资源简介

北京市北京大学附属中学2025-2026学年第二学期行知未名学院高一年级期中考试数学试卷
一、单项选择题：本大题共10小题，共50分。
1.若扇形的弧长等于其半径的3倍，则扇形的圆心角的弧度数为（）
A. 3 B. C. D. 1
2.（ ）
A. B. C. D.
3.已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
4.下列函数中，图象有多于1条对称轴，且相邻对称轴距离为的是（ ）
A. B. C. D.
5.已知在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆相交于点.若角的终边逆时针旋转，与角的终边重合，则（ ）
A. B. 3 C. D.
6.已知在三角形中，，则（ ）
A. B. C. 0 D. 1
7.将函数的图象向右平移（）个单位，得到函数的图象.若与的图象关于轴对称，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8.“”是“存在，使得”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.当时，下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知函数的图象可以近似表示某音叉的声音图象.给出下列关于的性质：①是函数的一个周期；②的图象关于直线对称；③的图象关于点对称；④在区间上是增函数.其中正确的个数是（）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.函数的最小正周期为 .
12.已知函数（，，）的一部分图象如图所示，则 .
13.已知函数，其中.若，且在区间上单调，则 .
14.已知函数，若方程在的解为，（），则 ， .
15.如图所示，在两年的时间跨度内，太阳直射点的纬度数（单位：度）与时间（单位：天）近似满足如下的正弦型函数关系式：（），其中，，为常数，，，.
由地理学的知识，的变化周期为一年（按365天计算）.的最大值为北回归线的纬度数（取23.5），此时对应夏至日；的最小值为南回归线的纬度数（取），此时对应冬至日.当时，对应春分或秋分.给出下列结论：①；②；③已知2026年夏至日为6月21日，若对应于2026年7月21日，则；④已知越南古都顺化的纬度数约为16.5，据此可以估算：顺化一年中约有三个月的时间正午日影朝南（即太阳直射点纬度数大于该地）.其中所有正确结论的序号是 .（注：，忽略闰年对日期计算的影响.）
三、解答题：本题共4小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题15分)
已知，.
(1)求和的值；
(2)求的值.
17.(本小题20分)
已知函数.
(1)求函数在区间上的最值，并求出取得最值时相应的值；
(2)设函数，，若的最小值为1，求的取值范围.
18.(本小题20分)
已知函数（，），从下列三个条件中选择两个作为已知，使得函数存在：条件①：的图象经过点；条件②：在区间上单调；条件③：若对任意，恒成立，则的最小值为.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在区间上的单调递增区间；
(3)将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象.若函数在区间上恰好有2个零点，求的取值范围.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
19.(本小题20分)
对平面直角坐标系中的点，，定义运算.若由平面内个点（）组成的集合满足：对任意，（与可能相等），，且原点，则称为“集合”.
(1)设，，计算并化简：
①；
②.
(2)判断是否是“集合”？若是，给出证明；若不是，说明理由；
(3)若是“集合”，点是的元素，证明：.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】A
10.【答案】B
11.【答案】
12.【答案】 /
13.【答案】
14.【答案】 ； ； / ； /
15.【答案】②④
16.【答案】解：（1）①因为，所以.
因为，，
代入得.
②.
所以.
（2）；.
.

17.【答案】解：（1）函数，
当时，，由，得，
由，得，则函数在上递增，在上递减，
而，因此，，
所以函数在上的最小值为，此时；最大值为1，此时.
（2）函数，当且仅当时取等号，
当时，，当且仅当，即时，
函数能取到，函数取得最小值1，
所以的取值范围是.

18.【答案】解：（1）选择①，②，因为的图象经过点，可知为一条对称轴，且，所以在区间上不单调，与②矛盾，故此时不满足题意；
选择②，③，因为对任意，恒成立，则的最小值为，所以，
则有，得到，即，又因为在区间上单调，
即，即，与③矛盾，此时不满足题意；
选择①，③，因为对任意，恒成立，则的最小值为，
所以，则有，得到，
又因为的图象经过点，所以，代入可可得，，
解得，又因为，
所以取可得，所以.
（2）正弦函数的单调递增区间为，令，
则，解得，结合区间，
取得得到，即函数在区间上的单调递增区间.
（3）由题意可得，函数图象上各点的横坐标变为原来的倍，再向上平移1个单位长度，
得到函数的图象，
所以，令，得，
即或，
即或，相邻零点间距为或交替出现，
所以最小长度包含间距的两个零点，长度为，
最大长度，包含间距的两个零点，则其长度趋近于，所以的取值范围为.

19.【答案】解：（1）①.，，
②.由①得：.
（2）
，
，
由周期性知，
又因为，，
不可能同时为零，所以原点，所以为“集合”.
（3）反证法：设中有个元素(是一个有限的数)
假设是的元素，且，
因为是“集合”，所以原点，所以，
设，
定义,，
，有，所以互不相同，
所以中有无数个元素，矛盾.所以假设错误，所以，证毕.

第1页，共1页

展开更多......

收起↑