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北京市陈经纶中学2025-2026学年高一下学期4月月考数学试题（贯通）
一、单项选择题：本大题共10小题，共50分。
1.已知向量，满足与的夹角为，则等于（ ）
A. B. C. 1 D. 3
2.如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形其中以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体体积为（ ）
A. B. C. D.
3.已知是两个平面，是两条直线，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
4.如图，三棱台中，，则三棱锥，，的体积之比为（ ）
A. B. C. D.
5.如图，二面角的大小为，点A，B分别在半平面内，于点，于点.若，则（ ）
A. B. 7 C. 8 D. 9
6.已知某圆台的上、下底面的半径分别为4和2，且该圆台有内切球（球与圆台的侧面及两个底面均相切），在圆台上底面圆O1的圆周上取一点A，在圆台下底面圆O2的圆周上取一点B，且O1A⊥O2B，则直线AB与平面O1O2A所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
7.如图，一块边长为10cm的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下去，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则这个正四棱锥的内切球（球与正四棱锥各面均有且只有一个公共点）的体积为（）
A. B. C. D.
8.在中，为边上一点，为边的中点，且与相交于点，若，则（ ）
A. B. C. D.
9.如图，某建筑物的高度，一架无人机上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为15°，地面某处的俯角为45°，且，则此无人机距离地面的高度为（ ）
A. B. C. D.
10.已知一对不共线的向量,的夹角为,定义为一个向量,其模为||= ||||,其同时与向量,垂直(如图1).在平行六面体OACB-O'A'C'B'中(如图2),下列结论正确的是( )
A. 向量平行于平面OACB
B. 当AOO'(0,)时,||=AOO'
C. 若||=2,||=3,=3,则||=2
D. 平行六面体OACB-O'A'C'B'的体积V= |()|
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.复数z＝a2－1＋(a＋1)i(a∈R)是纯虚数，则a＝ ，|z|＝ .
12.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=4AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为 .
13.已知直线m、n和平面，，给出四个论断：①；②；③；④，以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的命题： ．
14.太极图被称为“中华第一图”,其形状如阴阳两鱼互抱在一起,因而又被称为“阴阳鱼太极图”.如图所示的图形是由半径为2的大圆O和两个对称的半圆弧组成的,线段MN过点O且两端点M,N分别在两个半圆弧上,点P是大圆上一动点,则 的最小值为 .
15.记△ABC的面积为S，△ABC的外接圆半径为，且S＝sin2A+sin2B-sin2C，则tan C＝ ．
16.如图，正方体的棱长为，，，，分别是所在棱上的动点，且满足，则以下四个结论正确的有

①，，，四点一定共面
②若四边形为矩形，则
③若四边形为菱形，则，一定为所在棱的中点
④若四边形为菱形，则四边形周长的取值范围为
三、解答题：本题共3小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题20分)
在中，内角的对边分别为，为钝角，，．
(1)求；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．
条件①：；条件②：；条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
18.(本小题25分)
如图，正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高为3，且AB=2A1B1=4
（1）求证：平面BDC1⊥平面ACC1A1；
（2）求CC1与平面ABCD所成角的余弦值.
19.(本小题25分)
如图，点为正方形所在平面外一点，为中点，.
(1)求证：平面；
(2)若平面平面，，.若点到平面的距离为，求的值.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】D
11.【答案】1 ； 2
12.【答案】
13.【答案】②③④①
14.【答案】0
15.【答案】4
16.【答案】①④
17.【答案】解：（1）在中，因为为钝角，所以，
由，则，
因为，所以，即，
由正弦定理，，所以，解得，
由，所以.
（2）选择①：因为，所以，这与矛盾，不满足题意；
选择②：因为，，
所以，
代入中得出，
由，所以，
所以
，
所以；
选择③：将代入中得：，
由正弦定理，，所以，
由，所以，
由，所以，
所以
，
所以.

18.【答案】证明：在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，
设AC交BD于O，连接A1C1，B1D1并交于O1，连接OO1，
由正四棱台的性质可知OO1⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，
所以OO1⊥BD，又AC⊥BD，OO1∩AC=O，OO1，AC 平面ACC1A1，
所以BD⊥平面ACC1A1，又BD 平面BDC1，
所以平面BDC1⊥平面ACC1A1
19.【答案】解：（1）连接，交于点，连接，如图所示：
因为四边形为正方形，所以为的中点，
又为中点，所以为的中位线，所以，
又平面，平面，所以平面.
（2）因为平面平面，，平面平面，
平面，所以平面，
所以以点为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系：
由，则，
设，所以，
由，所以，
即，所以，
由，
设平面的一个法向量为：，
由，令，则，所以，
又，
所以点到平面的距离为：
，
又，解得：.

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