快递公司评价的调查问卷，已知分别从，两家公司的调查问卷中随机选取份和份，统计数据如下：
快递公司 快递公司 快递公司
项目份数评价分数 配送时效 服务满意度 配送时效 服务满意度
假设客户对，两家快递公司的评价相互独立，用频率估计概率．
从该地区选择快递公司的客户中随机抽取人，估计该客户对快递公司配送时效的评价不低于分的概率：
分别从该地区和快递公司的调查问卷中，各随机抽取份，记为这份问卷中的服务满意度评价不低于分的份数，求的分布列和数学期望：
记评价分数为“优秀”等级，为“良好”等级，为“一般”等级，假设：小王从该地区，两家快递公司中随机选一家快递公司，再从该公司的调查问卷中随机抽取份，抽到的问卷配送时效评价为“优秀”的概率为，抽到的问卷配送时效评价为“一般”的概率为，判断与的大小结论不要求证明
19.已知函数，其中．
当时，求曲线在点处的切线方程；
讨论函数的单调性；
若函数的图像上存在两点，，使得曲线在两点处的切线互相平行，且线段的中点在上，求的取值范围．
20.设椭圆：的左、右焦点分别为、，焦距为，是椭圆上一点，．
求椭圆的方程和离心率；
是轴上的两个动点点与点位于轴的两侧，，直线交轴于点，求的值．
21.对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称是在的“最近点”．
对于，求证：对于点，存在点，使得点是在的“最近点”
对于，，请判断是否存在一个点，它是在的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直
已知在定义域上存在导函数，且函数在定义域上恒正，设点，若对任意的，存在点同时是，在的“最近点”，试判断的单调性．
参考答案
1.
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10.
11.
12.
13.
14.答案不唯一
答案不唯一
15.
16.由，
在中，由正弦定理得，
因为，所以，
又，所以；
选条件：边上中线的长为：
设边中点为，连接，则，
在中，由余弦定理得，
即，
整理得，解得或舍，
所以的面积为，
选条件：：
在中，由余弦定理得，即，
整理得，解得或，
当时，的面积为．
当时，的面积为．
不可选条件，理由如下：
若，故为钝角，则，
则，，即，
其与为钝角矛盾，故不存在这样的．

17.解：，分别为，的中点，．
又平面，平面，平面．
又因四边形是正方形，所以，所以可得，
而平面，且平面，所以可得平面，
又，平面，所以平面平面，
而平面，所以可得平面．
平面，，平面
平面，，．
四边形是正方形，．
因为，所以，
以为原点，分别以直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，分别为，，的中点，则，，，
设为平面的一个法向量，
因，，
则，故可取，
设为平面的一个法向量，
因，，
则，故可取．
所以，
故平面与平面所成角的大小为．

18.解：由题意得调查问卷中共有份，
其中不低于分的份数为，则，
故可估计该客户对快递公司配送时效的评价不低于分的概率为；
由题意得快递公司的样本调查问卷中不低于分的概率为，
由题意得快递公司的样本调查问卷中不低于分的概率为，
而的可能取值为，可得，
，，
故其分布列为：
其期望；
结论：，
由题意得快递公司的样本调查问卷中“优秀”等级占比为，“一般”等级占比为；
而快递公司的样本调查问卷中“优秀”等级占比为，
“一般”等级占比为；由全概率公式得，
，故．

19.解：函数，定义域为，．
当时，求导得．
代入，，．
切线斜率为，切线方程为．
求导得．
令，得或
当时：时，，单调递增；
时，，单调递减；
时，，单调递增．
当时：，在上单调递增．
当时：时，，单调递增；
时，，单调递减；
时，，单调递增．
综上所述，当时，在，上单调递增，在上单调递减．
当时，在上单调递增．
当时，在，上单调递增，在上单调递减．
由题意，处切线平行，故．
即，整理得，
即，因，故．
又中点在上，故，即．
于是是方程的两个根，题干等价于二次方程有两个不等的正根．
所以满足条件：解得．
故的取值范围是．

20.解：因为，所以，可得，
由题意得，则，得到，
故椭圆方程为．
如图，作出符合题意的图形，
因为是轴上的两个动点，所以不妨设，，
因为点与点位于轴的两侧，所以设，
所以，由知，可得，
因为，所以，则，即，
因为，所以，
得到，故，
而，所以，
解得或，
因为，，所以，
因此，所以的直线方程为，
令，得，即，
故．

21.解：当时，，
当且仅当即时取等号，
故对于点，存在点，使得该点是在的“最近点”．
由题设可得，
则，因为，均为上严格增函数，
则在上为严格增函数，
而，故当时，，当时，，
故，此时，
而，，故在点处的切线方程为．
而，故，故直线与在点处的切线垂直．
设，
，
而，
，
若对任意的，存在点同时是，在的“最近点”，
设，则既是的最小值点，也是的最小值点，
因为两函数的定义域均为，则也是两函数的极小值点，
则存在，使得，
即
由相等得，即，
即，又因为函数在定义域上恒正，
则恒成立，
接下来证明，
因为既是的最小值点，也是的最小值点，
则，，
即，
，
得，
即，因为，，
则，解得，
则恒成立，因为的任意性，则严格减．
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