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安徽合肥市第五中学等六校2025-2026学年下学期期中考试高二年级数学试卷
一、单选题：本大题共8小题，共40分。
1.某个弹簧振子在振动过程中的位移单位：与时间单位：之间的关系为，则当时间时，弹簧振子的瞬时速度大小为 ．
A. B. C. D.
2.某小区有 个不同的快递驿站 驿站 ，现在有 件快递需要分发到这 个驿 站， 每件快递只能分发到其中一个驿站， 那么不同的分发方法有多少种
A. B. C. D.
3.函数的导函数图象如左图所示，则该函数图象可能是( )
A. B.
C. D.
4.已知，且，则下列等式不正确的是( )
A. B.
C. D.
5.已知，则的大小关系为( )
A. B. C. D.
6.已知函数，则( )
A. B.
C. D. 的个位数是
7.定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
8.若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本大题共3小题，共18分。
9.下列求导正确的是( )
A. B.
C. D.
10.下列说法正确的是( )
A. 用这个数字，可以组成个没有重复数字的三位数
B. 将个个个排成一排，则共有种排法
C. 将个参加数学竞赛的名额分给甲乙丙三个班，每班至少一个名额，则共有种方法
D. 从名男生和名女生中选出人参加数学竞赛，如果人中必须既要有男生又有女生，则共有种选法
11.已知是定义在上的可导函数，其中为其导数，，若满足，关于点对称，下列结论中正确的是( )
A. B.
C. 为的一条对称轴 D.
三、填空题：本大题共3小题，共15分。
12.如图，有两堆同样的盒子，一堆个，一堆个，现需要将这些盒子搬走，每次只能从其中一堆搬走最上面的一个盒子，共有 种不同的搬法．用数字作答
13.在微积分中“以直代曲”是最基本、最朴素的思想方法，中国古代科学家刘徽创立的“割圆术”，用圆的外切正边形和内接正边形“内外夹逼”的办法求出了圆周率的精度较高的近似值，事实上就是用“以直代曲”的思想方法进行近似计算的，它是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的方法，在切点附近可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来“近似计算”若函数，则曲线在点处的切线方程为 ，用此结论“近似计算”的值为 结果用分数表示．
14.若函数有且仅有两个零点，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.已知函数，是函数的一个极值点．
求函数的单调区间
当时，求函数的最小值．
16.在的展开式中，______给出下列条件：所有奇数项的二项式系数和为；各项系数之和为；第项的二项式系数为试在这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并且完成下列问题：
求展开式中的常数项；
求展开式中系数最大的项；
求展开式中的系数．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
17.已知函数．
求的极值；
当时，证明：．
18.已知函数．
若，求的零点
若，讨论的单调性
若，证明：．
19.拐点，又称反曲点，指改变曲线向上或向下的点即曲线的凹凸分界点设是函数的导函数，是函数的导函数若方程有实数解，并且在点左右两侧二阶导数符号相反，则称为函数的“拐点”经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心已知三次函数．
过点作曲线的切线，求切线方程；
若对于任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围；
已知函数，其中求的拐点．
参考答案
1.
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8.
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10.
11.
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13.

14.，
15.解：由题意得，
因为是函数的一个极值点，
所以，即，
当时，解得或，
所以在和上单调递增；
当时，解得，所以在上单调递减，
因此是函数的一个极值点，
所以函数的增区间为和，减区间为；
由可知：函数的增区间为和，减区间为，
所以是函数的极小值点，且，
所以是函数的极大值点，且，
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，
因为，，
所以当时，函数的最小值为．

16.解：若选，易知 ，则 ，
此时 的展开式的通项公式为 ，
令 得 ，故常数项为 ．
若选，令 ，则 ，则 ．
此时 的展开式的通项公式为 ，
令 得 ，故常数项为 ．
若选，易知 ，则 ．
此时 的通项公式为 ，
令 得 ，故常数项为 ．
由知 ，则展开式的通项为 ，
由于 ， ， ， ，
， ，
故展开式中系数最大的项为第项， ．
因为 ，所以问题为求 展开式中 的系数，
先求 展开式中含 的项乘以，该项为 ，
再求 展开式中常数项乘以 ，该项为 ，
所以 展开式中含 的项为 ，
所以其系数为．

17.解：由题意得的定义域为，
则，
当时，在上单调递增，无极值；
当时，令，则，令，则，
即在上单调递增，在上单调递减，
故为函数的极大值点，函数极大值为，无极小值；
综上，当时，函数极大值为，无极小值；当时，无极值；
证明：当时，，设，
，
令，
则，即在上单调递增，
，
故，使得，即，
整理得，因为，所以，
当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，
故，
即，即，则．

18.解：时，，
令可得的零点为．
易得，
若，令，解得，，
若，即时，
当时，；当时，，
故在区间上单调递增，在区间，上单调递减，
若，即时，，故在上单调递减，
若，即时，当时，；当时，，
故在区间上单调递增，在，上单调递减．
要证，即证，
因为，原不等式等价于 ，
故只需证明，
设，则 ，
所以当时，，故在区间上单调递增，
所以，原式得证．
19.或．
．

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