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2025-2026学年河南省洛阳市宜阳县九年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数.如果将零下2℃记作-2℃，那么3℃表示（　　）
A. 零上3℃ B. 零下3℃ C. 零上5℃ D. 零下5℃
2.生活中常见的路障锥通常是圆锥的形状，它的侧面展开图是（　　）
A.
B.
C.
D.
3.随着科技水平的发展，我国新能源汽车产业越来越发达，新能源汽车的锂电池需要用到碳纳米管，我国已具备研制直径为0.000000049米的碳纳米管，数据0.000000049用科学记数法表示为（　　）
A. 4.9×10-8 B. 0.49×10-8 C. 0.49×109 D. 4.9×10-9
4.将量角器按图方式放置，其中角度为45°的角是（　　）
A. ∠AOB B. ∠BOC C. ∠COD D. ∠DOE
5.已知关于x的方程（x-1）（x+2）=p,则下列分析正确的是（　　）
A. 当p=0时，方程有两个相等的实数根 B. 当p＞0时，方程有两个不相等的实数根
C. 当p＜0时，方程没有实数根 D. 方程的根的情况与p的值无关
6.如图所示，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tanA的值为（　　）
A.
B.
C. 2
D. 2
7.豫剧是国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱.正面印有豫剧经典剧目人物的三张卡片如图所示，它们除正面外完全相同.把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（　　）
A. B. C. D.
8.计算的结果等于（　　）
A. 3 B. C. -3 D.
9.如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥AB于点F.若菱形ABCD的周长是10，面积是12.则PE+PF的值是（　　）
A. 4
B.
C. 6
D.
10.5G无人物品派送车已应用于实际生活中，如图1所示为无人物品派送车.该车从出发点沿直线路径到达派送点，在派送点停留一段时间后匀速返回出发位置，其行驶路程s与所用时间t的关系如图2所示（不完整）.下列分析正确的是（　　）
A. 派送车从出发点到派送点往返行驶的路程为3.2km
B. 在5～9min内，派送车的速度逐渐增大
C. 在0～5min内，派送车的平均速度为0.12km/min
D. 在9～12min内，派送车匀速行驶
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.代数式在实数范围内有意义，写出一个符合条件的x的值 .
12.甲、乙、丙三名学生参加引体向上体育项目测试，已知他们测试成绩的平均数相同，方差如下：，，.则甲、乙、丙中成绩最稳定的学生是 .
13.如图，某链条每节长为2.8cm，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为1cm，按这种连接方式，50节链条总长度为 cm．
14.两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆O′的一个直径端点与半圆O的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是 .
15.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，若AD=3，BC=5，则AB2+CD2= ．
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
16.计算：
（1）（1+）0+|-2|-.
（2）（a+3）（a-3）+a（1-a）.
四、解答题：本题共7小题，共65分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题9分)
小明在纸上画了某个反比例函数在第一象限内的图象，并把矩形直尺按如图的位置放置，点A，B在反比例函数图象上，点O，A，B，C都在矩形的边上.已知点A的坐标为A（2，1），点C的坐标为.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点B的坐标.
18.(本小题9分)
在学校组织的数学素养竞赛中，每班参加比赛的人数相同，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为90分，80分，70分，60分，学校将八年级一班和二班的成绩整理并绘制成如下的统计图：
请你根据以上提供的信息解答下列问题：
（1）此次竞赛中二班成绩在70分及其以上的人数有______ 人；
（2）补全下表中空缺的三个统计量：
平均数（分） 中位数（分） 众数（分）
一班 77.6 80 ______
二班 ______ ______ 90
（3）请根据上述图表对这次竞赛成绩进行分析，写出一个结论.
19.(本小题9分)
如图，半圆的直径为BC.
（1）若点A在半圆外，AB，AC分别与半圆交于点D、E，且BD=EC，求证AB=AC.
（2）若点A在半圆内，AB=AC，请用无刻度的直尺画出一点D，使得△DBC是等腰直角三角形（保留画图痕迹，不写画法）.
20.(本小题9分)
河南是一个茶叶种植大省，除了被列为中国十大名茶之一的信阳毛尖外，有名的还有太白银毫、清淮绿梭、固始皇姑山茶、震雷春、赛山玉莲等.两位朋友到茶馆品味河南名茶，经问询知2杯A款茶和3杯B款茶共需46元；1杯A款茶和1杯B款茶共需18元.
（1）问A款茶和B款茶的销售单价各是多少元？
（2）若购买A、B两款茶（两种都要）刚好共花90元，问有几种购买方案？
21.(本小题9分)
“垃圾入桶，保护环境，从我做起”.图1是一种摇盖垃圾桶的实物图，图2是其侧面示意图，其盖子PAQ可整体绕点A所在的轴旋转.现测得∠BAE=120°，∠ABC=∠AED=110°，AB=AE=46cm,BC=78cm,BE∥CD.
（1）如图3，将PAQ整体绕点A逆时针旋转角α，当AQ∥BE时，求α的度数.
（2）求点A到CD的距离.
（结果精确到0.1cm,参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67）
22.(本小题10分)
新情境投壶投壶，源于射礼，是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏.投壶的规则：由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分.箭在空中飞行的轨迹可以近似看成抛物线.同学们受游戏启发，将箭抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（单位长度为1m）.某同学将箭从A（0，1.5）处抛出，箭的飞行轨迹为抛物线L：y=ax2+bx+c的一部分，且当箭的最大高度为2m时，距离投出点的水平距离为1m.把壶近似看作矩形DEFG，已知壶口的宽度GF=0.2m,壶的高度EF=0.72m.
（1）求抛物线L的表达式.
（2）若箭刚好由点G处擦边投入壶中，求人离壶的距离OE.
（3）在（2）的条件下，该同学再次投掷，仅调整了将箭抛出时的高度，其他条件不变，要使得箭再次投入壶中，请直接写出OA的取值范围.
23.(本小题10分)
阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图①，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数.
为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP'处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB= ______；
（2）基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题
已知，如图②，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且∠EAF=45°，求证：EF2=BE2+FC2；
（3）能力提升
如图③，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，∠ABC=30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO、BO、CO，且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，直接写出OA+OB+OC的值.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】C
11.【答案】5
12.【答案】丙
13.【答案】91
14.【答案】
15.【答案】34
16.【答案】解：（1）（1+）0+|-2|-
=1+2-3
=0；
（2）（a+3）（a-3）+a（1-a）
=a2-9+a-a2
=a-9．
17.【答案】解：（1）设反比例函数的解析式为y=，
∵反比例函数的图象经过点A（2，1），
∴k=2×1=2，
∴反比例函数的解析式为y=；
（2）设直线OA的函数解析式为y=k1x,
由条件可得1=2k1，解得k1=，
∴直线OA的函数解析式为y=，
由图象可知，直线OA向上平移个单位长度得到直线BC
∴直线BC的函数解析式为y=，
由，解得或，
∴点B的坐标为（1，2）．
18.【答案】21 80，;77.6;70 平均数相同的情况下，二班的成绩更好一些
19.【答案】详见解析
图见解析
20.【答案】解：（1）设A款茶和B款茶的销售单价各是x元和y元，
，
解得，
答：A款茶和B款茶的销售单价各是8元和10元．
（2）设A款茶购买a杯，B款茶购买b杯，
则8a+10b=90，即，
整数解为，，
故共2种购买方案，
答：有2种购买方案．
21.【答案】30°；
99.4 cm．
22.【答案】y=-x2-x+ 2.4米 1.2 m≤OA≤1.5m
23.【答案】150°； 见解答； 2．
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