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安徽省卓越县中联盟2025-2026学年高一下学期4月阶段检测
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.下列说法错误的是( )
A. 若，则为单位向量
B. 若，则
C. 若四边形是平行四边形，则，
D. 若是平面内所有向量的一个基底，则也可以作为一个基底
3.如图，在四边形中，，，，现将其水平放置，用斜二测画法画出其直观图，则直观图的面积为( )
A. B. C. D.
4.在中，，若，则( )
A. B. C. D.
5.为筹备校园文化节，同学们需装饰操场边的圆柱形灯柱已知灯柱的高为米，底面周长为米现计划从灯柱底部开始缠绕一条彩色装饰带，要求绕柱恰好三周后到达柱顶并与顶面齐平若装饰带绷紧无松动，则装饰带的长度为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
6.已知向量，，，若，则实数的值( )
A. B. C. D.
7.已知圆锥的底面半径为，母线长为，在该圆锥内有三个半径相等的球，当球最大时，其中一个球的表面积为( )
A. B. C. D.
8.在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，，则( )
A. B. C. D.
10.下列说法正确的是( )
A. 有两个相邻侧面为矩形的棱柱是直棱柱 B. 棱台的各侧棱所在直线交于一点
C. 底面是正方形的棱锥是正四棱锥 D. 圆锥过轴的截面是一个等腰三角形
11.设是所在平面内一点，则下列说法正确的是( )
A. 若，的面积为，则的面积为
B. 若，且，则点是的重心
C. 若，，则
D. 若，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在正三棱柱中，，，以该三棱柱上、下底面的内切圆为上、下底面挖去一个圆柱，则剩余几何体的体积为 ．
13.在平面四边形中，，，，，则四边形的面积为 ．
14.若平面向量，满足，，记与的夹角为，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围；
计算：．
16.本小题分
如图，在梯形中，，，，以所在的直线为旋转轴，将梯形旋转一周，得到一个几何体．
求该几何体的表面积；
若一只蚂蚁从点出发，沿该几何体的侧面爬行一周回到起点，求最短爬行路程．
17.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，已知，．
求；
求面积的最大值．
18.本小题分
如图，在梯形中，，，，，，点在边上，且．
设，，试用和表示；
证明：；
设是线段上的动点，且，求的最小值．
19.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，已知，且，的中点为．
求；
求内切圆面积的最大值；
若为锐角三角形，求的取值范围．
参考答案
1.
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14.
15.解：，
因为在复平面内对应的点位于第二象限，
所以
解不等式，得；
解不等式，得或．
所以，即的取值范围是．
因为，
，，
故原式．

16.解：如图所示，将直角梯形以边所在的直线为旋转轴旋转一周，形成一个上底面半径为，下底面半径为，母线长的圆台，
其表面积为．
将圆台的侧面沿母线剪开，展开后得到如图所示的一个扇环．
圆台上、下底面半径的关系为，
，，
又，
，．
设，则的长，
解得，连接，可知为等边三角形，
，
蚂蚁从点出发，沿该几何体的侧面爬行一周回到起点的最短路径即为线段，
蚂蚁爬行的最短路程为．

17.解：由及正弦定理，得，
即，
即，
在中，，则，即，
又，所以．
因为，，当且仅当时取等号，
所以，得，
所以的面积，当且仅当时取等号，
故面积的最大值为．

18.解：因为，，，
所以，化简得．
由题意知，所以，则，
故，
又，
所以，
故．
根据题意，以为坐标原点，，所在直线分别为，轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，
因为，
所以，
所以点，所以，，
所以，，
因为的图象的对称轴为直线，
所以该函数在上单调递减，
所以当时，取得最小值，最小值为，
故的最小值为．

19.解：由，得，
又，所以，
所以，．
由，，得，
由余弦定理得，整理得．
设的内切圆半径为，则，
所以，
由余弦定理得，
得，
所以，
由基本不等式得，
可得，当且仅当时等号成立，
所以，即，
故的内切圆面积的最大值为．
在中，由正弦定理得，
所以，．
由的中点为，得，
所以
．
因为为锐角三角形，所以，得，
则，所以，
则
故的取值范围是．

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