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北京市大兴区第一中学2025-2026学年第二学期期中练习高一数学
一、选择题：本大题共10小题，共50分。
1.的值为( )
A. B. C. D.
2.在中，已知，，，则( )
A. B. C. D.
3.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
4.已知向量且，则实数( )
A. B. C. D.
5.已知正三棱柱中，，则该正三棱柱的表面积为( )
A. B. C. D.
6.已知，且，则的值为( )
A. B. C. D.
7.如图，在所有棱长均为的正四棱锥中，以为顶点的圆锥在此正四棱锥的内部含表面，则该圆锥体积的最大值为( )
A. B. C. D.
8.设是非零向量，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不必要也不充分条件
9.在中，已知，，，点在线段上运动，当取得最小值时，( )
A. B. C. D.
10.已知向量满足与的夹角为，记，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11.已知是锐角，且，则 ．
12.若的计算结果是实数，则满足条件的一个的值是 ．
13.如图所示的几何体是从棱长为的正方体中，截去以正方体的一个顶点为球心，半径为的球面所围成的几何体后得到的剩余部分，则该几何体的体积为
14.在中，，．
若，则 ；
若满足条件的有两个，则的取值范围是 ．
15.锐角三角形中，，给出下列四个结论：
；
；
；
．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知复数．为虚数单位．
若，求的值；
若为实数，求的值；
若，在复平面上对应的点在第二象限，求的取值范围．
17.已知，，．
求的值；
求的值；
求的值．
18.已知向量满足，，且的夹角为．
求的值；
若向量与互相垂直，求实数的值．
19.如图，正三棱柱形容器中盛有水，侧棱，底面边长，若侧面水平放置时，水面恰好经过的中点．
当底面水平放置时如图所示，求水面的高度；
已知某三棱锥的底面与该三棱柱底面全等，若将这些水全部倒入此三棱锥形的容器中，则水恰好装满此三棱锥，求此三棱锥的高；
当底面水平放置时如图所示，打开上底面的盖子，从上底面放入半径为的小铁球，且沉入水中，当水从上底面溢出时，求放入的小铁球个数的最小值．结论不要求证明
20.在中，．
求的大小；
再从条件、条件、条件这三个条件中选择一组作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积．
条件，；
条件，；
条件，．
注：如果选择的条件不符合要求，第问得分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答给分．
21.已知集合中至少有个元素，且，若存在整数，使得，当时，恒成立，则称集合具有性质．
判断集合是否具有性质，是否具有性质；结论不要求证明
若集合具有性质，求的值；
求证：不存在具有性质集合．
参考答案
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14.
15.
16.解：因为，所以，
即，解得．
因为为实数，
所以 ，解得；
，
因为在复平面上对应的点在第二象限，
所以，即，解得，
所以．

17.解：因为，，，
所以．
所以．
因为
，
所以．
因为
所以．

18.解：因为，，且的夹角为
所以
所以
由向量与互相垂直，
所以，即，
所以，解得或．

19.解：因为正三棱柱中，侧棱，底面边长，
由题意可得底面内四边形的面积，
所以正三棱柱中水的体积．
又因为底面三角形的面积，
所以底面水平放置后水面高．
设三棱锥的高为．
由题意三棱锥的体积，
所以，则
所以三棱锥的高为．
个
由题意，只需放入小铁球的总体积大于空白区域的体积即可．
空白区域的体积为．
小铁球的体积，若放入个小铁球水从上底面溢出，
所以，故最小为．

20.解：由，得，
由正弦定理可得，所以．
因为所以；
若选，则由正弦定理，得
此时不存在；
选择条件：由余弦定理得，
由得，所以，即．
解得，所以，
所以的面积．
选择条件：在中，，所以．
由正弦定理得．
又因为
故的面积．

21.解：集合具有性质，不具有性质．
对，仅存在正整数和为，此时对应，满足，故具有；
对，当正整数和为时仅对应，满足，故不具有性质．
因为集合具有性质，所以，且，
所以，所以 或，
所以．
当时，满足以上条件的正整数只有：或 ，
且都满足：．
证明：假设存在具有性质集合
因为集合，所以设集合中最小的元素为，
若，则由于，且，
由可知，但是中最小的元素且，而，
所以集合不具有性质，矛盾所以．
设集合中除以外的最小元素为，则．
因为，且， ，且，
集合中比小的元素只有，所以，解得，
即集合中除以外的最小元素为，
因为，集合具有性质，所以，
这与集合中除以外的最小元素为相矛盾，
综上，不存在具有性质集合．

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