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19.1二次根式及其性质
第1课时 二次根式的概念
基础提优题目
1.[2025周口期中] 在式子 -2),(x<0),3, , ,x+y中，二次根式有 ( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
2.在 中，x的取值范围在数轴上表示为 ( )
3.已知 则x的值为( )
A.-6 B. C.6 D.
4.若则x-y的值是 .
5.若一个直角三角形的面积为 9，它的两条直角边长度之比为2：3，则这两条直角边的长度分别为 .
6.当x是怎样的实数时，下列式子有意义
综合应用题
7.已知点 M(x，y)的坐标满足 那么将点 M先向左平移4 个单位长度，再向上平移4个单位长度后的坐标为 ( )
A.(10,-4) B.(-4,10) C.(6,-4) D.(6,0)
8. 若 则a、b、c的大小关系是 ( )
A. b9.“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远.如图，若观测点的高度为h，观测者视线能达到的最远距离为d，则d≈其中R 是地球半径,约为 6 400 km.小丽站在海边的一幢高楼顶上，眼睛离海平面的高度 h 为 80 m，她观测到远处一艘船刚露出海平面，则d的值为 .
10.如果关于x的不等式组 的解集为x>2，且式子的值是整数，则符合条件的所有整数m的值的和是 .
11.已知实数a满足
(1)由式子 可以得出a的取值范围是什么
(2)由(1),你能将等式 a 中的绝对值符号去掉吗
(3)由(2),你能求出a-2025 的值吗
第2课时 二次根式的性质
基础提优题目
1.下列计算正确的是 ( )
A. B.
C. D.
2.当a<2时,化简 的值为 ( )
A.2 B. a C. a-2 D.2-a
3.已知实数a，b在数轴上的对应点如图，则化简 为 ( )
A.3a B.2b-a C. a+2b D. a-2b
4.若 是整数，则满足条件的自然数n的和为 .
5. 已知 a,b,c 是 △ABC 的三边长,化简 的结果为 .
6.若 化简的结果为5-2x，则x的取值范围是 .
7.计算:
综合应用题
8.若 是一个整数，则n的最小正整数的值是 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
9.已知 2 026(m,n为两个连续奇数,0A.总是奇数
B.总是偶数
C.总是无理数
D.可能是有理数也可能是无理数
10.若对任何实数 x，不等式 都成立，则a的取值范围是 ( )
A. a≥6 B. a≤6
C.0≤a≤3 D. a≥3
11.阅读材料：由 可知 的算术平方根是 类似地,16-6 的算术平方根是 .
12.已知 当x分别取1,2,3,…,2 025时，所对应的y值的总和是 .
13.已知正实数a,b,c,d满足关系式a+b+c+d=1,设 那么s与5的大小关系是 .
14.座钟的钟摆摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为 其中 T表示周期(单位:s),l表示摆长(单位:m).假如一台座钟钟摆的摆长为0.2m.(π取3，g=9.8 m/s )
(1)求钟摆摆动的周期.
(2)如果钟摆每摆动一个来回，座钟发出一次滴答声，那么在 6 min内，该座钟大约发出了多少次滴答声
15.观察下列等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
(1)按照你所发现的规律，请你写出第4个等式： ;
(2)按照你所发现的规律，请你写出第n(n为正整数)个等式： ；
(3)利用这一规律计算：
创新拓展题
16.阅读下列材料.
若代数式 的值是 2，求a的取值范围.
解：
∴|a-1|+|a-3|=2.
当a<1时,|a-1|=1-a,|a-3|=3-a,
∴(1-a)+(3-a)=4-2a=2,
解得a=1(舍去);
当1≤a≤3时,|a-1|=a-1,|a-3|=3-a,
∴(a-1)+(3-a)=2,符合条件;
当a>3时,|a-1|=a-1,|a-3|=a-3,
∴(a-1)+(a-3)=2a-4=2,
解得a=3(舍去).
∴a的取值范围是1≤a≤3.
(1)化简:
(2)三角形的三边长分别为2，5，m，化简
(3)若 求x的取值范围.
19.1二次根式及其性质
第1课时 二次根式的概念
1. C【点拨】 是二次根式;当y=-2时,y+1=-1,∴ -2)没有意义，不是二次根式；3，x+y不是二次根式， 的根指数是3，不是二次根式，∴二次根式有4个.
2. A 【点拨】由题意得3-x≥0且x-1≠0,解得x≤3且x≠1.
3. D 4.9 5.2 ,3
6.【解】(1)无论x为何实数,(x+1) 都是非负数.
所以不论x取何实数， 总有意义.
(2)由 得x>3.
所以当x>3时， 有意义.
(3)由 且1-|x|≠0得1-|x|>0,解得-1点技巧含二次根式的式子有意义的条件：
(1)如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是各个二次根式中的被开方数都必须是非负数；(2)如果所给式子中含有分母，那么除了保证二次根式中的被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零.
7. D【点拨】由题意得 即 ①-②得x+2y-2=0,与x+ y = 6 联立得 解得 ∴M(10,-4),将点 M 先向左平移4个单位长度,再向上平移4个单位长度后的坐标为(10-4，-4+4)，即(6,0).
8. D 【点拨】
9.32 km
10.-3 【点拨】解不等式 得x>m，解不等式 得x>2.∵不等式组的解集为x>2.∴m≤2.∵式子 的值是整数,∴|m|=3或2.∴m=-3,3,2或-2.由 m≤2得 m=-3,-2或2.即符合条件的所有整数m的和是-3.
11.【解】(1)根据二次根式有意义的条件可得a-2026≥0,解得a≥2026.
(2)由(1)知a≥2026,
∴2025-a<0.
(3)由(2)易得
第2课时二次根式的性质
1. B 2. D
3. A 【点拨】根据数轴可得,b<0,a>0,|b|>|a|,∴a+b<0,b-a<0,∴原式=a-(b-a)+(a+b)=a-b+a+a+b=3a.
点思路结合数轴利用二次根式的性质求值或化简的关键是根据数轴判断字母的取值范围和熟练运用二次根式的性质.
4.50 【点拨】∵ 有意义,∴16-n≥0,即n≤16.又∵ 是整数，n是自然数，∴n只能是0或7或12或15或16.∴满足条件的自然数 n的和为0+7+12+15+16=50.
5.2c 【点拨】∵a,b,c是△ABC的三边长,∴a-b+c> c|+|a-b-c|=a-b+c+b+c-a=2c.
6.2≤x≤3
7.【解】(1)原式=5-24=-19.
(2)原式
(3)原式
(4)原式=8xy.
(5)原式
8. C 【点拨 是一个整数，∴45n是一个完全平方数.∵45n=3×3×5×n,∴n的最小正整数的值是5.
9. B 【点拨】∵m,n为两个连续奇数,010. B 【点拨】 由绝对值的几何意义可得，|x+1|+|x-5|表示的是数轴上表示数 x的点到表示数-1 和数5的两个点的距离之和，∴当-1≤x≤5时,|x+1|+|x-5|有最小值，最小值为x+1+5-x=6,此时|x+1|+|x-5|=6.∵若对任何实数x,不等 式 都 成 立， 的最小值要大于或等于a.∴a≤6.
【点拨】 的算术平方根是
12.2027 【点拨】当x=1时,y=3;当x≥2时,y=x-2-x+3=1,即当x分别取2,3,…,2 025时,y的值均为1,∴当x分别取1,2,3,…,2 025时,所对应的y值的总和是3+2 024×1=2 027.
13. s<5 【点拨 】∵正 实数 a,b,c,d 满 足 关 系 式a+b+c+d=1,∴0∴ a +1< 同理
1+d+1=a+b+c+d+4=5,即 s<5.
14.【解】 (s).∴钟摆摆动的周期约为 s.
(次).
∴在 6 min 内,该座钟大约发出了 420 次滴答声.
15.【解
(3)原式
16.【解】(1)1
(2)∵三角形的三边长分别为2，5，m，
∴5-2∴m的取值范围是3∴原式： m-3+7-m=4.
∴|x-5|+|x-8|=3.
当x<5时,|x-5|=-x+5,|x-8|=-x+8,
∴-x+5-x+8=3.
∴x=5(舍去);
当5≤x≤8时,|x-5|=x-5,|x-8|=-x+8,∴x-5-x+8=3,符合条件;
当x>8时,|x-5|=x-5,|x-8|=x-8,
∴x-5+x-8=3.
∴x=8(舍去).
∴x的取值范围为5≤x≤8.

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