资源简介

2025-2026学年江苏省无锡市锡山区天一中学高二（下）期中数学试卷（理科）
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知函数f（x）=ln（2x-1）的导函数是f′（x），且f′（1）=（　　）
A. B. -1 C. 1 D. 2
2.若变量y与x之间存在线性相关关系，且根据最小二乘法得到的经验回归方程为，样本点中心为（3，6.5），则样本点（2.5，7）的残差为（　　）
A. -1.5 B. 1.5 C. 0.5 D. -0.5
3.某农业科学院培育脐橙新品种，新培育的脐橙单果质量ξ（单位：g）近似服从正态分布N（180，100），现有该新品种脐橙10000个，估计单果质量不低于150g的脐橙个数为（　　）
附：若X～N（μ，σ2），则P（μ-σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ-3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974.
A. 8413 B. 9772 C. 9974 D. 9987
4.记，若，则f（2）=（　　）
A. 1 B. 22025 C. 42025 D. 52025
5.某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，其中甲车间的产量占总产量的20%，乙车间占35%，丙车间占45%.已知这3个车间的次品率依次为5%，4%，2%，若从该厂生产的这种产品中取出1件为次品，则该次品由乙车间生产的概率为（　　）
A. B. C. D.
6.已知实数x1，x2满足，则的最大值为（　　）
A. e B. 4e-1 C. 4e-2 D. 4e2
7.数字1，2，3，4，5，6按如图形式随机排列，设第二行中的最大数为m,第三行中的最小数为n,则满足n＜m的排列个数为（　　）
A. 684 B. 648 C. 624 D. 600
8.已知函数f（x）的导函数为f′（x），f（x）和f′（x）的定义域均为R，若f（x）-f（-x）=2x,f′（x）+f′（2-x）=0，f（0）=0，，则=（　　）
A. -66 B. -56 C. -38 D. 28
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知A，B为随机事件，且P（A）=0.5，P（B）=0.4，则下列结论正确的是（　　）
A. 若A，B互斥，则P（A∪B）=0.9 B. 若A，B相互独立，则
C. 若A，B相互独立，则P（A∪B）=0.7 D. 若P（B|A）=0.5，则
10.甲、乙两同学参加普法知识对抗赛，规则是每人每次从题库中随机抽取一题回答.若回答正确，得1分，答题继续；若回答错误，得0分，同时换成对方进行下一轮答题.据经验统计，甲、乙每次答题正确的概率分别是和，且第1题的顺序由抛掷硬币决定.设第i次答题者是甲的概率为Pi，第i次回答问题结束后中甲的得分是Ki，则（　　）
A. B.
C. D.
11.设函数f（x）=（x-e）ln|x|的极小值点为x0，其中e为自然对数的底数，则（　　）
A. f（x）的单调增区间为（-∞，0），（x0，+∞）
B. f（x）有且仅有两条斜率为3的切线
C. 2x0＞e+1
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则a2= .
13.某机器有四种核心部件A，B，C，D，四个部件至少有三个正常工作时，机器才能正常运行，若四个核心部件正常工作的概率分别为P（A），P（B），P（C），P（D），其中P（A）=P（B），P（C）=P（D），，且各部件是否正常工作相互独立，设X为在n次试验中该机器正常运行的次数，若E（X）=16，则至少需要进行的试验次数为 .
14.设函数f（x）=[ax-（m+1）ex]（ax-lnx）（其中e为自然对数的底数），若存在实数a使得f（x）＜0恒成立，则实数m的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某商场举办购物抽奖活动，在一个不透明的袋子中放入24个大小、材质都相同的小球，小球有红和蓝两种颜色，每个小球上都画有符号“〇”或“×”，不同颜色和符号的小球个数如表所示.从袋中随机摸出一个球，记事件A为“摸出红球”，事件B为“摸出画〇的球”.
红球 蓝球
画〇 6 10
画× 2 6
（Ⅰ）求P（A）和P（A|B）.
（Ⅱ）该商场规定在一次抽奖中，每人有放回地摸两次球，每次只摸出一个球，根据两次摸出球的颜色和符号是否相同设置三种奖项：颜色和符号均相同则奖励200元；仅颜色相同或仅符号相同则奖励100元；颜色和符号均不相同则奖励50元.设一次抽奖获得的奖金为X元，求X的分布列和数学期望.
16.(本小题15分)
已知函数和函数g（x）=alnx（a∈R）.
（1）若函数h（x）=f（x）-g（x）在区间[1，4]上不单调，求a的取值范围；
（2）若函数f（x）的图象与函数g（x）的图象在公共点处有相同的切线，求该公切线方程.
17.(本小题15分)
人工智能中的文生视频模型Sora（以下简称Sora），能够根据用户的文本提示创建最长60秒的逼真视频.为调查Sora的应用是否会对视频从业人员的数量产生影响，某学校研究小组随机抽取了150名视频从业人员进行调查，结果如表所示.
Sora的应用情况 视频从业人员 合计
减少 未减少
应用 54 18 72
没有应用 36 42 78
合计 90 60 150
（1）根据表格中所给数据，依据α=0.001的独立性检验，判断Sora的应用与视频从业人员的减少有关？
（2）某公司视频部现有员工100人，公司拟开展Sora培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀“的概率分别为，，，每轮相互独立，有两轮及以上获得“优秀”的员工才能应用Sora.
①求员工经过培训能应用Sora的概率；
②已知开展Sora培训前，员工每人每年平均为公司创造利润6万元；开展Sora培训后，能应用Sora的员工每人每年平均为公司创造利润10万元，Sora培训平均每人每年成本为1万元.根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后对剩余员工开展Sora培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门？
附：，其中n=a+b+c+d.
α 0.010 0.005 0.001
χα 6.635 7.879 10.828
18.(本小题17分)
已知函数（其中a,b为实数）.
（1）若a=0，b=1，试判断函数f（x）的单调性；
（2）若a=1，b=-1，
①当x≥0时，f（x）≥mx,求实数m的取值范围；
②求方程f（x）=|lnx+sinx|在（0，+∞）上实根的个数.
19.(本小题17分)
通过抛掷质地均匀的硬币产生随机数列{an}，具体产生方式为：若第n次抛掷的结果为反面朝上，则an=0；结果为正面朝上，则an=1.所有总项数为k项的数列{an}组成集合Ak.
（1）已知{an}∈A12，且{an}所有项的和为S，求S=2的概率；
（2）可用软件产生类似的随机数列{cn}，也满足cn∈{0，1}.若“c1=1”的概率为，“c2=1”的概率为，“c1=1且c2=1”的概率为，求“c1=0且c2=0”的概率；
（3）在集合Ak中任取两个不同元素{an}、{bn}.记.X2的均值为E（X2），证明：.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】ACD
10.【答案】BCD
11.【答案】ABD
12.【答案】4
13.【答案】27
14.【答案】（，+∞）
15.【答案】（Ⅰ），；
（Ⅱ）分布列见解析，．
16.【答案】 x-2ey+e2=0
17.【答案】有关 ①；②14
18.【答案】f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增 ①（-∞，1]；②有且只有一个实根
19.【答案】；
；
证明见解析．
第1页，共1页

展开更多......

收起↑