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2025-2026学年天津市南开中学高二（下）质量监测数学试卷（一）
一、单项选择题：本大题共12小题，共60分。
1.下列函数求导正确的是（　　）
A. （x3）′=3x3 B. （sinx）′=-cosx
C. （（2x+1）2）′=8x+4 D.
2.y=e-2x在x=0处的导数为（　　）
A. -2 B. C. D. 2
3.已知函数，则其在x=1处的切线方程为（　　）
A. 2x-y+2=0 B. x-y+2=0 C. x-y+3=0 D. 2x+y-2=0
4.下列函数中，在区间（1，+∞）内单调递增的是（　　）
A. y=sinx B. C. y=x3-x-2 D. y=lnx-x
5.函数在区间（0，+∞）上（　　）
A. 有极大值，且极大值为27 B. 有极大值，且极大值为
C. 有极小值，且极小值为 D. 有极小值，且极小值为-27
6.函数f（x）=（x2-3x+1）ex的最小值为（　　）
A. -e B. -e2 C. 5e-2 D. e
7.树人中学选派出甲、乙、丙、丁四名学生参加接力比赛，要求甲不跑第一棒，丁不跑第四棒，则不同的接力比赛顺序有（　　）
A. 8种 B. 10种 C. 12种 D. 14种
8.函数的图象大致为（　　）
A. B. C. D.
9.若f（x）是定义在区间（-3，2）上的函数，其图象如图所示，设f（x）的导函数为f′（x），则的解集为（　　）
A. （-2，-1）∪（1，2）
B. （-1，0）∪（1，2）
C. （-2，-1）∪（0，1）
D. （-3，-2）∪（0，1）
10.设函数f（x）在R上的导函数为f′（x），且2f（x）+xf′（x）＞x2，下面的不等式在R内恒成立的是（　　）
A. f（x）＞0 B. f（x）＜0 C. f（x）＞x D. f（x）＜x
11.已知函数有两个极值点，则实数m的取值范围为（　　）
A. （-∞，2） B. C. D. （1，2）
12.已知函数f（x）=ex，g（x）=xa（x＞0），若存在直线l既是曲线y=f（x）的切线，也是曲线y=g（x）的切线，则实数a的取值范围是（　　）
A. （0，1） B. （0，e]
C. （0，1）∪（1，e] D. （0，1）∪[e,+∞）
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
13.若复数z满足z i=3-i,则|z|= .
14.已知直线l：y=m（x+2），圆M：（x-1）2+（y-1）2=4，若圆M截直线l所得两段弧长之比为3：1，则m= .
15.若函数f（x）=lnx+ax2-4x在区间（1，3）内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是 .
16.已知圆柱的表面积为18π，则圆柱体积的最大值为 .
17.将图中四棱锥P-ABCD的五个顶点涂上颜色，现有4种不同的颜色可供选择，每条棱的两个端点不同色.共有 种不同涂法；若要求4种颜色全部使用，则共有 种不同涂法.
18.已知函数若函数y=f（f（x）-a）恰有4个零点，则实数a的取值范围是 .
三、解答题：本题共4小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题14分)
如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB∥DC，AB=AA1=2，AD=DC=1，M，N分别为DD1，B1C1的中点.
（Ⅰ）求证：D1N∥平面CB1M；
（Ⅱ）求平面CB1M与平面BB1C1C夹角余弦值；
（Ⅲ）求三棱锥B-B1MC的体积.
20.(本小题15分)
已知函数.
（I）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求f（x）在（0，2]上的最值.
21.(本小题15分)
已知函数，其中a∈R.
（I）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若对于任意的x∈（0，+∞），总有f（x）≤0，求a的取值范围.
22.(本小题16分)
已知函数f（x）=ae-x-ln（x+1），a∈R.
（Ⅰ）若函数f（x）在x=0处的切线经过（-2，0），求a的值；
（Ⅱ）若函数f（x）存在两个极值点，
（i）求a的取值范围；
（ii）若m,n∈R满足，f（m）＞0且f（m）=f（n）+1，证明：|n-m|＜1.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】C
10.【答案】A
11.【答案】B
12.【答案】D
13.【答案】
14.【答案】或1
15.【答案】（，+∞）
16.【答案】6
17.【答案】72
48

18.【答案】
19.【答案】取B1C的中点E，连接NE，ME，
因为N是B1C1的中点，
所以NE∥CC1，NE=CC1，
又M为DD1的中点，
所以MD1∥CC1，MD1=CC1，
所以NE∥MD1，NE=MD1，
所以四边形MD1NE是平行四边形，
所以D1N∥ME，
而D1N 平面CB1M，ME 平面CB1M，
所以D1N∥平面CB1M
20.【答案】（I）f（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞）．
（Ⅱ）最小值为，最大值为．
21.【答案】（I）3x-2y-5=0．
（Ⅱ）．
22.【答案】 （i）a∈（-∞，-1）；（ii）证明：由a＜-1，当x≥0时，ae-x≤a＜-1-l（x+1）≤0，故f（x）＜-1＜0．
因f（m）＞0，故m∈（-1，0）．
由f（m）=f（n）+1，得f（n）=f（m）-1＞-1，结合x≥0时f（x）＜-1，故n∈（-1，0）．
，因a＜-1，x∈（-1，0）时，，
故f′（x）＞0，f（x）在（-1，0）单调递增．
f（m）＞f（n），故m＞n，又m，n∈（-1，0），
故|n-m|=m-n＜0-（-1）=1，即|n-m|＜1
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