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山东菏泽市2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题（A）
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.若=,则x=( )
A. 2或6 B. 2或3 C. 3 D. 6
2.函数f（x）=x4-2x3在点（1，f（1））处的切线方程为（　　）
A. 2x+y-1=0 B. 2x+y+1=0 C. x-2y-3=0 D. x+2y-3=0
3.已知函数，则（ ）
A. B. 0 C. D.
4.二项式的展开式中的常数项为（ ）
A. B. C. D.
5.过原点的直线l与曲线y=lnx+1相切，则切点坐标为（　　）
A. （1，1） B. （2，ln2+1） C. （e,2） D.
6.6个除颜色外完全相同的小球，其中红、黄、蓝各2个，把这6个小球排成一排，其中红色小球不相邻的排法有（）种
A. 40 B. 60 C. 80 D. 120
7.如图所示,已知直线y=kx与曲线y=f(x)相切于两点,则对函数F(x)=kx+2-f(x)描述正确的是( )
A. 有极小值点,没有极大值点 B. 有极大值点,没有极小值点
C. 至少有两个极小值点和一个极大值点 D. 至少有一个极小值点和两个极大值点
8.定义在上的函数，对任意实数都有，．若，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.若的展开式中的系数为-160,则( )
A. a=-1 B. 所有项系数之和为1
C. 二项式系数之和为64 D. 二项式系数最大项为第3项
10.已知（且），若，且（ e为自然对数的底数），则（ ）
A. B.
C. D.
11.定义在(0,+)上的函数f(x)满足当n-1< xn时,f(x)=(x-n+1),其中n,则下列结论中正确的有( )
A. f()=
B. f(x)f(x+2)0
C. 当t>0时,若f(x)在区间(t,2t)内恰有两个零点,则t的取值范围是(,)
D. 任意x>0,|f(x)|<1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等, 则n=
13.将1,2,3,,9这9个数字填在33的方格表中,要求每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小.若将4填在如图所示的位置上,则填写方格表的方法共有 种.
14.已知直线与曲线，分别相交于，两点，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．
（1）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；
（2）在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301，423等都是“凹数”，试求“凹数”的个数；
（3）在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数．
16.(本小题15分)
已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，，讨论的零点个数.
17.(本小题15分)
已知．
(1)求和的值；
(2)求的值．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=|ax-2|,g(x)=-(a>0).
(1)设g(x)的导函数为g'(x).
(ⅰ)若f(x)与g'(x)有相同的零点,求a的值;
(ⅱ)若对任意x0,都有f(x)g'(x),求a的取值范围;
(2)若f(x)=g(x)有唯一解,求a的取值范围.
19.(本小题17分)
已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，若在上恒成立，求正整数的最大值；
(3)若在上有零点，比较与的大小.（参考数据：，，）
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】BC
10.【答案】ACD
11.【答案】ABD
12.【答案】7
13.【答案】12
14.【答案】
15.【答案】解析：（1）将所有的三位偶数分为两类：
（i）若个位数为0，则共有（个），
（ii）若个位数为2或4，则共有（个），
所以，共有30个符合题意的三位偶数；
（2）将这些“凹数”分为三类：
（i）若十位数字为0，则共有（个），
（ii）若十位数字为1，则共有（个），
（iii）若十位数字为2，则共有（个），
所以，共有20个符合题意的“凹数”；
（3）将符合题意的五位数分为三类：
（i）若两个奇数数字在一、三位置，则共有（个），
（ii）若两个奇数数字在 二、四位置，则共有（个），
（iii）若两个奇数数字在三、五位置，则共有 （个），
所以，共有28个符合题意的五位数．

16.【答案】解：（1）的定义域为R，，
若，令，得或，令，得，
若，令，得或，令，得，
综上，当时，在，上单调递增，在上单调递减，
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
（2）当时，，
令，则，
令，
则，
所以当和时，，
当时，，
即在，上单调递减，在上单调递增，
所以的极小值为，的极大值为，
画出函数的大致图象，如图，
则由图可知，
当或时，函数有1个零点；
当或时，函数有2个零点；
当时，函数有3个零点.

17.【答案】解：（1）令，得，即；
设的展开式通项为，那么.
（2）对两边同时求导，可得
令，得
即.

18.【答案】解：（1）(ⅰ)由题意得，，得，
令，即，解得或，
故的零点为和，
的零点为，
因为与有相同的零点，
所以，解得.
(ⅱ)原问题转化为|ax-2|2ax-在x0时恒成立.
当a>0时，令x=，所以2a-3a0，解得0＜a3,
当0x<时，原不等式可化为2-ax，所以，
此时>，所以y=的最大值为，
所以，所以0＜a；
当x≥时，原不等式可化为ax-22ax-，所以，
因为y=在[,+)上单调递增，
所以3-，所以0＜a3.
综上所述，0< a.
（2）由题意得方程有唯一解，
即方程有唯一解，
因为，所以，则，
当 ，即 时，有 （*），
设 ，
所以 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增， ， ，
因为方程（*）有唯一解，所以 ，所以 ；
当 时， 时，方程可化为 （**），
设 ，则 ，所以 在 上单调递增，
所以当 时，方程（**）有解，解得 ，
所以 时，方程（**）有唯一解；
当 时，有 ，
由（ⅰ）可知当 时方程有解，
所以 时，原方程至少有两个解，不符合题意；
综上可得，实数a的取值范围为.

19.【答案】解:(1)当n=0时,f(x)=-mx,f'(x)=-m,
当m0时,f'(x)>0,f(x)在(-,+)上单调递增;
当m>0时,由f'(x)=0,得x=m ,
当x(-,m)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.
当x(m,+)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.
综上,当m0时,f(x)在(-,+)上单调递增;
当m>0时,f(x)在(-,m)上单调递减,在(m,+)上单调递增.
(2)当m=n时,f(x)=-m(x+x)，
因x(0,),f(x)0恒成立,所以f()0,
即f()=-m(+1)0,m,
所以正整数m的最大值为1.
下证m=1时,f(x)=-x-x0在(0,)上恒成立.
设h(x)=-x-1,x(0,),
则h'(x)=-1>0,h(x)在(0,)上单调递增,h(x)>h(0)=0,即-x>1,
所以f(x)=-x-x>1-x,
又x1,所以f(x)>1-x0,
即f(x)=-x-x>0恒成立.
所以正整数m的最大值为1.
(3)证明：由题意设为f(x)的零点(>0),
则--n=0,即m+n -=0,
则点M(m,n)在直线x+y-=0上,
所以,
即+,
当x(0,1]时,设g(x)=x-x,所以g'(x)=1-x0,
则g(x)在(0,1]上单调递增,
所以g(x)>g(0)=0,所以x>x>0,
又x(1,+)时,1<,
所以当>0时,<,
所以+>=，
令m(x)=,x(0,+),则m'(x)=,
当x(0,1)时,m'(x)<0,m(x)单调递减;
当x(1,+)时,m'(x)>0,m(x)单调递增,
所以m(x)m(1)=e,即e,
所以+>.
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