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福建宁德市2025-2026学年第二学期高二适应性练习数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则为( )
A. B. C. D.
2.已知某质点的位移与时间满足函数关系式，则当趋近于时，趋近于( )
A. B. C. D.
3.如图，空间四边形中，点和点分别在和上，且满足，则下列向量与是共线向量的是( )
A. B.
C. D.
4.已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.已知函数在处有极值，则( )
A. B. C. D. 或
6.已知四点共面，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.已知函数是增函数，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.函数的零点的个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知空间向量( )
A. 当时，
B. 当为钝角时，且
C. 存在实数，使得
D. 存在实数，使得为空间的一组基底
10.设函数，则( )
A. 当时，有三个零点
B. 当时，是的极大值点
C. 存在，使得点为曲线的对称中心
D. 存在，使得过点可作曲线的切线有三条
11.“切线放缩”是处理不等式问题的一种技巧．如图所示，曲线在点处的切线方程为易知，除切点外，图象上其余所有的点均在的上方，故有显然，选择的切点不同，所得不等式也不同．请根据以上材料，判断下列命题中正确的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.点关于坐标平面对称的点的坐标是 ．
13.曲线过点的切线方程为 ．
14.在空间直角坐标系中，曲线的方程为为参数，，点在曲线上，直线过坐标原点且的一个方向向量，则点到直线的最短距离为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，已知四棱柱的底面是正方形，，．
求异面直线与所成角的大小；
求的长．
16.本小题分
已知函数．
求在点处的切线方程；
设函数，求的单调区间；
求的极值点个数．
17.本小题分
某工厂生产正四棱锥形状的精密零件，为防止运输时磕碰损坏，需要给每个零件定制专用的球形保护包装盒，要求正四棱锥的所有顶点都在球面上即正四棱锥内接于该球，已知球形包装盒的半径为，正四棱锥的侧棱长满足．
用侧棱长表示该零件的体积；
在保证零件完全适配球形包装盒的前提下，如何设计侧棱长，使得零件的体积最大？求出此时零件的体积及对应的侧棱长．
18.本小题分
如图，在三棱锥中，底面，，，，为棱上的点，．
求证：平面；
设与底面所成角的正切值为．
求面与面所成的二面角的正弦值；
棱上是否存在点，使得点到面的距离为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
当时，，求的取值范围；
设，证明：．
参考答案
1.
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11.
12.
13.
14.
15.解：，
，
因为
，
所以，
所以异面直线与所成角为；
因为
，
所以的长为．

16.解：，，
因为，，
所以在点处的切线方程，即；
，定义域为，
，令得，
单调递增；单调递减，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为；
由得在上单调递增，，
又，
则；，
所以在上有一个极值点，
又由得在上单调递减，，，
所以当时，，即该区间上没有零点，
所以在上无极值点，
综上所述，的极值点个数是个．

17.解：设该正四棱锥的高为，底面正方形的边长为，
由题意可知
联立以上方程组可得，
又该正四棱锥体积；
令，则，
构造，
，
令得或舍去，
单调递增 最大 单调递减
所以，
，
此时由得，
所以当侧棱长为时，零件的体积最大，此时体积为．

18.解：因为底面，面，所以，
又为棱上的点，，
取的中点，所以，
又，所以，
又因为，，所以，所以，
所以，所以，所以，
又，平面，
所以平面；
因为底面，所以与底面所成角为，
所以在中，，
又，所以，
如图，以为轴，轴，轴，以为单位长度，建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面的一个法向量，
由，即，即
取，可得，
又由可知为平面的一个法向量，
设平面与平面所成的二面角为，
所以，
所以，
又由可知为平面的一个法向量，
设平面与平面所成的二面角为，
所以平面与平面所成的二面角的正弦值为；
假设存在点，使得点到平面的距离为，
设，由可得，
所以，
又由可知平面的一个法向量，
所以点到平面的距离，
所以，所以为的中点，

19.解：的定义域为，，
令得，
当时，，
单调递增，
当时，，
单调递减；单调递增，
综上所述：时，在上单调递增，无单调递减区间；
时，在上单调递减，在上单调递增．
因为，所以，
当时，由得在单调递增，
所以，符合题意，
当时，，由得在单调递增，
所以，符合题意，
当时，，由得在单调递减，在单调递增，
所以，
构造在上恒成立，
则在上单调递减，
所以，不符合题意，舍去，
综上所述，；
先证，
当时不等式显然成立，
当时，要证，
即证，
即证，
令，即证，
即证，
即证，
即证，
由知，
所以时，，
构造函数，
，
所以在单调递减，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
接下来证明，
即证，
即证，
令即证，
即证，
构造函数，
，
所以在单调递减，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以．

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