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参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. C
2. B
3. A
4. C
5. C
6. C.
7. A
8. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. CD
10. BC.
11. ABC
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. .
13. .
14.
四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （1）由余弦定理，，
所以.
（2）因为，所以为直角三角形，，.
16. （1）在中，.
在中，，，
侧棱长；
（2），
，
，
.
,
17. （1），∴由正弦定理得，
即，为锐角三角形，,则
所以，即，，
.
（2）由正弦定理得
，
.
18. （1）因为截面为正方形，
所以，
在中，，
即，解得，
所以三棱柱的表面积
（2）由题可得：
【小问3详解】
因为，
在长方体中平面，
所以三棱锥的高为，
所以
.
19. （1）由结合正弦定理可得，
，
，
为锐角三角形，
．
（2）中，且，
为正三角形，边长，
费马点满足，且等边三角形费马点与重心、垂心重合，
设，由余弦定理，，
即，故，解得，
的面积．
（3）①设，由费马点性质，，故
．
，
由得：
，即，
由余弦定理得，，
即，即，
又，联立，解得，
的周长为；
②由在中，由余弦定理得，
联立可得，
则，
即，滁州中学2025级高一下学期期中考试
数 学
注意事项：
1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．
2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题上．
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列命题正确的是
A. 若都是单位向量，则
B. 两个向量相等的充要条件是它们的起点和终点都相同
C. 向量与是两个平行向量
D. 若，则四点是平行四边形的四个顶点
2. 若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数
A. B. C. D.
3. 已知两个单位向量满足，则（ ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
4. 设为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（ ）
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
5. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则四边形的周长为（ ）
A. B.
C. D.
6. 的三内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c，设向量.若使，则角C的大小为（　　）
A. B. C. D.
7. 某远洋运输船在海面上航行至海上处，测得小岛上灯塔顶端位于其正西方向且仰角为45°，该运输船继续沿南偏西30°的方向航行100米至处，测得灯塔顶端的仰角为30°，则该灯塔顶端高于海面（ ）
A. 50米 B. 100米 C. 米 D. 米
8. 已知梯形中，，点为边上的动点，若，则的范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在中，下列结论正确的是（ ）
A. 若，则为等腰三角形
B. 若，则是直角三角形
C. 若，则是钝角三角形
D. 若，则是等边三角形
10. i是虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若，则
C. 若，则的最小值为1
D. 若是关于的方程的根，则
11. 在中，角的对边分别为，外接圆的半径为2，且，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 面积的最大值为
D. 若，角的平分线交于点，则
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的高为______
13. 设非零向量、的夹角为，，在方向上的投影向量为，则______．
14. 已知三棱锥的四个顶点均在球O上，平面为等腰直角三角形，A为直角顶点．若，且，则球O的表面积为_______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在中，内角的对边分别是，若，
（1）求边，
（2）求．
16. 如图，在正四棱锥中，是这个四棱锥的高，是斜高，且 .
（1）求这个四棱锥的侧棱长;
（2）求这个四棱锥的全面积和体积.
17. 在锐角三角形中，角所对的边分别为，且，
（1）求角的取值范围；
（2）求的取值范围.
18. 如图，长方体由，，，，过作长方体的截面使它成为正方形.
（1）求三棱柱的表面积；
（2）求三棱锥的体积；
（3）求 .
19. 著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（）于年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”，费马问题中的所求点称为费马点．已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点．在锐角中，角的对边分别为，且．若是锐角的“费马点”，．
（1）求角；
（2）若；求的面积；
（3）且．
①求的周长；

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