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北京市回民学校2025—2026学年度第二学期期中检测（4月）高二数学
一、单项选择题：本大题共12小题，共60分。
1.在一个盒子中有3个红球和2个黑球，这5个球除颜色外没有其他差异.现从中依次不放回地随机抽取出2个球.则两次取到的球颜色相同的概率为（　　）
A. B. C. D.
2.已知随机变量的分布列如表：（其中为常数）
0 1 2 3 4 5
0.2 0.1 0.3 0.2 0.1
则等于（ ）
A. 0.4 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.7
3.若三个数a-2，5，2a成等差数列，则a=（　　）
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
4.在等比数列中，是方程的两个根，则（ ）
A. 7 B. 8 C. 或8 D.
5.已知随机变量，且，则下列说法错误的是（ ）
A. B.
C. D.
6.已知等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时，（ ）
A. 6或7 B. 7 C. 8 D. 7或8
7.小张一家打算去深圳市或珠海市旅游，去深圳市与珠海市的概率分别为0.7，0.3，在深圳市去游乐园的概率为0.6，在珠海市去游乐园的概率为0.4，则小张一家去游乐园的概率为（）
A. 0.48 B. 0.49 C. 0.52 D. 0.54
8.记数列的前项和为，若，则（ ）
A. 8 B. C. 10 D.
9.已知是等差数列的前项和，且，，则（ ）
A. 数列为递增数列 B.
C. 的最大值为 D.
10.《九章算术》中有问题:“今有蒲生一日,长三尺,莞生一日,长一尺.蒲生日自半,莞生日自倍.”意思是说今有蒲第一天长高三尺,莞第一天长高一尺,以后蒲每天长高为前一天的一半,莞每天长高为前一天的两倍.要使莞的长度大于蒲的长度(蒲与莞原先的长度忽略不计),需要经过的时间最少为( )
A. 3天 B. 4天 C. 5天 D. 6天
11.已知等比数列的公比为，设甲：，乙：是递增数列，则甲是乙的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
12.正整数数列{}满足=,使得=4的不同个数为（）
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
13.已知等比数列{}中,=9,=6,则= .
14.数列的前项和，若，则 .
15.在5道试题中有3道填空题和2道选择题,不放回地依次随机抽取2道题,在第1次抽到填空题的条件下,第2次抽到选择题的概率为 ,第1次抽到填空题且第2次抽到选择题的概率为 .
16.设为数列的前项和，且，则 ；数列的通项公式 .
17.为了检查学生的身体素质情况,从田径类3项,球类2项,武术类2项共7项项目中随机抽取3项进行测试,则恰好抽到两类项目的概率是 .
18.踢毽子源于汉朝，盛行于六朝，某学校高三年级为了增强学生身体素质，缓解学生备考压力，开展踢毽子活动.已知某踢毽子小组由5人组成（包含甲、乙），每个人踢出的毽子都等可能地传给其他4人中的1人，假设第1次由甲踢出，每次踢出的毽子都能被接住、记第次踢出毽子后，毽子传到乙的概率为，前次踢毽子的过程中，传到乙的次数为，则所有正确结论的序号是 . ①；②；③；④
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题12分)
已知等比数列中，，.
(1)求数列的前5项及前项和；
(2)若等差数列满足，，求的前项和，的最值及取得最值时的取值.
20.(本小题12分)
某项人工智能新技术进入试用阶段前必须对其中三项不同指标甲、乙、丙进行通过量化检测.假设该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为，指标甲、乙、丙检测合格分别记4分、2分、4分，若某项指标不合格，则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响．
(1)求该项技术量化得分不低于8分的概率；
(2)记该技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量，求的分布列与数学期望．
21.(本小题12分)
为了解某市区高中学生的阅读时间,从该市区随机抽取了800名学生进行调查,得到了这800名学生一周的平均阅读时间(单位:小时),并将样本数据分成九组,绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求a的值;
(2)为进一步了解这800名学生阅读时间的分配情况, 从周平均阅读时间在(12, 14], (14,16],(16,18]三组内的学生中,采用分层抽样的方法抽取了10人,现从这10人中随机抽取3人,记周平均阅读时间在(14,16]内的学生人数为X,求X的分布列和数学期望;
(3)以样本的频率估计概率,从该市区学生周平均阅读时间在(8,14]内中随机抽取20名学生.这20名学生中,周平均阅读时间在(10,12]内的学生最可能有多少名
22.(本小题12分)
某市在高中阶段举办“环保知识竞赛”，全体高中生参与了此次活动．现从参赛学生中随机抽取了男、女各30名学生，将他们的成绩（单位：分）按，，，，五个分数段进行分组，统计如下：
成绩
男生人数 3 6 11 8 2
女生人数 a b 12 4 2
(1)在抽取的60名学生中，从成绩在80分及以上的学生中随机抽取2人，求恰好男、女生各1人，且2人分数段不同的概率；
(2)从该市参赛的男生中随机抽取4人，设成绩在80分及以上的人数为X，用频率估计概率，求X的分布列和数学期望；
(3)试确定a，b的值，使得抽取的女生成绩方差最小．（结论不要求证明）
23.(本小题12分)
已知数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，设数列的前n项和为，若不等式对恒成立，求实数的取值范围．
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】C
10.【答案】A
11.【答案】D
12.【答案】C
13.【答案】4
14.【答案】
15.【答案】 ；


16.【答案】9 ；
17.【答案】
18.【答案】②③④
19.【答案】解：（1）等比数列中，，所以公比.
又，所以，所以.
前5项分别为，，，，，
.
（2）由（1）知，，，所以，.
设等差数列的公差为，则，
由，得.
所以等差数列的通项公式为.
则.
为开口向上的二次函数，对称轴为，
因为为正整数，所以当时，取得最小值，.
该数列无最大值.
故；当时，取得最小值，无最大值.

20.【答案】解：（1）设该项新技术的三项不同指标甲、乙、丙独立通过量化检测合格分别为事件A，B，C．“该项技术量化得分不低于8分”表示为ABC+，又ABC与为互斥事件，且A，B，C相互独立．
∴P（ABC+）=P（ABC）+P（）=P（A）P（B）P（C）+P（A）PP（C）
==．
（2）该技术的三个指标中被检测合格的指标个数随机变量ξ的取值为0，1，2，3．
P（ξ=0）==P（）=．
P（ξ=1）=P++==．
P（ξ=3）=p（ABC）=P（A）P（B）P（C）=，
∴P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）=1-=．
∴ξ的分布列为：
ξ 0 1 2 3
P
∴ Eξ==．
21.【答案】解：（1），.
（2）由频率分布直方图可得：周平均阅读时间在，，三组的频率之比为，
人中，周平均阅读时间在的人数为人；在的人数为人；在的人数为人；
则所有可能的取值为，
；；
；；
的分布列为：
数学期望.
（3）用频率估计概率,从该地区学生周平均阅读时间在(8,14]内随机抽取20名学生,
周平均阅读时间在(10,12]内的概率p==,
设周平均阅读时间在(10, 12]内的学生有k名,
则P(k)===,
==
==(-1+).
令=(-1+)1,解得k6,
所以当k=6或k=7,P(k)最大.
所以,周平均阅读时间在(10,12]内的学生最可能有6名或7名.

22.【答案】（1）确定成绩在80分及以上的学生人数，男生中成绩在的有8人，在的有2人，共人；女生中成绩在的有4人，在的有2人，共人.所以成绩在80分及以上的学生共有人.
从这16人中随机抽取2人的总组合数为种.
要满足恰好男、女生各1人且分数段不同，分两种情况：
男生从选，女生从选，有种选法.
男生从选，女生从选，有种选法.
所以满足条件的选法共有种.
根据古典概型概率公式所求概率.
（2）从男生中随机抽取1人，成绩在80分及以上的概率为.
从该市参赛的男生中随机抽取4人，设成绩在80分及以上的人数为X，
因为每次抽取是相互独立的，且概率相同，所以X服从参数为，的二项分布，即.
根据二项分布的概率公式，可得：
.
.
.
.
.
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
根据二项分布的数学期望公式，可得.
（3）因为抽取的女生共30人，所以，即.
当数据越集中时方差越小，所以当时，抽取的女生成绩方差最小.

23.【答案】解:(1)因为=,
所以n2时=,
所以当n2时,=,
又=满足上式,
所以=;
(2)由(1)知===1+,
所以=++++=(1+)+(1+)++(1+)=n+(+++)=n+=n+(1-)=n-+1,
所以-(n+1-)+,
即不等式对n恒成立,
令=,-=-=,
所以n=1,>,
n2时,-+n+1<0,所以-<0,>>>>>,
数列{}的最大项为=,所以.
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