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2025-2026学年天津市武清区杨村四中高一（下）第一次学情调查数学试卷
一、单项选择题：本大题共9小题，共45分。
1.设是平面内两个不共线的向量，则向量可作为基底的是（　　）
A. B.
C. D.
2.已知复数z满足（其中i为虚数单位），则z的虚部是（　　）
A. B. C. D.
3.在△ABC中，点M是BC的中点，设=，=，则=（　　）
A. + B. ﹣ C. + D. ﹣
4.已知复数z在复平面上对应的点为（2，-1），则（　　）
A. z=-1+2i B. |z|=5 C. D. z-2是纯虚数
5.已知向量=（-1，2），=（1，1），则在上的投影向量为（　　）
A. B. （-1，2） C. （，） D. （）
6.在△ABC中，a=8，B=60°，C=75°，则b=（　　）.
A. B. C. D.
7.已知点A（1，3），B（-2，7），则与向量方向相同的单位向量是（　　）
A. B. （3，-4） C. D.
8.在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c,且acosB+bcosA=b,则△ABC一定是（　　）
A. 等腰三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 直角三角形
9.已知向量，满足：，，且，则||=（　　）
A. B. C. D. 1
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.已知向量，，若，则x= .
11.在△ABC中，已知a=，b=2，A=30°，则B=______．
12.在△ABC中，角A、B、C所对边分别是a、b、c,若a2+b2-c2-ab=0，则角C=______．
13.若，则1+z+z2+…+z2019= .
14.在△ABC中，A=60°，，则= .
15.在四边形ABCD中，∠B=60°，AB=3，BC=6，=λ， =-3，则实数λ的值为______，若M，N是线段BC上的动点，且||=2，则 的最小值为______．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题15分)
已知i是虚数单位，复数z=（m2-3m）+（m2-5m+6）i,m∈R.
（1）当m=1时，求|z|；
（2）若z是纯虚数，求m的值；
（3）若z在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围.
17.(本小题15分)
已知向量，，.
（1）求；
（2）若向量，试用表示；
（3）若，求实数k的值.
18.(本小题15分)
已知a、b、c分别为三个内角A、B、C的对边，若=（bsinB-asinA，c-b），=（1，sinC），且⊥.
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=7，b+c=8时，求△ABC的面积.
19.(本小题15分)
已知.求：
（1）与的夹角；
（2）；
（3）若与夹角为钝角，求λ的取值范围.
20.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知，c=2，.
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）点D在线段BC上，且BD=2DC，求AD的长；
（Ⅲ）求sin（2B-A）的值.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】B
10.【答案】-6
11.【答案】45°或135°
12.【答案】
13.【答案】0
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】解：（1）当m=1时，z=-2+2i,
所以；
（2）若复数是纯虚数，则，
解得，
所以m=0；
（3）复数z在复平面内对应的点位于第二象限
则；
即，
所以实数m的取值范围是（0，2）．
17.【答案】解：（1）根据=（1，2），=（-3，2），可得=（1，2）-2（-3，2）=（7，-2），
所以．
（2）根据题意，与不共线，因此设（x,y∈R），
所以（5，2）=x（1，2）+y（-3，2），可得，
解得x=2，y=-1，可得．
（3）由题意得k+2=k（1，2）+2（-3，2）=（k-6，2k+4）．
因为=（7，-2），且∥k+2，所以-2（k-6）=7（2k+4），解得k=-1．
18.【答案】解：（Ⅰ）△ABC中，∵=（bsinB-asinA，c-b），=（1，sinC），且⊥，
∴ =bsinB-asinA+csinC-bsinC=0，
利用正弦定理，化简可得，c2+b2-a2=bc，
∴cosA==，∴A=．
（Ⅱ）∵a=7，b+c=8，由余弦定理可得a2=b2+c2-2bc×cosA=（b+c）2-3bc，
即49=64-3 bc，∴bc=5，
故△ABC的面积为bc sinA=．
19.【答案】解：（1）∵，
∴，
即，解得，
又的取值范围为[0，π]，则；
（2）∵，且，
∴，
∴；
（3）若与夹角为钝角，
∴（） （）=0，即，
∴16λ-6（1-λ）-9＜0，解得，
令，则，解得λ=-1，
综上所述，且λ≠-1，故λ的取值范围为．
20.【答案】（Ⅰ）3；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）．
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