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四川凉山州西昌市2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知函数的导数为，则（ ）
A. 1 B. C. 0 D.
2.年意大利米兰冬奥会期间，组委会选派名翻译志愿者分别承担汉语、英语、日语、韩语四个不同语种的翻译工作（名翻译志愿者均精通汉语、英语、日语、韩语），则不同的选派方案共有（）
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
3.下列函数中，在区间上单调递减，且图象关于原点对称的是（ ）
A. B. C. D.
4.已知函数在处可导，且，则（ ）
A. B. C. 1 D.
5.为倡导绿色出行，某小区计划新增3个不同的新能源汽车充电区和2个不同的电动自行车充电区．现有5个空位（排成一排）可供选择，要求2个电动自行车充电区不相邻，则不同的安装方案共有（）
A. 36种 B. 48种 C. 72种 D. 144种
6.过点且与曲线相切的直线方程是（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.定义在上的奇函数可导，其导函数为，且满足时，，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.函数y＝f (x)的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. (－1，3)为函数y＝f (x)的单调递增区间
B. (3，5)为函数y＝f (x)的单调递减区间
C. 函数y＝f (x)在x＝0处取得极大值
D. 函数y＝f (x)在x＝5处取得极小值
10.若，下列等式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11.将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒，方盒的容积为，则下列说法正确的是（ ）
A. 有两个极值点
B. 的最大值为
C.
D. 当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数的单调递增区间是，则 .
13.某社区开展“垃圾分类知识竞答”活动，题库中有6道“易回收”题和3道“有害垃圾”题.系统随机抽取2道题作为一次挑战，则抽到的题目中至少有一道“有害垃圾”题的概率是 .
14.已知不等式对一切都成立，则的最小值是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
求下列函数的导数：
(1)
(2)
(3)
16.(本小题15分)
已知函数．
(1)求在点处的切线方程；
(2)求的单调区间和极值．
17.(本小题15分)
从包含3名工程师和5名数据分析师的团队中，选派4人组成一个项目组，要求项目组中工程师不少于1人，数据分析师不少于2人.
(1)项目组有多少种不同的选派方案？
(2)现将项目组4人分配到“算法开发”和“模型测试”两个不同岗位，每岗至少1人，且工程师不能都去同一个岗位，求有多少种不同的分配方案.
18.(本小题17分)
已知函数.
(1)若，求的最值；
(2)讨论的单调性；
(3)当时，若的极小值点为，证明：存在唯一的零点，且.
19.(本小题17分)
已知函数.
(1)若是的极值点，求的值；
(2)若函数存在两个不同的极值点.
（i）求实数的取值范围；
（ii）证明：.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】ABD
10.【答案】ACD
11.【答案】BD
12.【答案】2
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：（1）；
（2） ；
（3）由，
所以.

16.【答案】解：（1）由，得，
因为，，
所以在点处的切线方程为，即．
（2）的定义域为，
，
令，得或，令，得或，令，得，
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为，
当时，取极大值，当时，取极小值．

17.【答案】解：（1）由题意可得，选派4人中可以有1名工程师和3名数据分析师或2名工程师和2名数据分析师，
若选派4人中可以有1名工程师和3名数据分析师，此时有种不同的选派方案；
若选派4人中可以有2名工程师和2名数据分析师，此时有种不同的选派方案；
综上：项目组有60种不同的选派方案.
（2）若选派4人中有1名工程师和3名数据分析师，
若3名数据分析师分配到同一岗位，结合题意，此时有种不同的分配方案，
若3名数据分析师按照分配到两个不同的岗位，此时有种不同的分配方案；
若选派4人中有2名工程师和2名数据分析师，
若2名数据分析师分配到同一岗位，结合题意，此时有种不同的分配方案，
若2名数据分析师按照分配到两个不同的岗位，此时有种不同的分配方案；
综上：有种不同的分配方案.

18.【答案】解：（1）当时，，则，
所以当时，，即单调递减，
当时，，即单调递增，
所以函数的最小值为，无最大值.
（2）由，
当时，，所以当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增；
当时，令，得或，
当时，，有，即在 R上单调递增；
当时，，
所以当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增；
当时，，
所以当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增；
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在 R上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
（3）因为，由（2）知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
依题意，，
又，，，，
所以在上存在唯一零点，且，
解得，两边取自然底数的对数，，
所以，，
令，，则，
故在上单调递减，则，
故.

19.【答案】解：（1），
因为是的极值点，
所以，即，
当时，，所以函数在上单调递增，
当时，，所以函数在上单调递减，
所以是的极小值点，符合题意；
（2）（i），
函数的定义域为，
令，
设，
因为函数存在两个不同的极值点，
所以直线与函数的图象有两个不同的交点，
，
当时，，所以函数在上单调递减，
当时，，所以函数在上单调递增，
，当时，，且当时，，
当时，，且当时，，函数的图象如下图所示：
要想直线与函数的图象有两个不同的交点，
只需，
所以实数的取值范围为；
（ii）因为函数存在两个不同的极值点，
所以不妨设，
且，
，
于是有，
，
因为，所以令，
所以有
要想证明，只需证明，
所以只要证明在上恒成立，
即在上恒成立，
设，
令，
因为，所以，因此函数在上单调递增，
于是当时，，
即，因此函数在上单调递增，
于是当时，，
因此在上恒成立，
所以在上恒成立，
因此.

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