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2025-2026学年广东省广州市越秀区真光中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数的自变量x的取值范围是（　　）
A. x＞-1 B. x＞1 C. x≥-1 D. x≥1
2.下列运算正确的是（　　）
A. B. （a2b）3=a6b3 C. a2 a3=a6 D. （x-3）2=x2-9
3.在下列条件中：①∠A+∠B=∠C；②∠A：∠B：∠C=1：2：3；③∠A，∠B都是锐角；④△ABC三个外角的度数之比是3：4：5；⑤∠A=2∠B=3∠C，其中能确定△ABC为直角三角形的条件有（　　）
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
4.若菱形的边长为5，一条对角线长为6，则菱形的面积为（　　）
A. 8 B. 12 C. 20 D. 24
5.某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动.如图，当张角为∠BAF时，顶部边缘B处离桌面的高度BC为14cm,此时底部边缘A处与C处间的距离AC为48cm,小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为∠DAF时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离DE为40cm,则底部边缘A处与E之间的距离AE为（　　）
A. 30cm B. 28cm C. 41cm D. 18cm
6.下列四个选项中，说法不正确的是（　　）
A. 在匀速运动公式s=vt中，s是t的函数，v是常量
B. 在圆的周长公式C=2πr中，2是常量，π，r,C均为变量
C. 入射光线照射到平面镜上，如果入射角的角度为α，反射角的角度为β，那么β是α的函数
D. 一种金属，其质量是体积的函数
7.下列说法正确的有（　　）
①对角线互相平分的四边形是平行四边形；
②平行四边形的对角互补；
③两个全等的三角形可以拼成一个平行四边形；
④平行四边形的四个内角之比可以是2：3：2：3.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8.如图，菱形ABCD的边AD在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（-1，0），（0，2），顶点C的坐标为（　　）
A. （2，2）
B.
C.
D.
9.如图“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积41，小正方形的面积是1，设直角三角形较长的直角边为b,较短的直角边为a,则a+b的值是（　　）
A. 9
B. 8
C. 7
D. 6
10.如图，正方形ABCD的边长为定值，E是边CD上的动点（不与点C，D重合），AE交对角线BD于点F，FG⊥AE交BC于点G，GH⊥BD于点H.现给出下列结论：
①AF=FG；
②△GEC的周长为定值；
③FH的长度为定值.
则正确的是（　　）
A. ①②③
B. ①②
C. ①③
D. ①
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.若正多边形的一个内角比它的一个外角大36°，则这个多边形的边数为 .
12.若与最简二次根式能合并，则m的值为 .
13.如图，数轴上的点A表示的数是 .
14.如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD=AC，AE⊥CD于点E，点F是BC的中点，若BD=10，则EF的长为 .
15.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AB=8，AD=10，点E为BC上的一点，连接DE，F为DE的中点，若OF=3，则CF的长为 .
16.如图，正方形ABCD中，点P为BD（BD＞6）上一动点，连接AP，过点P作PQ⊥AP交CD边所在直线于点Q.点P从点B出发，沿BD方向移动，若移动的路径长为6，则AQ的中点M移动的路径长为 .
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：
（1）；
（2）.
18.(本小题6分)
已知实数a,b,c在数轴上对应的点如图所示，化简+|a-c|+.
19.(本小题8分)
如图，在 ABCD中，延长CB到点E，使得BE=BC，连接AE，BD，若AE=AB.求证：AB=DB.
20.(本小题8分)
学校内有一块如图所示的三角形空地，计划开辟为生物园，测得AC=10米，BC=24米，AB=26米.如果沿CD修一条水渠且D点在AB边上，水渠的造价为130元/米，当水渠的造价最低时，CD的长为多少米？最低造价是多少元？
21.(本小题8分)
周长为20cm的矩形，若它的一边长是x cm,面积是S cm2.
（1）请用含x的式子表示S，并指出常量与变量；
（2）当x=6时，求S的值.
22.(本小题10分)
某校“综合与实践”小组开展了“哪种高度的物体能进电梯？”的实践活动.他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表（不完整）.
课题 哪种高度的物体能进电梯？
成员 组长：×××组员：×××，×××，×××
工具 皮尺等
测量示意图 说明：电梯是旁开门，即所有门向一边开合，门一侧与电梯内部齐平.电梯门近似看成矩形AMLN.
测量数据 测量项目 数值
电梯内部的尺寸 长和宽AB=BC=1.5m,高AA1=2.2m.
电梯门的尺寸 AN=1.2m,AM=2.1m
问题解决
任务1 （1）根据以上测量结果，请你评估一块长为2.4m,宽为1.4m的玻璃（不计厚度）能否放入电梯；
任务2 （2）根据以上测量结果，请你评估一根3.1m长的木条（不计粗细）能否放入电梯.
23.(本小题12分)
如图，AE∥BF，BD平分∠ABF，交AE于点D.
（1）动手操作：作∠BAE的角平分线AC（尺规作图，保留作图痕迹），交BF于点C，交BD于点O，连接CD；
（2）探究求证：四边形ABCD是菱形；
（3）应用练习：若BD=8，∠ABD=30°，求菱形ABCD的周长.
24.(本小题14分)
阅读材料，在平面直角坐标系中，已知x轴上两点A（x1，0）、B（x2，0）的距离记作AB=|x1-x2|，如果A（x1，y1），B（x2，y2）是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求AB间的距离.
如图，过A、B分别向x轴、y轴作垂线AM1、AN1和BM2、BN2，垂足分别是M1、N1、M2、N2，直线AN1交BM2于点Q，在Rt△ABQ中，AQ=|x1-x2|，BQ=|y1-y2|，∴.
由此得到平面直角坐标系内任意两点A（x1，y1）、B（x2，y2）间的距离公式为：.
（1）直接应用平面内两点间距离公式计算点A（1，-2），B（-2，2）之间的距离为______；
（2）在平面直角坐标系中的两点A（-1，3），B（4，1），P为x轴上任一点，PA+PB的最小值为______；
（3）应用平面内两点间的距离公式，代数式的最小值为______；
（4）应用拓展：如图，若点D在BC上运动，AD⊥BC，AD=3，BC=5，连接AB，AC，求△ABC的周长的最小值.
25.(本小题14分)
在边长为2的正方形纸片ABCD中，点E在AB边上，连接CE，将△BCE沿CE折叠，得到△B′CE.
（1）如图1，若点B′落在对角线AC上，求BE的长；
（2）如图2，若CB′的延长线与AD相交于点F，猜想BE，AF，B′F的数量关系，并证明；
（3）如图3，点G是AD的中点，连接GB′，当GB′的长最短时，求AE的长.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】A
10.【答案】A
11.【答案】5
12.【答案】1
13.【答案】
14.【答案】5
15.【答案】
16.【答案】3
17.【答案】
18.【答案】解：根据实数a,b,c在数轴上对应点的位置可得：b＜a＜0＜c,且|b|＞|a|＞|c|，
∴b+c＜0，a-c＜0，b-a＜0，
∴原式=|b+c|+|a-c|+|b-a|
=-b-c+c-a+a-b
=-2b.
19.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵BE=BC，
∴AD=BE，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∴AE=DB，
∵AE=AB，
∴AB=DB．
20.【答案】当水渠的造价最低时，CD的长为米，最低造价是1200元．
21.【答案】解：（1）S=x×=-x2+10x,
周长20cm是常量；一边x cm,面积Scm2是变量．
（2）当x=6时，
S=-x2+10x
=-62+10×6
=-36+60
=24．
22.【答案】一块长为2.4m，宽为1.4m的玻璃（不计厚度）能放入电梯；
木条不能放入电梯
23.【答案】解：（1）如图：
证明：（2）如图：
在△ABO和△CBO中
∵∠ABO=∠CBO，OB=OB，∠AOB=∠COB=90°，
∴△ABO≌△CBO（ASA），
∴AO=CO，AB=CB，
在△ABO和△ADO中，
∵∠OAB=∠OAD，OA=OA，∠AOB=∠AOD=90°，
∴△ABO≌△ADO（ASA），
∴BO=DO，
∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形
∵AB=CB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（3）∵平行四边形ABCD是菱形，BD=8，
∴OB=DO=BD=4，∠AOD=90°，
∵∠ABD=30°，
∴AB=2OA，
在直角三角形AOD中，由勾股定理得：
AB2=OA2+OB2，
即：4OA2=16+OA2，
解得：OA=，
∴AB=2OA=．
∴菱形ABCD的周长=4AB=．
24.【答案】5 +5
25.【答案】（1）BE=2-2 （2）AF2-B′F2=4BE-4，理由如下：
连接EF，由折叠可知，∠EB'C=∠B=90°，设BE=B'E=x，则AE=2-x，
∵四边形ABCD是正方形，边长为2，
∴∠A=90°，
在Rt△AEF和Rt△EFB'中，由勾股定理可得，AF2=EF2-AE2①，B'F2=EF2-B′E2②，
①-②得：AF2-B′F2=EF2-AE2-EF2+B′E2=B′E2-AE2=x2-（2-x）2=4x-4=4BE-4，
∴AF2-B′F2=4BE-4 （3）AE=
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