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北京师范大学第二附属中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题
一、单项选择题：本大题共10小题，共50分。
1.函数 的导数为（ ）
A. B.
C. D.
2.已知数列满足，且，则（ ）
A. 4 B. 2 C. 1 D.
3.若随机变量，则（ ）
A. B. C. D.
4.已知盒中有6个灯泡,其中4个正品、2个次品.从中每次取出1个灯泡,取出后不放回,直到取出2个正品为止.设X为取出的次数,则P(X=3)=( )
A. B.
C. D.
5.函数f（x）＝x4﹣2x3在点（1，f（1））处的切线方程为（　　）
A. 2x+y﹣1＝0 B. 2x+y+1＝0 C. x﹣2y﹣3＝0 D. x+2y﹣3＝0
6.设数列{}满足=2,=,则=( )
A. - B. -1 C. D. 2
7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S7=21，a5+a10-a8=9，则S6=（　　）
A. 10 B. 12 C. 14 D. 24
8.若随机变量X服从两点分布，其中，E(X)，D(X)分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是（ ）
A. P(X＝0)＝E(X) B. E(3X+2)＝4 C. D(3X+2)＝4 D.
9.已知公比不为1的等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2、a8、a5成等差数列，且S3、S9、Sm也成等差数列，则m=（　　）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
10.已知函数，若函数有4个不同的零点则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知函数及其导函数满足，则 .
12.编号为1,2,3的三位学生随意入坐编号为1,2,3的三个座位,每位学生坐一个座位,设与座位编号相同的学生的个数是,则E()= .
13.已知等差数列{an}中，a2＝5，a6＝21，若在数列{an}每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第41项为 ．
14.若恒成立，则实数a的取值范围为 ．
15.数列满足，，其前项和为．给出下列四个结论：
①，；
②，；
③，；
④，当时，都有成立．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
已知数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）在数列中，，求数列的前项和．
17.(本小题12分)
某学校食堂每天午餐最多可以提供3道特色菜，已知该食堂共有4个窗口，且每个窗口恰提供一道特色菜，每道特色菜在每个窗口出现的概率均为.假设各个窗口的供菜彼此独立，同学们可以在任何窗口点菜.
（1）已知食堂的特色菜中包含了“梅菜扣肉”，小明同学最喜爱这道特色菜，求小明某天午餐能吃到“梅菜扣肉”的概率；
（2）我们把一天午餐时食堂所有窗口中出现特色菜的种数称为“膳食多样性指标”.求该食堂“膳食多样性指标”的分布列及数学期望.
18.(本小题12分)
已知函数f（x）=xlnx.
（1）求函数f（x）在x=e处的切线方程；
（2）若关于x的不等式f（x）≥ax-x-1恒成立，求实数a的取值范围.
19.(本小题12分)
为了促进学生健康成长和全面发展，某省教育厅发出《关于保障中小学生每天综合体育活动时间不低于两小时的通知》（下称“通知”）．接到通知后，光明中学对该校高一、高二、高三三个年级的学生，用分层抽样方法随机抽查得出部分同学五天内的综合体育活动时间，数据如下表（单位：小时），五天内的综合体育活动时间不低于10小时的可认为达到“通知”要求．
高一年级 10 12.5 8 9.5 9 11
高二年级 7.5 8 8.5 10 9.5 11 12
高三年级 7 4.5 6 5 7.5 10.5 11 12.5
(1)已知高一学生有600人，试估计高一、高二、高三各有多少学生综合体育活动时间没有达到“通知”要求；
(2)从被调查的高三年级8名学生中，随机选取3人，记这3人中综合体育活动时间达到“通知”要求的人数为，求的分布列和数学期望；
(3)试根据样本数据，直接判断三个年级体育活动时间的方差大小关系（用“”连接）．
20.(本小题14分)
已知函数，．
(1)若存在x使得成立，求a的取值范围；
(2)当时，在定义域内恒成立，求b的取值范围．
21.(本小题15分)
若正整数整除正整数,则称是的正因数,如2是6的一个正因数,设正整数有个正因数,从小到大排列成数列:记为正整数的正因数个数，为正整数的所有正因数的和，如.
(1) 求,;
(2) 当时,若,, ,构成等比数列,求正整数;
(3) 当时,若,,…,是正整数的所有正约数的一个排列,那么,,, ,是否是另一个正整数的所有正约数的一个排列 并证明你的结论.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】C
10.【答案】B
11.【答案】/
12.【答案】1
13.【答案】41
14.【答案】
15.【答案】①②③
16.【答案】解：（1）由，
当时，，所以，
当时，，即，
所以数列是从第二项开始以为公比的等比数列，
所以；
（2）当时，，此时
当时，，
则，
此时
，
当时，，上式成立，
所以.

17.【答案】；
分布列见解析，数学期望为．
18.【答案】y=2x-e；
（-∞，2]．
19.【答案】解：（1）由题可知，用分层抽样方法从高一、高二、高三抽查的人数分别为6，7，8，
已知高一学生人数为600，所以高二、高三学生人数分别为700，800，
而综合体育活动时间五天内低于10小时的人数，
高一、高二高三占比分别为，
由，
因此，估计高一、高二、高三学生综合体育活动时间没有
达到“通知”要求人数分别为300，400，500；
（2）由题可知，综合体育活动时间达到通知要求的，
高三有3人，另5人没有达到要求，所以的可能取值为0，1，2，3，
则，，
，，
所以的分布列为：
0 1 2 3
所以；
（3）高一年级样本数据的平均数为，
其方差为
，
高二年级样本数据的平均数为
，
其方差为
，
高三年级样本数据的平均数为
，
其方差为
，
所以.
所以高一、高二、高三三个年级体育活动时间的方差大小关系为
高一高二高三.

20.【答案】解：（1）函数的定义域为，求导得，
时：若，则，故恒成立，在上单调递增；
当时，，必然存在x使得成立，符合要求；
时：令，解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
在处取得极大值，即为最大值，，
要存在使得，需满足，解得；
当时，的最大值为，恒成立，不符合题意；
综上，a的取值范围为．
（2）由（1）可知时，的最大值，
在上恒成立，
在定义域内恒成立，等价于在内恒成立，
令，则，求导得，
当时，，则，故，在上单调递增，
，满足在内恒成立，符合要求；
当时，令，解得，
时，，单调递减；
时，，单调递增；
在处取得最小值：，
令，求导得，
故在上单调递减，，即，
存在使得，不符合要求；
综上，b的取值范围为．

21.【答案】解：(1)因为1350=2,
所以(1350)=(1+1)(3+1)(2+1)=24.
又=,
所以()=,()=(1+2+++)(1+3+++)=；
(2)由题意得=1,=m,=,=,
k4,依题意可知=,
=,化简可得=，
因此可知是完全平方数,
由于是整数m的最小非1因子,所以=，
所以-,-,,-为-1,-,,-.
因此m=(k3).
(3)假设,+,+,,+是另一个正整数n的所有正约数的一个排列，
A={,,,}, B={,+,+,,+},
易知+3(i=1,2,,k-1),而1B,故=1.
又知2B,所以n是奇数,
所以+为奇数,又A,故是偶数.
其中A中最大的两个元素为m,,显然B中每个元素都不超过m+=,
特别地,n.
设=m,=,其中i,j2(因为m有k(k3)个正约数,=1)，
于是B中存在两个元素+,+,它们都大于,进而都大于且都是n的约数.
这表明n可以被2整除,与n为奇数矛盾，因此假设不成立.
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