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北京市广渠门中学2025—2026学年度第二学期期中试题高一年级数学学科
一、单项选择题：本大题共10小题，共50分。
1.
A. B. C. D.
2.已知向量，.若，则实数m的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
3.已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
4.设P是所在平面内的一点，，则（）
A. B. C. D.
5.如图，三棱柱中，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则下列说法错误的是（ ）．
A. E，F，G，H四点共面 B. 与是异面直线
C. ，，三线共点 D.
6.已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题一定正确的是（ ）
A. 若，，则. B. 若，，则.
C. 若，，，则 D. 若，，则
7.如图，在正方体中，E为棱AB的中点，F为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
8.设，是平面内两个非零向量，则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.广渠门中学高一年级开展了沪杭研学，在乌镇参观时，某数学兴趣小组为测量某河道的宽度，进行了如下操作：如图，在河道一侧的水平步道上选取相距2米的A、B两个观测点，在河道对岸的水平岸线上选取点C.若该数学兴趣小组测得，，则可求得该河道的宽度（即点C到直线AB的距离）为（ ）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
10.在平面内，，D为BC中点，动点A满足，动点M满足，则的最大值为（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知向量=（m，3），=（1，m+1）．若⊥，则m= ．
12.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，，则 .
13.已知梯形中，，，，，且满足.则 ，的值为 .
14.设函数（）.若对函数，存在实数，使得，，满足，则的最小值为 ，当取此最小值时，一个符合要求的m的值为 （写出一个即可）.
15.如图，正方体棱长为2.点E为AD中点，P为正方体侧面内（包含边界）的动点.记E、C、三点所在的平面为.给出下列四个结论：
①直线与平面所成角的正切值为；
②已知平面，若，则；
③若点P满足，则必有的面积为1；
④若点P满足，则必有.
其中所有正确结论的序号为 .
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.
(1)求角A的大小；
(2)若，且△ABC的面积为，求a的值.
17.(本小题12分)
已知函数.
(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；
(2)求函数在区间上的最大值和最小值，并求相应的的值.
18.(本小题12分)
如图所示，在四棱锥中，平面，是的中点．在底面内且．
(1)求证：；
(2)求证：平面；
(3)若平面平面，求证：．
19.(本小题12分)
如图，在正方体中，E，F分别为，的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)求证：平面平面.
20.(本小题14分)
已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.
(1)求角B的大小；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，完成以下两个问题的解答：
（ⅰ）求b的值；
（ⅱ）若是锐角三角形，求周长的取值范围.
条件①：外心（外接圆圆心）到边距离为；
条件②：.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
21.(本小题15分)
设为正整数，若满足：①；②对于，均有；则称具有性质.对于和，定义集合.
（1）设，若具有性质，写出一个及相应的；
（2）设和具有性质，那么是否可能为，若可能，写出一组和，若不可能，说明理由；
（3）设和具有性质，对于给定的，求证：满足的有偶数个.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】B
10.【答案】C
11.【答案】-
12.【答案】
13.【答案】 ； ； ； / ；
14.【答案】 ； ； ； ； ； /答案不唯一
15.【答案】①③④
16.【答案】解：（1）由，根据正弦定理可得，
因为，则，
则，，得．
（2）由余弦定理和三角形的面积公式得，
即，可得，
故．

17.【答案】解：f(x)=-2x=x+x+2xx-2x
=2xx+1-2x=2x+2x=(2x+),
f(x)的最小正周期T==;
令-+2k2x++2k(kZ),解得:-+kx+k(kZ),
所以f(x)的单调递增区间为[-+k,+k](kZ).
(2)当x[0,]时,2x+[,];
当2x+=,即x=时,f=;
当2x+=,即x=时,f=-1.
18.【答案】解：（1）因为平面，平面，且平面平面，
所以．
（2）取中点，连接，
因为分别为中点，所以且，
又，，所以，，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，
所以平面．
（3）因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，又平面，
所以．

19.【答案】解：（1）如图，连接交于点，连接，
因为是正方形，所以是的中点，又是的中点，
所以，又平面，平面，
所以平面.
（2）因为分别是的中点，所以，，
所以四边形是平行四边形，故，
又平面，平面，所以平面.
又平面，且平面，，
所以平面平面.
（3）因为平面，平面，所以，
又，平面，，
所以平面，
又平面，所以平面平面.

20.【答案】解：（1）因为，由正弦定理得，
又，所以，
化简得，又，，
所以，即，又，
所以.
（2）（i）若选择条件①，如图，设为外接圆的圆心，半径为，作，垂足为，
因为，所以，故，
又，所以，即，
所以.
若选择条件②，因为，由余弦定理得，
化简得.
（ii）由，，得，所以，，
所以的周长
，
因为是锐角三角形，所以，即，解得，
所以，故，
所以，即的周长的取值范围为.

21.【答案】解：（1），；，；，；；，.
（2）假设存在和均具有性质，且，
则，
因为与同奇同偶，所以与同奇同偶，
又因为为奇数，为偶数，
这与与同奇同偶矛盾，所以假设不成立.
综上所述：不存在具有性质的和，满足.
（3）不妨设与构成一个数表，
交换数表中的两行，可得数表，
调整数表各列的顺序，使第一行变为，
设第二行变为，
令，则具有性质，且，
假设与相同，
则，
不妨设，，则有，故，
因为，所以，
因为，所以，与矛盾.
故对于具有性质的，若具有性质，且，则存在一个具有性质的，使得，且与不同，并且由的构造过程可以知道，当，确定时，唯一确定，由也仅能构造出.
所以满足的有偶数个.

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