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北京师范大学第二附属中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题
一、单项选择题：本大题共10小题，共50分。
1.与-角终边相同的最小正角是( )
A. B. C. D.
2.一个扇形的弧长与面积的数值都是5, 则这个扇形中心角的弧度数为( )
A. B. 5 C. 2 D.
3.已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边过点，则（ ）
A. B. C. D. 2
4.已知，则（ ）
A. B. C. D.
5.已知向量，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知向量，且，则（ ）
A. -2 B. C. -2或 D. 2或
7.将函数f（x）=sin2x-cos2x的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度后得到新的图象，已知这个新的图象关于原点中心对称，则φ的最小值为（　　）
A. B. C. D.
8.已知正方形ABCD的边长为2，E为边BC的中点，F为边CD上一点，当时，tan∠EAF=（　　）
A. B. C. D.
9.我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距（）的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即．对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为，，若第一次的“晷影长”是“表高”的2倍，且，则第二次的“晷影长”是“表高”的（ ）
A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍
10.在平面直角坐标系xOy中，已知向量，，点C（2，1），则的最大值为（　　）
A. B. C. 2 D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.在平面直角坐标系xOy中，角以坐标原点O为顶点，以x轴负半轴为始边，终边与单位圆交于点，则 ．
12.已知函数f（x）=sinx,则= ；若对任意x∈R都有f（x）+f（x+m）=0，则常数m的一个取值为 .
13.已知，，若，则实数x的取值范围为 .
14.如图为函数（）的部分图象，对于任意的，，若，都有，则等于 .
15.如图，在等腰直角三角形ABC中，，，以AB为直径在外作半圆O，P是半圆弧AB上的动点，点Q在斜边BC上，若，则的取值范围是 .
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
已知.
(1)求及的值；
(2)若，求的值.
17.(本小题12分)
已知函数（，，）的部分图象如图所示.
(1)求的解析式；
(2)设，为锐角，，，求的值.
18.(本小题12分)
已知函数．
(1)求的解析式和对称轴方程；
(2)将函数的图象先向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的单调递增区间．
19.(本小题12分)
如图所示,平行四边形OACB中，已知=(,),=(-1,4),D点在边AC上运动.
(1)求C点坐标；
(2)判断是否存在点D,使得,若存在,求出D点坐标,若不存在,说明理由.
20.(本小题14分)
已知点，，
(1)若A，B，C三点共线，求实数k的值；
(2)若四边形为矩形，求向量与夹角的余弦值．
21.(本小题15分)
已知个向量，将向量按照一定顺序排成一列，可得一个向量序列、、、；定义：，，其中表示、最大的数．
(1)对于向量序列、，求、的值；
(2)设向量，，可排成两个向量序列、，和、，在、、、四个数中最小的数分别为和两种情况下，比较和的大小；
(3)若为奇数且，，，，设集合，证明：集合中存在两个非空子集、，满足，，中所有向量的横坐标之和，中所有向量的纵坐标之和．
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】B
10.【答案】D
11.【答案】
12.【答案】
π

13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】解：（1）由，得，
所以.
.
（2）由，得，
所以.

17.【答案】【详解】（1）由图可得，且，解得，
由，，解得，
由，，解得，
故；
（2）因为，为锐角，，所以为钝角，
因为，，
所以，，
，
则，
所以.

18.【答案】解：（1）
，
令，则，
所以对称轴方程为.
（2）依题意得，，
令，解得，
又，所以当时，得一个单调增区间为，
当时，得一个单调增区间为，
所以的单调递增区间为．

19.【答案】解：（1）由题意，得 ， ，
因为四边形是平行四边形，
所以 ,
所以 ；
（2） ， ，，
若 ，则 ，
化简得 ，解得 ，
故存在点，使得 ，且 .

20.【答案】解：（1）因为A，B，C三点共线，所以，共线，即，
又，，则有，所以；
（2）设，因为四边形为矩形，所以，，
又，，，
得，
则，，，
则，，则，
综上，向量与夹角的余弦值为.

21.【答案】解：（1）对于向量序列、，由题中定义可得，
.
（2），
，
当为最小时，，
因为，，所以，
当为最小时，，
因为，，所以，
所以两种情况下均有.
（3）不妨设，
①若，
因为中任意，所以存在为单元素集合，为的补集即可；
②若，
因为，，所以一定存在正整数，
使得，
可得，
又因为
．
设，，则
，
当且仅当时取等号，
所以，时，
，；
综上所述，存在两个非空子集、，满足题意．

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