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长沙市立信中学 2025-2026 学年第二学期第一次核心素养(2026 年 4 月)
初一数学试卷
时量：120分钟 总分：120分
一、单选题（每小题 3分，共 30分）
1．下列实数是无理数的是（ ）
A．﹣3.14 B． 5 C．0.1010010001 D． 4
2．下列运算正确的是（ ）
A．3a+2b＝5ab B．2c2﹣c2＝2 C．﹣2（a﹣b）＝﹣2a+b D．x2y﹣4yx2＝﹣3x2y
3．如图，已知直线 a∥b．直角三角板 ABC的直角顶点 C在直线 b上，若∠1＝60°，则∠2＝（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
4．如图，要使 AD∥BC，则需要添加的条件是（ ）
A．∠A＝∠CBE B．∠A＝∠C C．∠C＝∠CBE D．∠A+∠D＝180°
5．如图，在数轴上与数 2+1最靠近的点是（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 (第 5题图)
6．点 P（m+3，m﹣1）在 x轴上，则点 P的坐标为（ ）
A．（0，﹣4） B．（﹣3，0） C．（4，0） D．（﹣3，1）
7．如图是一轰炸机群的飞行队形示意图，若在图上建立平面直角坐标系，使最后两架轰炸机分别位于点 M(-1，1)
和点 N(﹣1，﹣3)，则第一架轰炸机位于的点 P的坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣3） B．（3，﹣1） C．（﹣1，3） D．（3，0）
(第 3题图) (第 4题图) (第 7题图) (第 9题图)
8．下列命题是真命题的是（ ）
A．平方根是本身的数是±1和 0 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．如果|a|＝|b|，那么 a＝b D．在同一平面内，若 a⊥c，b⊥c，则 a∥b
9．“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括
两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．如图给出了《燕几图》中名为“屏山”的桌面组合方式，
若设每张桌面的宽为 m尺，每张长桌的长为 n尺，根据图中信息，可列方程组为（ ）
A 4m=7 B 4n=7 4m=7 4n=7． m+n=8.75 ． m+n=8.75 C． 2m+n=8.75 D． 2m+n=8.75
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10．在平面直角坐标系中，直线 l经过点 A（0，﹣1），点 A1，A2，A3，A4，A5，A6…均为格点，且按如图所示的
规律排列在直线 l上，若点 An的纵坐标为﹣2025，则 n的值为（ ）
A．4048 B．4049 C．4050 D．4051
(第 10题图) (第 13题图) (第 15题图) (第 16题图)
二、填空题（本大题共 6个小题，每小题 3分，共 18分）
11．64的算术平方根是 ．
12．已知 a为正整数，a＜ 11＜a+1，则 a＝ ．
13．如图，直线 AB，CD相交于点 O，OM⊥AB．若∠MOD＝40°，则∠COB的度数为 ．
x=a
14．若 y=b是方程 3x+y＝1的一个解，则 9a+3b+4＝ ．
15．如图，渔船 A与港口 B相距 17 海里，我们用有序数对（南偏西 39°，17海里）来描述渔船 A相对港口 B的
位置，那么港口 B相对渔船 A的位置可描述为 ．
16．如图，小明在走廊上看到一个“安全出口”标志，他从中抽象出这样一个数学图形，其中 AB∥DG，AE∥CF，
∠BAC＝52°，∠CDG＝72°，∠EAC＝78°，则∠DCF＝ ．
三、解答题（本大题共 9个小题，第 17、18、19题每小题 6分，第 20 题、21题每小题 8分，第 22、
23题每小题 9分，第 24、25题每小题 10分，共 72分.）
17．计算： 12026+ 25+|2 5|+3 8．
18 1 4a 3b=11．（ ）解方程组： 2a+b=13 ． （2）解方程：4x
2＝121
2x+3y=1
19．若关于 x、y的二元一次方程组 2x+y=4a 9的解满足 x+y＝1．
（1）求 a的值
（2）当 m为何值时， 3m+a+2有最小值？求出这个最小值．
20．如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（﹣3，3）、B（﹣5，1）、C（﹣2，0）、P（a，b）是三角形 ABC的
边 AC上任意一点，三角形 ABC经过平移后得到三角形 A1B1C1，点 A、B、
C的对应点分别为 A1、B1、C1，点 P的对应点为 P1（a+6，b﹣2）．
（1）直接写出点 C1的坐标；
（2）在图中画出三角形 A1B1C1；
（3）求三角形 A1B1C1的面积。
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21.如图，是一个潜望镜模型示意图，光线 AB经过互相平行的镜子 EF和镜子 GH反射后，形成光线 CD，人眼在 D
点即可看到 A点的光线．已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证 AB∥CD．请完成下面的证明，在括号内的横线上补充正
确的结论或推理的依据．
证明：∵EF∥GH（已知），
∴∠2＝∠3 （ ）．
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4（已知），
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4（ ）．
∴∠1+∠2＝∠3+∠4（等式的性质）．
∵∠1+∠2+∠ABC＝180°，
∠3+∠4+∠BCD＝180°（平角的定义），
∴∠ABC＝ ．
∴AB∥CD （ ）．
22．如图，在四边形 ABCD中，AB∥CD，G是 BC上一点，DE平分∠ADG交 CB的延长线于点 E．
（1）若∠EDG＝34°，∠A＝45°，求∠CDG的度数；
（2）若∠A＝∠C，试说明：∠DGC＝2∠E．
23．长沙市立信中学拟组织七、八年级师生去参观长沙博物馆，请根据以下素材完成相应的任务．
项目主题 探究“租车方案”问题
素材 1 客运公司有 60座和 45座两种型号的客车可供租用．60座客车每辆每天的租金比 45座的贵 220元．
素材 2 八年级师生在这个客运公司租了 5辆 60座和 3辆 45座的客车到长沙博物馆，一天的租金共计 8620元．
素材 3 如果七年级租用 45座的客车 a辆，则恰好所有师生都有座位，且无多余空位；如果租用 60座的客车则
可少租 2辆，且有一辆车上空余 15个座位．
解决问题
任务 1 根据素材 1、2，解决下列问题：
（1）客运公司 60座和 45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？
任务 2 根据素材 3，并结合任务 1的结论，解决下列问题：
（2）七年级若同时租用两种客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，应该怎样租用才合算？
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24．定义：在平面直角坐标系中，把满足关系式 y = 3x - 1 的点 P(x,y) 称为“立信点” ．
（1）判断：点 (0,1) ____（填“是”或“不是”）“立信点”；若点 (x, 26) 是“立信点”，则 x = ____ ．
2x+5y= 26 3x 2y=18
（2）已知点 A(a,b)、B(m,n) 均为“立信点”，且关于 x,y 的两个方程组 ax+by= 4m与 ax by= 8n的解相同，
求 a,b,m,n 的值 ．
（3）若点 C(x,y) 满足关系式 y = 3kx + 5k - 1（其中 k 为常数），同时点 C到 x轴的距离是到 y轴距离的 2倍．试
问：点 C 能否成为“立信点”？若能，请求出此时点 C的坐标及对应的 k的值 ；若不能，请说明理由 ．
25．如图 1，长方形 ABCD在平面直角坐标系中，点 A（2，6），B（2，4），C（7，4）．
（1）请直接写出 D点的坐标_____________．
（2）如图 1，连接 OB，OD，OD交 BC于点 E，∠BOy的平分线和∠BEO的平分线交于点 F．
①当∠BEO的度数为 n，∠BOy的度数为 m时，求∠OFE的度数（用含 m、n的式子表示）．
②请直接写出∠OFE和∠BOE之间的数量关系．
（3）如图 2，若长方形 ABCD以每秒 2个单位的速度向下运动，设运动的时间为 t秒．在边 BC上取一点 G，使
得 △OBG的面积是 △OCG面积的 2倍，连接 OG，若 △ODG的面积等于△OBD的面积，求 t的值．
(如图 1) (如图 2)
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