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安徽安庆市第二中学等2025-2026学年度第二学期期中考试
高二数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在等差数列中，，则的值是( )
A. B. C. D.
2.已知是函数的导函数，且，则为( )
A. B. C. D.
3.已知数列满足，则( )
A. B. C. D.
4.若，则的解集为( )
A. B.
C. D.
5.用四种颜色给正四棱锥的五个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.若数列的前项和，则该数列的前项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为( )
A. B. C. D.
7.中国空间技术的突破和空间站的建设，吸引了众多太空爱好者在“天宫课堂”第三课中就有人提问：如何能成为一名航天员如何才能加入探索太空的队伍中已知航天员选拔时要接受特殊环境的耐受性测试，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飞行、飞行跳伞、着陆冲击五项现对这五项测试排序，要求前庭功能不排在第一项，超重耐力不排在最后一项，失重飞行不排在第三项，则选拔测试的安排方案有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8.已知集合，，若，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，若，则正确的是( )
A.
B.
C. 除以所得余数为
D.
10.数列中，，则下列说法正确的是( )
A. 当时，
B. 当时，
C. 当时，
D. 当时，
11.已知函数及其导函数满足，且和均为偶函数，则( )
A. 图象关于直线对称 B. 是周期为的周期函数
C. 的图象关于原点对称 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中，项的系数为 ．
13.已知等差数列中，，，求前项和的最小值为 ．
14.关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知等比数列的公比为整数，且，．
求的通项公式；
设，求数列的前项和．
16.本小题分
若的展开式中第项与第项的二项式系数之比为．
求展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值；
求展开式中所有的有理项；
求展开式中系数最大的项．
17.本小题分
已知函数
时，求在处切线方程；
讨论的极值．
18.本小题分
已知数列的前项和为，且满足
求数列；
设，求数列的前项和
19.本小题分
已知函数
若有两个零点，求的取值范围；
求证：，恒成立；
若的两个零点为，且，求证．
参考答案
1.
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15.
16.解：因为的展开式中第项与第项的二项式系数之比为 ，
则，即，故．
令，则展开式中各项的系数和为，
二项式系数和为，
则展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值为；
的展开式通项为其中，
有理项要求为整数，即为整数，结合，得，
当时，；
当时，；
当时，。
故展开式中的有理项为，，；
展开式中第项的系数为，
时，系数为；
时，系数为；
时，系数为；
时，系数为；
时，系数为；
时，系数为，
系数最大为，对应和，
当时，；
当时，由得
故展开式中系数最大的项为和．
17.解：当时，，定义域，
由，即切点为，
求导得，代入得，即斜率，
由点斜式得，即．
由，
求导得：，，
当时，，
当时，单调递减；时，单调递增，
故仅有极小值，无极大值，
当，即时，，
和时，，
时，，
故在和单调递增，在单调递减，
故极大值为，极小值为，
当时，恒成立，
在定义域内单调递增，无极值，
当时，，，
和时，，时，，
在和单调递增，在单调递减，
故极大值为，极小值为，
综上：当时，极小值，无极大值，
当时，极大值为，极小值为，
当时，无极值，
当时，极大值为，极小值为．

18.解：由数列的前项和为，且，
当时，可得，可得，
当时，，
即，可得，即，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，所以．
解：由知：，
可得，
所以
．

19.解：由题意得，则，因为恒成立，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
所以当时取到极大值，也即最大值，的最大值为，
又时，时；
又因为有两个零点，所以，故的取值范围为．
要证，即证，
又因为，由常用不等式，令，
则，即，
所以，
令，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取到极小值也即最小值，最小值为，
故，所以，原不等式得证．
由即，所以，
对式两边同时取对数可得，
即，所以，
由对数平均值不等式，
可知，即所以，
由可知，零点，，
有，即，
两边平方得，
即，
因为，，对式开方得，
所以，原不等式得证．

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