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2025-2026学年江苏省无锡市锡山区天一中学高二（下）期中
数学试卷（理科）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数的导函数是，且( )
A. B. C. D.
2.若变量与之间存在线性相关关系，且根据最小二乘法得到的经验回归方程为，样本点中心为，则样本点的残差为( )
A. B. C. D.
3.某农业科学院培育脐橙新品种，新培育的脐橙单果质量单位：近似服从正态分布，现有该新品种脐橙个，估计单果质量不低于的脐橙个数为( )
附：若，则，，．
A. B. C. D.
4.记，若，则( )
A. B. C. D.
5.某工厂有甲、乙、丙个车间生产同一种产品，其中甲车间的产量占总产量的，乙车间占，丙车间占已知这个车间的次品率依次为，，，若从该厂生产的这种产品中取出件为次品，则该次品由乙车间生产的概率为( )
A. B. C. D.
6.已知实数，满足，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.数字，，，，，按如图形式随机排列，设第二行中的最大数为，第三行中的最小数为，则满足的排列个数为( )
A. B. C. D.
8.已知函数的导函数为，和的定义域均为，若，，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，为随机事件，且，，则下列结论正确的是( )
A. 若，互斥，则
B. 若，相互独立，则
C. 若，相互独立，则
D. 若，则
10.甲、乙两同学参加普法知识对抗赛，规则是每人每次从题库中随机抽取一题回答若回答正确，得分，答题继续；若回答错误，得分，同时换成对方进行下一轮答题据经验统计，甲、乙每次答题正确的概率分别是和，且第题的顺序由抛掷硬币决定设第次答题者是甲的概率为，第次回答问题结束后中甲的得分是，则( )
A. B.
C. D.
11.设函数的极小值点为，其中为自然对数的底数，则( )
A. 的单调增区间为，
B. 有且仅有两条斜率为的切线
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ．
13.某机器有四种核心部件，，，，四个部件至少有三个正常工作时，机器才能正常运行，若四个核心部件正常工作的概率分别为，，，，其中，，，且各部件是否正常工作相互独立，设为在次试验中该机器正常运行的次数，若，则至少需要进行的试验次数为 ．
14.设函数其中为自然对数的底数，若存在实数使得恒成立，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某商场举办购物抽奖活动，在一个不透明的袋子中放入个大小、材质都相同的小球，小球有红和蓝两种颜色，每个小球上都画有符号“”或“”，不同颜色和符号的小球个数如表所示从袋中随机摸出一个球，记事件为“摸出红球”，事件为“摸出画的球”．
红球 蓝球
画
画
Ⅰ求和．
Ⅱ该商场规定在一次抽奖中，每人有放回地摸两次球，每次只摸出一个球，根据两次摸出球的颜色和符号是否相同设置三种奖项：颜色和符号均相同则奖励元；仅颜色相同或仅符号相同则奖励元；颜色和符号均不相同则奖励元设一次抽奖获得的奖金为元，求的分布列和数学期望．
16.本小题分
已知函数和函数．
若函数在区间上不单调，求的取值范围；
若函数的图象与函数的图象在公共点处有相同的切线，求该公切线方程．
17.本小题分
人工智能中的文生视频模型以下简称，能够根据用户的文本提示创建最长秒的逼真视频为调查的应用是否会对视频从业人员的数量产生影响，某学校研究小组随机抽取了名视频从业人员进行调查，结果如表所示．
的应用情况 视频从业人员 合计
减少 未减少
应用
没有应用
合计
根据表格中所给数据，依据的独立性检验，判断的应用与视频从业人员的减少有关？
某公司视频部现有员工人，公司拟开展培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀“的概率分别为，，，每轮相互独立，有两轮及以上获得“优秀”的员工才能应用．
求员工经过培训能应用的概率；
已知开展培训前，员工每人每年平均为公司创造利润万元；开展培训后，能应用的员工每人每年平均为公司创造利润万元，培训平均每人每年成本为万元根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后对剩余员工开展培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门？
附：，其中．
18.本小题分
已知函数其中，为实数．
若，，试判断函数的单调性；
若，，
当时，，求实数的取值范围；
求方程在上实根的个数．
19.本小题分
通过抛掷质地均匀的硬币产生随机数列，具体产生方式为：若第次抛掷的结果为反面朝上，则；结果为正面朝上，则所有总项数为项的数列组成集合．
已知，且所有项的和为，求的概率；
可用软件产生类似的随机数列，也满足若“”的概率为，“”的概率为，“且”的概率为，求“且”的概率；
在集合中任取两个不同元素、记的均值为，证明：．
参考答案
1.
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15.Ⅰ因为事件为“摸出红球”，事件为“摸出画的球”，
因为画的红球有个，蓝球有个，画的红球有个，蓝球有个，
所以，；
Ⅱ在一次摸球的结果中，
．
易知的所有可能取值为，，，
此时，
，
．
则的分布列为：
故．
16.解：由题意，有，所以，
要使在上不单调，则在上有变号零点，
即在上有解，令，
由在上单调递增，
可得，解得，
故的取值范围是；
设两函数的公共点为，则有，
由第二个方程得，代入第一个方程得，
解得，，
故公共点为，切线斜率为，
故切线方程为，化简得，
故两函数的公切线方程为．
17.解：，，，，样本容量，
零假设：的应用与视频从业人员的减少无关，
，
已知对应的临界值，
由于，由此可推断零假设不成立，
即认为的应用与视频从业人员的减少有关；
设事件，，分别为第一、二、三轮培训获“优秀”，
则，且三轮相互独立；
能应用的条件是“两轮及以上获优秀”，包含以下种情况：
，优秀，不优秀：，
，优秀，不优秀：，
，优秀，不优秀：，
，，均优秀：，
总概率；
设调走人，则剩余人，原年利润：万元，
培训后：能应用的员工有人，每人利润万元，
不能应用的员工有人，每人利润万元，
年利润不低于原利润的条件为
化简得，
由于为整数，故，即视频部最多可调离人．
18.解：当，时，，，
令，则，
故在上单调递增，又，
所以当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增；
当，时，，
设，
，，
故在上单调递增，，
若，则，单调递增，，满足条件；
若，则存在，使得，
当时，，递减，，不满足条件；
综上所述，实数的取值范围是；
令函数，定义域为，
当时，，，所以；
当时，，，所以；
当时，由知，在上单调递增，
又且函数连续不间断，
所以，使得，
综上所述，函数在有唯一的零点，
且在上恒小于零，在上恒大于零；
令函数，讨论如下：
当时，，
求导得，
因为，
所以，
即函数在单调递增；
又因为，
，
所以函数在存在唯一的零点，
所以方程在上有唯一的零点；
当时，，
由易证在上恒成立，
事实上，令，则，
因为，所以在上单调递增，
所以，即在上单调递增，
所以，即在上恒成立，
从而，
所以方程在上无零点；
综上所述，方程有且只有一个实根．
19.解：由题满足的数列有个，
其中满足，即中满足有项为，项为的数列有个，
所以．
记事件“”，“”，
由题若“”的概率为，“”的概率为，“且”的概率为，
所以，
求“且”的概率即求的值，
因为，所以，
又因为，
所以，
所以“且”的概率为；
证明：因为数列，是从集合中任意取出的两个不同数列，
所以的可能取值为：，，，，，对应的取值为：，，，，，
当时，数列，对应位置的项中有项取值不同，有项取值相同；
从项中选择取值不同的项位置，有种情况，
和在这项的任一位置数字不同，每个位置都有种情况，
比如第个位置可以是，，
也可以是，，共有种情况；其余项，两者均在同一位置数字相同，
每个位置都有两种情况，共有种情况，由于，
所以此问题为组合问题，故所有的情况会重复次，故共有种情况，
又因为集合中元素的个数共有个，
所以，
所以，的分布列为：
因为，
同理，
所以，
所以时，
，
当，时，该式也成立，
所以
，
因为，所以．
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