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山东省济南第三中学等2025-2026学年第二学期高一年级期中学情检测数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知复数（ i为虚数单位），则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
2.下列命题正确的是（）
A. 三个点可以确定一个平面
B. 一条直线和一个点可以确定一个平面
C. 两条直线可以确定一个平面
D. 长方体一定是直四棱柱，正四棱柱一定是长方体
3.在中，内角、、的对边分别为、、，，，，则（ ）
A. B. C. 或 D.
4.圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（　　）
A. B. C. D.
5.已知平面向量，，则向量在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
6.在中，若，，，则三角形解的个数为（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 不确定
7.如图，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（ ）
A. B. C. D.
8.图1为迪拜世博会中国馆，建筑名为“华夏之光”，外观取自中国传统灯笼，寓意希望和光明.它的形状可视为内外两个同轴圆柱.某爱好者制作了一个迪拜世博会中国馆的实心模型（如图2），已知模型内层底面直径为，外层底面直径为，且内外层圆柱的底面圆周都在同一个球面上若该模型的表面积为，则此模型外接球的体积为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知复数的实部为，则下列说法正确的是（　　）
A. 复数的虚部为 B. 在复平面内对应的点位于第三象限
C. D. 复数的共轭复数
10.已知向量，满足，，则下列结论正确的是（　　）
A. B.
C. 存在非零实数，使得 D. 向量与的夹角为
11.如图，在棱长为1的正方体中，已知M，N，P分别是棱，，BC的中点，点满足，，下列说法正确的是（ ）
A. 平面
B. 若Q，M，N，P四点共面，则
C. 若，点在侧面内，且平面，则点的轨迹长度为
D. 若，则以为顶点，以过M、N、Q三点作该正方体的截面为底面的棱锥的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，若，则k= .
13.如图，是水平放置的的直观图，则的周长为 ．
14.如图，在平面四边形中，，，，，则 ，四边形的面积为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数．
(1)若为纯虚数，求的值；
(2)若为实数，求的值；
(3)若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围.
16.(本小题15分)
如图所示，在四棱锥中，平面PAD，，E是PD的中点．
求证：；
求证：平面PAB；
17.(本小题15分)
如图,已知正方形ABCD的边长为2,F为BC的中点,=(01).
(1)若DEAF,求的值;
(2)求的取值范围.
18.(本小题17分)
已知ABC为锐角三角形,a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,且bC+cB=2aA,
(1)求A;
(2)若b+c=5,ABC的面积为,求ABC的周长;
(3)若a=1,求ABC周长的取值范围.
19.(本小题17分)
如图1，设半圆的半径为2，点三等分半圆，，，分别是，，的中点，将此半圆以为母线卷成一个圆锥如图在图2中完成下列各题.
(1)求在圆锥中的线段的长；
(2)求四面体的体积；
(3)若是的中点，在线段上是否存在一点，使得平面若存在，求的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】ABC
10.【答案】ABD
11.【答案】ACD
12.【答案】0
13.【答案】
14.【答案】 ； ； ； ； ； ；
15.【答案】解：(1)因为为纯虚数，
所以,
解得：m=1；
(2)若为实数，则，
解得：m=0或m=-1；
(3)z所对应的点在第二象限，则，即
解得：0＜m＜1．
故m的取值范围为（0,1）.

16.【答案】证明：
在四棱锥中，平面PAD，平面ABCD，
平面平面，
.
取PA的中点F，连接EF，BF，

是PD的中点，
则EF为的中位线,
，.
又由可得，且，
，，
四边形BCEF是平行四边形，
，
平面PAB，平面PAB，
平面PAB．
17.【答案】解：(1) 如图所示,以A为坐标原点, 建立平面直角坐标系,
则A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),E(2,0),F(2,1),
所以=(2,-2),=(2,1),
因为DEAF,
则=4-2=0,解得=；
(2)由(1)知,=(2,-2),=(2-2,-1),
则=2(2-2)+2=4-4+2=4+1,
当01时,4+1[1,2],
即的取值范围是[1,2].
18.【答案】解：(1) 在ABC中, 因为2aA=cB+bC,
所以2AA=CB+BC,
即2AA=(C+B)=(-A)=A,
因为A(0,),所以A>0,故A=,
则A=;
(2)因为ABC的面积为,
即bcA=bc=,所以bc=6，
由余弦定理得
=+-2bcA=+-bc=-3bc=25-18=7。解得a=,.
所以ABC周长为5+；
(3)由正弦定理得====,
即b=，,c=C,
则b+c=[B+(-B)]=(B+B+B)=2(B+),
因为ABC为锐角三角形,则0< B<,0< C=-B<,
故< B<,所以< B+<,
则(B+)(,1]，
故a+b+c=1+2(B+)(1+,3],
故ABC周长的取值范围为(1+,3].
19.【答案】解：（1）在图中，设圆锥的底面圆半径为，
则，解得，
因为在图1中，点、三等分半圆，
所以在图中，点、为圆锥的底面圆周的三等分点，
所以为等边三角形，所以，所以，
又因为点、分别是、的中点，
所以；
（2），
圆锥的高，
所以，
所以，
即四面体的体积为；
（3）在线段OB上存在点E，且，使得平面ABC，
理由如下：如图，取AC的中点F，且D是AN的中点，连接DF，
所以，
取CB的四等分点G，使，连接GE，
因为，所以，，
所以，，
所以四边形DFGE是平行四边形，所以
又平面ABC，平面ABC，所以平面

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