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安徽桐城市第八中学等校2026年普通高等学校全国统一考试
数学“最后一卷”
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题，的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.设复数满足，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则四边形的面积是( )
A. B. C. D.
4.若函数的最小值为，则( )
A. B. C. D.
5.已知圆柱的轴截面是周长为的矩形，其上下底面的圆周都在同一球面上，当圆柱的侧面积最大时，该球的体积为( )
A. B. C. D.
6.在中，角，，的对边分别为，，，若，，则在方向上的投影的数量为( )
A. B. C. D.
7.在圆内接六边形中，，，则其外接圆的半径为( )
A. B. C. D.
8.若函数的图象在区间上恰好存在个对称中心和条对称轴，则的取值范围为( )
A. B. ，
C. D. ，
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，为数列的前项和，则下列结论正确的有( )
A. 是等比数列 B.
C. 是递减数列 D. 中存在连续三项成等差数列
10.已知函数 则下列结论中错误的是( )
A. 存在两个不同的零点
B. 既没有最大值，也没有最小值
C. 当时，有且只有三个实根
D. 当时，的最大值为，则的最小值为
11.正四棱台的高为，，，点均在平面内，且直线与夹角的正切值的最小值为，则( )
A. 点的轨迹的长度为
B. 直线与所成角的正切值的最小值为
C. 线段的长度的最小值为
D. 点到直线的距离大于
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数的定义域为，且为的导函数，若，则 ．
13.设函数，已知，则的最小值为 ．
14.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，是双曲线右支上一点，且，若的平分线与轴交于点，有，则双曲线的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，等边三角形，且点，分别为线段与的中点将沿折叠后使点与点重合，得到四棱锥设点为线段上一点，且．
证明：平面
求四棱锥与三棱锥的体积之比．
16.本小题分
设．
解不等式：；
设，若存在，使得，求实数的取值范围．
17.本小题分
在中，角的对边分别为，，点为边上一点．
求角的大小；
若是边上靠近点的一个三等分点，，求实数的取值范围．
18.本小题分
设数列的前项和为，且，若，记数列的前项和为．
求的通项公式；
求；
记集合，若的子集个数为，求的取值范围．
19.本小题分
某设计图案由曲线与构成，曲线是以原点为中心，为焦点的椭圆，曲线是满足的动点的轨迹，如图所示，是两条曲线的一个交点，已知恰好与曲线相切．
求曲线和的方程；
直线与曲线的另一交点为，直线与曲线另一交点为，求的面积；
作一条与坐标轴不垂直且不过原点的直线，当直线与曲线交于两点，与曲线交于两点时，点关于原点的对称点为，若为的中点，点，记直线和直线的斜率分别为，问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
参考答案
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14.
15.证明：如图，连接交于点，连接．
由题可知，且．
则易有与相似，且相似比为，也即．
又，则，故A，
且平面，平面，故 A平面．
解：设四棱锥的体积为，高为，四边形的面积为．
三棱锥的体积为，高为，三角形的面积为，
与之间的距离为．
棱锥的体积为，三棱锥的体积为，
由题有．
又，故CE，即，则，又，
有，
即四棱锥与三棱锥的体积之比为．
16.解：因为，，
所以，得，
故的解集为；
，则，
因为关于原点对称，所以在上为奇函数，
易得，
因为，等号成立时，所以，
则在上单调递增，
若存在，使得，
则存在，使得，
则存在，使得，即，
因为函数图象关于对称，其在上的最小值为，则，
故实数的取值范围为．

17.解：因为，
即，
所以，
即，
所以，
即，
由余弦定理可得，
又因为，所以；
由题意可得，
所以，
所以，
即，
又因为，
所以，
即，
所以，
即
，
，
因为，所以，
所以，
所以，
即，
所以，即，
又因为，
所以，
所以实数的取值范围为．

18.解：当时，，则，
即，当时，，即，
又，则有，故对任意恒成立，
故数列是以为首项，为公比的等比数列，故；
，
故
；
，
则
，
由的子集个数为，则中有个元素，
故关于的不等式有个正整数解，
令，则，
，
则数列在时单调递增，在时单调递减，
即，
又，
当时，，
故的三个正整数解为、、，
故，又，，
故．

19.解：设点，
由得的轨迹方程为，
即曲线的方程为，它是以为圆心，以为半径的圆．
因为与相切，所以，
所以，
则，
得，
所以曲线方程为；
由知，，
所以轴，则，
直线的斜率为，直线的方程为，与椭圆联立得，
；
设直线，
将直线与椭圆联立得
则
所以，
又点恰为圆的圆心，而为弦的中点，由垂径定理知，
所以，则，
所以，
即为定值．
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