资源简介

■
2026年湖南省初中学业水平考试模拟试卷（二）
18.(8分)
数学答题卡
姓名：
学校：
班级：
考号：
注
填涂时用2B铅笔将选中项涂满涂黑，黑度以盖过框内字母为准。
意
修改时用橡皮擦干净。注意题号顺序。保持答题卡整洁，不要折
贴条形码区
事
叠、污损。缺考标记与作弊标记由监考老师填涂。
缺考考生由监考员贴条形码
项
正确填涂：■
一、
选择题（每小题3分，共30分）
1[A][B][C][D]
6[A][B][C][D]
2[A][B][C][D]
7[A][B][C][D
3[A][B][C][D]
8[A][B][C][D]
4[A][B][C][D]
9[A][B][C][D]
19.(9分)
5[A][B][C][D]10[A[B][C][D]
二、填空题（每小题3分，共15分）
还
12.
13.
14.
15.
16.
三、解答题（共75分）
17.(6分)
20.(9分)
■
■
第1页共2页
■
21.9分)
23.(11分)
图①
22.(9分)
23.(11分)
■
■
■
第2页共2页2026年湖南省初中学业水平考试模拟试卷(二)
数学
注意事项：
1、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2、回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3、本试题满分120分，考试时间120分钟。
题 号 一 二 三 总分
得 分
阅卷人
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．2026的相反数是(　　)
A．－2026　　B．2026　 C．　　D．－
2．雪花、风车……展示着中心对称的美，利用中心对称，可以探索并证明图形的性质，请思考在下列图形中，是中心对称图形但不一定是轴对称图形的为(　　)
A．扇形　　B．平行四边形　 C．等边三角形　　D．矩形
3．将多项式xy＋y分解因式，应提取的公因式是(　　)
A．xy　　B．y　 C．x　　D．x＋1
4．下列计算不正确的是(　　)
A．m＋m＝2m　　 B．2＝2m－2n
C．(m＋2n)2＝m2＋4n2　　D．(m＋3)(m－3)＝m2－9
5．如图为一个几何体的表面展开图，则该几何体是(　　)
A．三棱锥　　B．四棱锥　 C．四棱柱　　D．圆锥
6．平面直角坐标系中，点P(2，1)关于x轴对称的点的坐标是(　　)
A．(2，1)　　 B．(2，－1)　 C．(－2，1)　　D．(－2，－1)
7．下列成语所描述的事件属于不可能事件的是(　　)
A．水落石出　　B．水涨船高　 C．水滴石穿　　D．水中捞月
第5题图 第9题图 第10题图
8．互不重合的A，B，C三点在同一直线上，已知AC＝2a＋1，BC＝a＋4，AB＝3a，这三点的位置关系是(　　)
A．点A在B，C两点之间　　B．点B在A，C两点之间
C．点C在A，B两点之间　　D．无法确定
9．如图①是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形OABC.若AB＝BC＝1，∠AOB＝30°，则点B到OC的距离为(　　)
A.　　　　B.　 C．1　　　　D．2
10．如图，在△ABC中，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D．过点C作CF∥AB，在CF上取一点E，使DE=CD，连接AE．对于下列结论：①AD=DC；②△CBA∽△CDE；③=；④AE为⊙O的切线，一定正确的结论全部包含其中的选项是(　　)
A．①②　　　　B．①②③　 C．①④　　　　D．①②④
二、填空题(每小题3分，共18分)
11．单项式－x2y3的次数是　 ．
12．据统计，2026年初湖南省常住人口约为65000000人，用科学记数法可将65000000表示为　 ．
13．分解因式：x2＋2x＋1＝　 ．
14．一个多边形外角和是内角和的，则这个多边形的边数为　 ．
15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且AF＝AC，连接EF.若AC＝10，则EF＝　 ．
第15题图 第16题图
16．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为－2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y＝a1x2＋b1x＋c1，则下列结论正确的是　 ．(写出所有正确结论的序号)
①b＞0；②a－b＋c＜0；③阴影部分的面积为4；④若c＝－1，则b2＝4a．
三、解答题(共75分)
17．(6分)计算：(π－3)0－＋2sin30°.
18．(8分)解方程组：
19．(9分)随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个组共35名工人．甲组每天加工3 000件农产品，乙组每天加工2 700件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍，求甲、乙两组各有多少名工人？
20．(9分)为加强体育锻炼，增强学生体质，某校在“阳光体育一小时”活动中组织九年级学生定点投篮技能测试，每人投篮4次，投中一次计1分．随机抽取m名学生的成绩作为样本，将收集的数据整理并绘制成如下统计图表．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出m，n的值和样本的众数；
(2)若该校九年级有900名学生参加测试，估计得分超过2分的学生人数．
21．(9分)如图，在同一直角坐标系中，一次函数y＝－x＋b和反比例函数y＝的图象相交于点A(1，m)，B(n，1)．
(1)求点A，B的坐标及一次函数的解析式；
(2)根据图象，直接写出不等式－x＋b>的解集．
22．(9分)某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡BE的坡度i＝1∶，BE＝6 m，在B处测得电线塔CD顶部D的仰角为45°，在E处测得电线塔CD顶部D的仰角为60°.
(1)求点B离水平地面的高度AB；
(2)求电线塔CD的高度(结果保留根号)．
23．(11分)已知直线m∥n，点C是直线m上一点，点D是直线n上一点，CD与直线m、n不垂直，点P为线段CD的中点．
(1)操作发现：直线l⊥m，l⊥n，垂足分别为A、B，当点A与点C重合时(如图①所示)，连接PB，请直接写出线段PA与PB的数量关系：　 　．
(2)猜想证明：在图①的情况下，把直线l向上平移到如图②的位置，试问(1)中的PA与PB的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(3)延伸探究：在图②的情况下，把直线l绕点A旋转，使得∠APB=90°(如图③所示)，若两平行线m、n之间的距离为2k．求证：PA PB=k AB．
24．(11分)如图，已知抛物线y＝(x－2)(x＋a)(a＞0)与x轴交于点B，C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．
(1)若抛物线过点M(－2，－2)，求实数a的值；
(2)在(1)的条件下，解答下列问题：
①求出△BCE的面积；
②在抛物线的对称轴上找一点H，使CH＋EH的值最小，直接写出点H的坐标．
第1页，共3页
第1页，共3页
5 2 / 22026 年湖南省初中学业水平考试模拟试卷 7．下列成语所描述的事件属于不可能事件的是( ) (二)
A．水落石出 B．水涨船高 C．水滴石穿 D．水中捞月
数学
注意事项：
1、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2、回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题
目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
第 5 题图 第 9 题图 第 10 题图
写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷
上无效。 8．互不重合的 A，B，C 三点在同一直线上，已知 AC＝2a＋1，BC＝a＋4，AB＝
3、本试题满分 120分，考试时间 120分钟。 3a，这三点的位置关系是( )
A．点 A 在 B，C 两点之间 B．点 B 在 A，C 两点之间
题 号 一 二 三 总分 C．点 C 在 A，B 两点之间 D．无法确定
得 分
9．如图①是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽，在其主体图案中选择两个相邻
阅卷人
的直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形 OABC.若 AB＝BC＝1，∠AOB＝
30°，则点 B 到 OC 的距离为( )
一、选择题(每小题 3 分，共 30 分)
5 2 5
1．2026 的相反数是( ) A. B. C．1 D．2 5 5
1 1
A．－2026 B．2026 C． D．－ 10．如图，在△ABC 中，AB=CB，以 AB 为直径的⊙O 交 AC 于点 D．过点 C 作 CF
2026 2026
∥AB，在 CF 上取一点 E，使 DE=CD，连接 AE．对于下列结论：①AD=DC；②△CBA
2．雪花、风车……展示着中心对称的美，利用中心对称，可以探索并
︵ ︵
证明图形的性质，请思考在下列图形中，是中心对称图形但不一定是轴对 ∽△CDE；③BD=AD；④AE 为⊙O 的切线，一定正确的结论全部包含其中的选项是( )
称图形的为( ) A．①② B．①②③ C．①④ D．①②④
A．扇形 B．平行四边形 C．等边三角形 D．矩形 二、填空题(每小题 3 分，共 18 分)
3．将多项式 xy＋y 分解因式，应提取的公因式是( ) 1
11．单项式－ x2y3 的次数是 ．
A．xy B．y C．x D．x＋1 2026
4．下列计算不正确的是( ) 12．据统计，2026 年初湖南省常住人口约为 65000000 人，用科学记数法可将
65000000 表示为 ．
A．m＋m＝2m B．2(m－n)＝2m－2n
13．分解因式：x2＋2x＋1＝ ．
C．(m＋2n)2＝m2＋4n2 D．(m＋3)(m－3)＝m2－9 2
14．一个多边形外角和是内角和的 ，则这个多边形的边数为 ．
5．如图为一个几何体的表面展开图，则该几何体是( ) 9
A．三棱锥 B．四棱锥 C．四棱柱 D．圆锥 15．如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E 是边 AD 的中
6．平面直角坐标系中，点 P(2，1)关于 x 轴对称的点的坐标是( ) 1点，点 F 在对角线 AC 上，且 AF＝ AC，连接 EF.若 AC＝10，则 EF＝ ．
4
A．(2，1) B．(2，－1) C．(－2，1) D．(－2，－1)
5 1 / 3
第1页，共 3页
根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出 m，n 的值和样本的众数；
(2)若该校九年级有 900 名学生参加测试，估计得分超过 2 分的学生人
数．
第 15 题图 第 16 题图
16．如图，已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴交于 A、B 两点，顶点 C 的纵坐标为－
2，现将抛物线向右平移 2 个单位，得到抛物线 y＝a1x2＋b1x＋c1，则下列结论正确的 21．(9 分)如图，在同一直角坐标系中，一次函数 y＝－x＋b 和反比例
是 ．(写出所有正确结论的序号) 9函数 y＝ 的图象相交于点 A(1，m)，B(n，1)．
x
①b＞0；②a－b＋c＜0；③阴影部分的面积为 4；④若 c＝－1，则 b2＝4a．
(1)求点 A，B 的坐标及一次函数的解析式；
三、解答题(共 75 分)
9
(2)根据图象，直接写出不等式－x＋b> 的解集．
17．(6 分)计算：(π－3)0－ 16＋2sin30°. x
2x－3y＝－5，①
18．(8 分)解方程组：
3x＋2y＝12.②
19．(9 分)随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，
某农产品加工企业有甲、乙两个组共 35 名工人．甲组每天加工 3 000 件农产品，乙组 22．(9 分)某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，
每天加工 2 700 件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平
斜坡 BE 的坡度 i＝1∶ 3，BE＝6 m，在 B 处测得电线塔 CD 顶部 D 的仰
均加工农产品数量的 1.2 倍，求甲、乙两组各有多少名工人？
角为 45°，在 E 处测得电线塔 CD 顶部 D 的仰角为 60°.
(1)求点 B 离水平地面的高度 AB；
(2)求电线塔 CD 的高度(结果保留根号)．
20．(9 分)为加强体育锻炼，增强学生体质，某校在“阳光体育一小时”活动中组
织九年级学生定点投篮技能测试，每人投篮 4 次，投中一次计 1 分．随机抽取 m 名学
生的成绩作为样本，将收集的数据整理并绘制成如下统计图表．
测试成绩频数分布表
成绩/分 频数
4 12
3 a
2 15
1 b
0 6
第2页，共 3页
23．(11 分)已知直线 m∥n，点 C 是直线 m 上一点，点 D 是直线 n 上一 1
24．(11 分)如图，已知抛物线 y＝ (x－2)(x＋a)(a＞0)与 x 轴交于点 B，C，与 y 轴
a
点，CD 与直线 m、n 不垂直，点 P 为线段 CD 的中点．
交于点 E，且点 B 在点 C 的左侧．
(1)操作发现：直线 l⊥m，l⊥n，垂足分别为 A、B，当点 A 与点 C 重合
(1)若抛物线过点 M(－2，－2)，求实数 a 的值；
时 (如图①所示 )，连接 PB，请直接写出线段 PA 与 PB 的数量关
(2)在(1)的条件下，解答下列问题：
系： ．
①求出△BCE 的面积；
(2)猜想证明：在图①的情况下，把直线 l 向上平移到如图②的位置，试
②在抛物线的对称轴上找一点 H，使 CH＋EH 的值最小，直接写出点 H 的坐标．
问(1)中的 PA 与 PB 的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，
请说明理由．
(3)延伸探究：在图②的情况下，把直线 l 绕点 A 旋转，使得∠APB=90°(如
图③所示)，若两平行线 m、n 之间的距离为 2k．求证：PA PB=k AB．
5 3 / 3
第3页，共 3页2026年湖南省初中学业水平考试模拟试卷（二）
数学 答题卡
姓名： 学校： 班级： 考号：
注 意 事 项 填涂时用2B铅笔将选中项涂满涂黑，黑度以盖过框内字母为准。修改时用橡皮擦干净。注意题号顺序。保持答题卡整洁，不要折叠、污损。缺考标记与作弊标记由监考老师填涂。 正确填涂： 贴条形码区 缺考考生由监考员贴条形码
一、选择题(每小题3分，共30分)
二、填空题(每小题3分，共15分)
11. 12.
13. 14.
15. 16.
三、解答题(共75分)
17.(6分)
18.(8分)
19.(9分)
20.(9分)
21.(9分)
22.(9分)
23.(11分)
23.(11分)
第 1 页 共 2 页
D
BK345
人60°
A
E
C
7
2
772
2
m
D
D
D
l、
P
g
A
A
B
(C)
B
C
C
B
图①
图②
图③
0
0
0
0
B
C
X
E
1[A][B][C][D]
6[A][B][C][D]
2[A][B][C][D]
7[A][B][C][D]
3[A][B][C][D]
8[A][B][C][D]
4[A][B][C][D]
9[A][B][C][D]
5[A][B][C][D]10[A][B][C][D]
y=-x+b
y
A
By=
0
a ktx2026年湖南省初中学业水平考试模拟试卷(二)
数学
注意事项：
1、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2、回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3、本试题满分120分，考试时间120分钟。
题 号 一 二 三 总分
得 分
阅卷人
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．2026的相反数是(　A　)
A．－2026　　B．2026　 C．　　D．－
2．雪花、风车……展示着中心对称的美，利用中心对称，可以探索并证明图形的性质，请思考在下列图形中，是中心对称图形但不一定是轴对称图形的为(　B　)
A．扇形　　B．平行四边形　 C．等边三角形　　D．矩形
3．将多项式xy＋y分解因式，应提取的公因式是(　B　)
A．xy　　B．y　 C．x　　D．x＋1
4．下列计算不正确的是(　C　)
A．m＋m＝2m　　 B．2＝2m－2n
C．(m＋2n)2＝m2＋4n2　　D．(m＋3)(m－3)＝m2－9
5．如图为一个几何体的表面展开图，则该几何体是(　B　)
A．三棱锥　　B．四棱锥　 C．四棱柱　　D．圆锥
6．平面直角坐标系中，点P(2，1)关于x轴对称的点的坐标是(　B　)
A．(2，1)　　 B．(2，－1)　 C．(－2，1)　　D．(－2，－1)
7．下列成语所描述的事件属于不可能事件的是(　D　)
A．水落石出　　B．水涨船高　 C．水滴石穿　　D．水中捞月
第5题图 第9题图 第10题图
8．互不重合的A，B，C三点在同一直线上，已知AC＝2a＋1，BC＝a＋4，AB＝3a，这三点的位置关系是(　A　)
A．点A在B，C两点之间　　B．点B在A，C两点之间
C．点C在A，B两点之间　　D．无法确定
9．如图①是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形OABC.若AB＝BC＝1，∠AOB＝30°，则点B到OC的距离为(　B　)
A.　　　　B.　 C．1　　　　D．2
10．如图，在△ABC中，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D．过点C作CF∥AB，在CF上取一点E，使DE=CD，连接AE．对于下列结论：①AD=DC；②△CBA∽△CDE；③=；④AE为⊙O的切线，一定正确的结论全部包含其中的选项是(　D　)
A．①②　　　　B．①②③　 C．①④　　　　D．①②④
【解析】∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴BD⊥AC，而AB=CB，∴AD=DC，所以①正确；
∵AB=CB，∴∠BAD=∠BCD，而CD=ED，∴∠ECA =∠CED，∵CF∥AB，∴∠BAD=∠ECA，∴∠BAD=∠BCD=∠ECA=∠CED，∴△CBA∽△CDE，所以②正确；
∵△ABC不能确定为直角三角形，∴∠BAD不能确定等于45°，∴与不能确定相等，所以③错误；
∵DA=DC=DE，∴点E在以AC为直径的圆上，∴∠AEC=90°，∴CE⊥AE，而CF∥AB，∴AB⊥AE，∴AE为⊙O的切线，所以④正确．故选D．
二、填空题(每小题3分，共18分)
11．单项式－x2y3的次数是　 ．
【答案】5
12．据统计，2026年初湖南省常住人口约为65000000人，用科学记数法可将65000000表示为　 ．
【答案】6.5×107
13．分解因式：x2＋2x＋1＝　 ．
【答案】(x＋1)2
14．一个多边形外角和是内角和的，则这个多边形的边数为　 ．
【答案】11
15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且AF＝AC，连接EF.若AC＝10，则EF＝　 ．
【答案】
第15题图 第16题图
16．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为－2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y＝a1x2＋b1x＋c1，则下列结论正确的是　 ．(写出所有正确结论的序号)
①b＞0；②a－b＋c＜0；③阴影部分的面积为4；④若c＝－1，则b2＝4a．
【答案】③④
【解析】∵抛物线开口向上，∴a＞0，又∵对称轴为x=－＞0，∴b＜0，∴结论①不正确；∵x＝－1时，y＞0，∴a－b＋c＞0，∴结论②不正确；∵抛物线向右平移了2个单位，∴平行四边形的底是2，∵函数y＝ax2＋bx＋c的最小值是y＝－2，∴平行四边形的高是2，∴阴影部分的面积是：2×2＝4，∴结论③正确；∵ ＝－2，c＝－1，∴b2=4a，∴结论④正确．综上，结论正确的是：③④．
三、解答题(共75分)
17．(6分)计算：(π－3)0－＋2sin30°.
解：原式＝1－4＋2×＝－2.
18．(8分)解方程组：
解：①×2，得4x－6y＝－10③.②×3，得9x＋6y＝36④.③＋④，得13x＝26，解得x＝2.把x＝2代入①，得2×2－3y＝－5，解得y＝3，∴原方程组的解为
19．(9分)随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个组共35名工人．甲组每天加工3 000件农产品，乙组每天加工2 700件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍，求甲、乙两组各有多少名工人？
解：设甲组有x名工人，则乙组有(35－x)名工人．
根据题意，得＝×1.2.
解得x＝20.
经检验，x＝20是所列方程的解，且符合题意，
∴35－x＝15.
答：甲组有20名工人，乙组有15名工人．
20．(9分)为加强体育锻炼，增强学生体质，某校在“阳光体育一小时”活动中组织九年级学生定点投篮技能测试，每人投篮4次，投中一次计1分．随机抽取m名学生的成绩作为样本，将收集的数据整理并绘制成如下统计图表．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出m，n的值和样本的众数；
(2)若该校九年级有900名学生参加测试，估计得分超过2分的学生人数．
解：(1)m＝＝60(人)，a＝60×30%＝18(人)，b＝60－12－18－15－6＝9(人)，
∴n%＝×100%＝15%，∴n＝15.
∵3分的人数为18个，出现次数最多，
∴众数为3分．
(2)900×＝450(人)．
答：估计得分超过2分的学生为450人．　
21．(9分)如图，在同一直角坐标系中，一次函数y＝－x＋b和反比例函数y＝的图象相交于点A(1，m)，B(n，1)．
(1)求点A，B的坐标及一次函数的解析式；
(2)根据图象，直接写出不等式－x＋b>的解集．
解：(1)把点A(1，m)，B(n，1)代入y＝中，
得m＝9，n＝9.
∴A(1，9)，B(9，1)．
把x＝1，y＝9代入y＝－x＋b中，得－1＋b＝9，
∴b＝10.
∴一次函数的解析式为y＝－x＋10.
(2)－x＋b>的解集为x<0或122．(9分)某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡BE的坡度i＝1∶，BE＝6 m，在B处测得电线塔CD顶部D的仰角为45°，在E处测得电线塔CD顶部D的仰角为60°.
(1)求点B离水平地面的高度AB；
(2)求电线塔CD的高度(结果保留根号)．
解：(1)∵斜坡BE的坡度i＝1∶，
∴＝＝.
∵tan∠BEA＝＝，
∴∠BEA＝30°.
∵BE＝6 m，∴AB＝BE＝3 m.
(2)作BF⊥CD于点F，则四边形ABFC是矩形，AB＝CF＝3 m，BF＝AC，
设DF＝x m，
在Rt△DBF中，tan∠DBF＝，
∴BF＝＝x m.
在Rt△ABE中，AE＝＝3(m)，
在Rt△DCE中，DC＝DF＋CF＝(x＋3) m，
tan∠DEC＝，
∴EC＝＝(x＋3)．
∵BF＝AE＋EC，
∴3＋(x＋3)＝x.
∴x＝6＋6.
答：电线塔CD的高度为(6＋6) m．　
23．(11分)已知直线m∥n，点C是直线m上一点，点D是直线n上一点，CD与直线m、n不垂直，点P为线段CD的中点．
(1)操作发现：直线l⊥m，l⊥n，垂足分别为A、B，当点A与点C重合时(如图①所示)，连接PB，请直接写出线段PA与PB的数量关系：　 　．
(2)猜想证明：在图①的情况下，把直线l向上平移到如图②的位置，试问(1)中的PA与PB的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(3)延伸探究：在图②的情况下，把直线l绕点A旋转，使得∠APB=90°(如图③所示)，若两平行线m、n之间的距离为2k．求证：PA PB=k AB．
解：(1)∵l⊥n，∴BC⊥BD，
∴三角形CBD是直角三角形，又∵点P为线段CD的中点，∴PA=PB．
(2)把直线l向上平移到如图②的位置，PA=PB仍然成立，理由如下：
如图②，过C作CE⊥n于点E，连接PE，
∵三角形CED是直角三角形，点P为线段CD的中点，∴PD＝PE，
又∵点P为线段CD的中点，∴PC＝PD，∴PC＝PE；
∵PD＝PE，∴∠CDE＝∠PEB，
∵直线m∥n，∴∠CDE＝∠PCA，∴∠PCA＝∠PEB，
又∵直线l⊥m，l⊥n，CE⊥m，CE⊥n，
∴l∥CE，∴AC＝BE，
在△PAC和△PBE中，
∴△PAC∽△PBE，
∴PA＝PB．
(3)如图③，延长AP交直线n于点F，作AE⊥BD于点E，
∵直线m∥n，∴＝＝1，∴AP＝PF，
∵∠APB＝90°，∴BP⊥AF，
又∵AP＝PF，∴BF＝AB；
在△AEF和△BPF中，
∴△AEF∽△BPF，∴＝，
∴AF BP＝AE BF，
∵AF＝2PA，AE＝2k，BF＝AB，
∴2PA PB＝2k AB，
∴PA PB＝k AB．
24．(11分)如图，已知抛物线y＝(x－2)(x＋a)(a＞0)与x轴交于点B，C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．
(1)若抛物线过点M(－2，－2)，求实数a的值；
(2)在(1)的条件下，解答下列问题：
①求出△BCE的面积；
②在抛物线的对称轴上找一点H，使CH＋EH的值最小，直接写出点H的坐标．
解：(1)将点M(－2，－2)代入抛物线解析式，得(－2－2)(－2＋a)＝－2，解得a＝4.
(2)①由(1)可知抛物线解析式为y＝(x－2)(x＋4)，
当y＝0时，得(x－2)(x＋4)＝0，解得x1＝2，x2＝－4.
∵点B在点C的左侧，∴B(－4，0)，C(2，0)．
当x＝0时，得y＝－2，∴E(0，－2)．
∴S△BCE＝×6×2＝6.
②∵y＝(x－2)(x＋4)＝(x＋1)2－，
∴抛物线对称轴为直线x＝－1.
连接BE，与对称轴交于点H，即为所求．
设直线BE的解析式为y＝kx＋b，
将B(－4，0)与E(0，－2)代入，得解得
∴直线BE的解析式为y＝－x－2.
将x＝－1代入，得y＝－2＝－，
∴H(－1，－)．
第1页，共5页
第1页，共5页
5 2 / 2

展开更多......

收起↑