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陕西延安市宝塔区2025-2026学年下学期八年级数学第一阶段素养达标测试
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．单选题
1．下列各组数中，是勾股数的一组是（ ）
A．1，2，3 B．1，1， C．5，12，13 D．，，
2．计算的结果是（ ）
A．9 B．3 C． D．
3．若直角三角形的两边长为3和4，则第三边长为（ ）
A．5或 B．1 C．7 D．25
4．下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框使其不变形．若米，米，则木条（ ）．（结果保留根号）
A．米 B．米 C．米 D．米
6．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从高空抛物到落地所需时间为．从高空抛物到落地所需时间为，则的值是（ ）
A． B． C． D．2
7．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10，BC＝3，求AC的长．在这个问题中，AC的长为（　　）
A．4尺 B．尺 C．尺 D．5尺
8．如图，已知正方形的面积为12，正方形的面积为6，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题
1．若二次根式在实数范围内有意义，则的值可以是__________．（写出一个即可）
2．三角形的三边长分别为，则这个三角形的面积是____．
3．如图，在中，，，，则的长为__________．
4．若是最简二次根式，且为整数，则的最小值是 _______．
5．如图，分别以直角三角形三边为边长，向外作三个正方形，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的边长为__________．
6．如图是一个三级台阶它的每一级的长、宽和高分别等于和，A和B这个的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，这只蚂蚁从A点出发，沿着面爬到B点，最短线路为______．
三．解答题
1．计算：．
2．如图，在数轴上找出表示的点E．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
3．若最简二次根式与最简二次根式可以合并，求a的值．
4．如图，从帐篷支撑竿的顶部向地面拉一根绳子固定帐篷，若绳子的长度是，地面固定点到帐篷支撑竿底部的距离是，则帐篷支撑竿的高是多少？
5．一切运动的物体都具有动能，其大小由两个因素决定：物体的质量和运动速度．已知动能的计算公式是，其中表示动能，单位是焦耳，m表示物体的质量，单位是千克，v表示物体的运动速度，单位是米/秒．现一名运动员在匀速跑步，她的质量是60千克．若动能是1000焦耳，求该运动员的跑步速度（结果保留根号）．
6．学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量某水潭的宽度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实地测量，并形成了如下的活动报告．
活动课题 测量某水潭的宽度
测量工具 测角仪、测距仪等
测量过程及示意图 如图，出于安全考虑，水潭两侧的A、B周围均被围栏所围，因此A、B处均无法到达，测量小组在与垂直的直线l上取点C（于点A），用测距仪测得、的长
测量数据 米，米
…… ……
请你根据活动报告中的内容，计算水潭的宽度．
7．如图所示，有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出2尺，斜放就恰好等于门的对角线（），已知门宽6尺，求竹竿长．
8．已知
(1)求 的值；
(2)若 试判断以a，b，c为边的三角形的形状，并说明理由．
9．小明有一根铁丝，他用这根铁丝围成了一个长方形，其中长方形的宽为，长是宽的4倍．若小明用这根铁丝首尾相接围成正方形，则围成的正方形与原长方形相比，谁的面积大？
10．如图10，在中，D是的中点，交于点E，且．
(1)求证：；
(2)若，求的周长．
11．在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方，，则．请利用“平方法”解决下面问题：
(1)比较的大小，c__________d（选填“>”、“<”或“=”）；
(2)判断之间的大小，并证明．
12．【问题背景】
著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则．
【探索求证】
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理；
【问题解决】
（2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？
【延伸扩展】
（3）在第（2）向中若时，，，，，设，求的值．
试卷第 1 页，共 1 页
陕西延安市宝塔区2025-2026学年下学期八年级数学第一阶段素养达标测试
参考答案：
一．单选题
1．【答案】C
【解析】【解答】解：A、∵，
∴1，2，3，不是勾股数，本选项不符合题意；
B、不是正整数，故这组数不是勾股数，本选项不符合题意；
C、∵，
∴5，12，13是勾股数，本选项符合题意；
D、，，这三个数都不是正整数，故这组数不是勾股数，本选项不符合题意；
故选：C．
2．【答案】B
【解析】【解答】解：，
故选B．
3．【答案】A
【解析】【解答】解：当长为的边是斜边，长为的边是直角边时，
由勾股定理可得：第三边长为；
当长为和的边都是直角边，第三边为斜边时，
由勾股定理得：第三边长为；
综上所述，第三边长为或．
4．【答案】D
【解析】【解答】解：A、，故A选项错误，不符合题意；
B、与不是同类二次根式，无法直接合并，故，B选项错误，不符合题意；
C、，故C选项错误，不符合题意；
D、，故D选项正确，符合题意．
5．【答案】B
【解析】【解答】解：米，
故选B．
6．【答案】C
【解析】【解答】当时，（秒；
当时，（秒；
，
故选：C．
7．【答案】C
【解析】【解答】设AC=x，
∵AC+AB=10，
∴AB=10﹣x．
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴AC2+BC2=AB2，即x2+32=（10﹣x）2．
解得：x=4.55，
即AC=4.55．
故选：C．
8．【答案】C
【解析】【解答】解：正方形的面积为12，正方形的面积为6，
，，
；
故选：C．
二．填空题
1．【答案】5（答案不唯一）
【解析】【解答】解：由题意得 ，
解得 ，
的值可以是．
2．【答案】6
【解析】【解答】三角形的三边长分别为，
∵，
∴此三角形为直角三角形，
∴这个三角形的面积．
故答案为：6．
3．【答案】3
【解析】【解答】解：∵，，，
∴.
4．【答案】
【解析】【解答】解：二次根式有意义，
，
解得：，
当时，二次根式的值为，是最简二次根式，符合题意，
若二次根式是最简二次根式，则整数的最小值是．
故答案为：．
5．【答案】5
【解析】【解答】解：由题意可得：A所代表的正方形的面积为，
∴A所代表的正方形的边长为．
6．【答案】13
【解析】【解答】解：将台阶展开，如下图，
因为，
所以，
所以，
所以蚂蚁爬行的最短线路为．
故答案为：．
三．解答题
1．【答案】
【解析】【解答】解：
．
2．【答案】见解析
【解析】【解答】解：如图，点即为所求，
．
3．【答案】
【解析】【解答】解：∵两个最简二次根式只有同类二次根式才能合并，
∴与是同类二次根式，
∴，
解得．
4．【答案】m
【解析】【解答】解：由题意可得，，，
∴由勾股定理得：，
答：帐篷支撑竿的高是m．
5．【答案】米/秒
【解析】【解答】解：由题意可知，
∴，
∴（米/秒）．
答：该运员的跑步速度是米/秒．
6．【答案】水潭的宽度为米．
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵米，米，
∴米，
∴水潭的宽度为米．
7．【答案】10尺
【解析】【解答】解：设竹竿长尺，由题意，竹竿尺，门高尺，门宽尺，
在中，
解得
答：竹竿长10尺．
8．【答案】(1)；
(2)直角三角形，理由见解析．
【解析】【解答】（1）解：
；
（2）解：，
，
，
，
∴以a，b，c为边的三角形是直角三角形．
9．【答案】围成的正方形面积大
【解析】【解答】解：由题意可知，长方形的长为，
长方形的周长为．
围成的正方形边长为．
则长方形的面积为．正方形面积为
因为，所以围成的正方形面积大．
10．【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】【解答】（1）证明：∵D是的中点，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴即，
∴是直角三角形，
∴；
（2）解：由题意知，，
在中，由勾股定理得，
∴，
∵，
∴的周长为．
11．【答案】(1)>；
(2)，见解析．
【解析】【解答】（1）解：，
则，
故答案为：>；
（2），
证明：，
，
，
，
．
12．【答案】（1）见解析；（2）新路比原路少5千米；（3）
【解析】【解答】解：（1），
，
∴，
即；
（2）设千米，则千米，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
即千米，
∴（千米），
∴新路比原路少5千米；
（3）设，则，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
即，
解得：．
答案第 1 页，共 1 页

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