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北京市第三十五中学2025-2026学年第二学期期中测试高二数学
一、单项选择题：本大题共10小题，共50分。
1.下列函数中，求导错误的是（）
A. B. C. D.
2.下列函数中，是奇函数且在定义域内是增函数的是（）
A. B. C. D.
3.已知函数的导函数，其图象如图所示，则以下选项中正确的是（ ）
A. 和是函数的两个零点
B. 函数的单调递增区间为
C. 函数在处取得极小值，在处取得极大值
D. 函数的最大值为，最小值为
4.有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则（ ）
A. B. C. D.
5.已知函数，下面说法正确的是（ ）
A. 在上的平均变化率为1 B.
C. 是的一个极大值点 D. 在处的瞬时变化率为2
6.在曲线上一点处的切线平行于直线，则点坐标是（ ）
A. B. C. D.
7.位于坐标原点的一个质点按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是，质点移动次后位于点的概率为．( )
A. B. C. D.
8.已知函数，则“”是“函数在上是单调函数”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.已知函数在其定义域内可导，且满足，则对任意的实数，，若，则（ ）
A. B. C. D.
10.对于函数，若存在区间[a，b]，当x[a，b]时的值域为[ka，kb](k＞0)，则称为k倍值函数．若是k倍值函数，则实数k的取值范围是( )
A. (e＋1，) B. (e＋2，) C. (，) D. (，)
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.设函数，则 .
12.抛掷甲 乙两枚质地均匀的骰子，在已知甲骰子的点数为偶数的条件下，乙骰子的点数小于甲骰子点数的概率为 .
13.李明参加中央电视台《同一首歌》大会的青年志愿者选拔，在已知备选的10道题中，李明能答对其中的6道，规定考试从备选题中随机地抽出3题进行测试，至少答对2题才能入选．则李明入选的概率为 ．
14.某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种植1千克莲藕，成本增加1元.种植x万千克莲藕的销售额（单位：万元）是，则要使利润最大，每年需种植莲藕 万千克.
15.对于偶函数，下列结论中正确的是 ．
①函数在处的切线斜率为：
②，使得；
③若，则；
④若，都有成立，则的最大值为．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)求函数的单调区间及极值.
17.(本小题12分)
某大学有A，B两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位同学每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下：
选择餐厅情况（午餐，晚餐） （A，A） （A，B） （B，A） （B，B）
甲同学 9天 6天 12天 3天
乙同学 6天 6天 6天 12天
假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率.
（1）分别估计一天中甲同学午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率，乙同学午餐选择A餐厅就餐的概率；
（2）记X为乙同学在未来4天中选择A餐厅进行午餐的天数，求X的分布列和数学期望E（X）.
18.(本小题12分)
已知函数f（x）=（x+a）ex．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求f（x）在区间[0，4]上的最小值．
19.(本小题12分)
为了调研某地区学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地区随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：
(1)从这10所学校中随机选取1所，已知这所学校参与“自由式滑雪”人数超过40人，求该校参与“单板滑雪”超过30人的概率；
(2)已知参与“自由式滑雪”人数超过40人的学校评定为“基地学校”.现在从这10所学校中随机选取2所，设“基地学校”的个数为，求的分布列和数学期望；
(3)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，并专门对这3个动作进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”.在此集训测试中，李华同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响，每轮测试也互不影响.如果李华同学在集训测试中想获得“优秀”的次数的均值达到5次，那么至少要进行多少轮测试？（结果不要求证明）
20.(本小题14分)
已知函数.
(1)若，求的极值
(2)若恒成立，求的取值范围
(3)判断函数的零点个数.（直接写出结论）
21.(本小题15分)
已知函数的定义域为，如果存在，使得，则称为的一阶不动点；如果存在，使得，且，则称为的二阶周期点.
(1)分别写出函数的一阶不动点及二阶周期点；
(2)若函数在上单调递增，求证：不存在二阶周期点；
(3)求的二阶周期点的个数.
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】C
10.【答案】B
11.【答案】
12.【答案】 /0.5
13.【答案】
14.【答案】5
15.【答案】①②④
16.【答案】解：（1）由，有，
则，，
故切点坐标为，切线斜率为，
切线方程为，即；
（2）由（1）知，，令，解得或，
故当时，，当时，，当时，
故函数在和上单调递增，在上单调递减；
故函数的极大值为，极小值为.

17.【答案】解：（1）设事件C表示“一天中甲同学午餐和晚餐都选择B餐厅就餐”，事件D表示“乙同学午餐选择A餐厅就餐”，
因为30天中，甲同学午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的有3天，乙同学午餐选择A餐厅就餐的有6+6=12天，
所以P（C）==，P（D）==；
（2）由题意可知，X～B（4，），X的所有可能取值为0，1，2，3，4，
则P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==，
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
所以E（X）=0×=．
18.【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=（x+a）ex．
函数f′（x）=ex+（x+a）ex=（x+a+1）ex，
由f′（x）＞0，解得：x＞-a-1；
由f′（x）＜0，解得：x＜-a-1．
所以：函数f（x）的单调减区间为：（-∞，-a-1），单调增区间为：（-a-1，+∞）．
（Ⅱ）①当-a-1≥4，即a≤-5时，
f（x）在[0，4]上单调递减，
所以：f（x）min=f（4）=（a+4）e4；
②当-a-1≤0，即：a≥-1时，
f（x）在[0，4]上单调递增，
所以：f（x）min=f（0）=a；
③当-5＜a＜-1时，
x （0，-a-1） -a-1 （-a-1，4）
f′（x） - 0 +
f（x） 减 极小值 增
所以：f（x）min=f（-a-1）=-e-a-1=-；
综上：当a≤-5时，f（x）min=（a+4）e4；
当a≥-1时，f（x）min=a；
当-5＜a＜-1时，f（x）min=-；
故答案为：（Ⅰ）函数f（x）的单调减区间为：（-∞，-a-1），单调增区间为：（-a-1，+∞）．
（Ⅱ）当a≤-5时，f（x）min=（a+4）e4；
当a≥-1时，f（x）min=a；
当-5＜a＜-1时，f（x）min=-；
19.【答案】解：（1）由题设可得如下数据：
自由
单板
设 为“学校参与“自由式滑雪”人数超过40人”，
为“该校参与“单板滑雪”超过30人”，则 ，
而 ，故 .
故已知这所学校参与“自由式滑雪”人数超过40人，
该校参与“单板滑雪”超过30人的概率为.
（2）参与“自由式滑雪”人数在40人以上的学校共4所， 的所有可能取值为 ,
所以 ， ， ，
所以 的分布列如下表：
0 1 2
所以 .
（3）记“李华在一轮测试中获得“优秀””为事件 ，则 ，
由题意，李华同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布 ，
由题意列式，得，
因为，所以的最小值为，故至少要进行轮测试.

20.【答案】解：（1）当时，，其定义域为，
所以，令，得，令，得.
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以，的极大值为，无极小值.
（2）由题意知在恒成立，即在恒成立，
所以在恒成立，即，，
令，，
则，令，解得.
当在内变化时，，的变化情况如下表：
0
单调递增 单调递减
由表知，当时，函数有最大值，且最大值为，
所以，即实数的取值范围为.
（3）解：函数的零点即为的实数根，即方程的实数根，
由（2）知，当时，；当时，；当时，；
又因为当时，，当时，，
所以，当时，方程无实数根，即函数的零点个数为0个；
当或时，方程有1个实数根，即函数的零点个数为1个；
当时，方程有2个实数根，即函数的零点个数为2个；
综上，当时，函数的零点个数为0个；当或时，函数的零点个数为1个；当时，函数的零点个数为2个.

21.【答案】解：（1）设是函数的一阶不动点，则，
解得，即函数的一阶不动点为.
设为函数的二阶周期点，则，
解得或，又，所以，
即函数的二阶周期点为.
（2）假设是函数的二阶周期点，则，
若，由在上单调递增，则，
若，由在上单调递增，则，
综上，，假设不成立.
所以，若函数在上单调递增，则不存在二阶周期点.
（3）由，
当时，，所以，
设，，恒成立，
所以在上单调递减，且，，
所以在上只有一个零点，即在上只有一个解，记为，
则，若，则，解得，
所以，即在上只有一个二阶周期点；
当时，，且，
所以时，，，
令，解得成立，
所以方程在上只有一个解，
又，所以不是的二阶周期点；
当时，，，
设，恒成立，
所以在上单调递减，且，，
所以在只有一个零点，即在上只有一个解，记为，
则，若，则，
所以，所以是的一个二阶周期点；
综上所述，的二阶周期点的个数为.

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