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北京汇文中学教育集团2025-2026学年度第二学期期中考试初二年级数学学科
一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列根式中，是最简二次根式的是（　　）
A. B. C. D.
2.下列计算正确的是（）
A. B. C. D.
3.已知点A（-2，y1），B（3，y2）在一次函数y=kx+b（k＜0）的图象上，则（　　）
A. y1＞y2 B. y1＜y2 C. y1=y2 D. 无法确定
4.的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D. ，，
5.如图，的对角线，相交于点，下列哪个条件能够使得是矩形（ ）
A. B. C. D.
6.数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线和直线相交于点，则根据图象可知关于x的不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
7.如图，在中，，，，在数轴上，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是（）
A. B. C. D.
8.如图，在边长为的正方形中，为对角线，平分，于点，交于点，点为的中点，连接，则的长为（ ）．
A. B. C. D.
9.如图，在中，，，，的垂直平分线分别交、于点、，连接，则的长为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
10.惠农种子公司以一定价格销售“丰收一号”玉米种子，如果一次购买以上(不含)的种子，超过的那部分种子的价格将打折，并依此得到付款金额y(单位：元)与一次购买种子质量x(单位：)之间的函数关系如图所示．下列四种说法：①一次购买种子时，付款金额为100元；②一次购买种子质量不超过时，销售价格为5元/；③一次购买以上的种子时，超过的那部分种子的价格打五折；④一次购买种子比分两次购买且每次购买种子少花20元钱．其中正确的有（ ）
A. 1个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
11.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12.已知一个正多边形其中一个外角为，则这个多边形的边数为 ．
13.一次函数的图象一定不经过第 象限．
14.在平面直角坐标系中，将直线y=2x+b向上平移5个单位长度后经过原点，b的值为 .
15.在中，，为的中点，且，则_ cm．
16.如图，菱形的边长为，对角线交于点，，则菱形的面积为 ．
17.如图1，在矩形中，点P从点C出发，沿C→D→A→B方向运动至点B处停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，已知y随x的变化关系如图2所示，则y的最大值为 ．
18.如图，在正方形ABCD中，AB=4，G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，连接AE、DE、EG，EG=2，过点D向CD右侧作DF⊥DE，且DF=DE，连接CF，则线段CF的最小值为 .
三、计算题：本大题共1小题，共4分。
19.计算：
(1)
(2)
四、解答题：本题共9小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题4分)
如图，已知的三个顶点坐标分别是，，．
(1) 将向左平移5个单位，再向下平移2个单位，得到，且点、、的对应点为、、，请在网格中画出；
(2) 点、两点之间距离是 ．
21.(本小题4分)
已知一次函数的图象经过点．
(1) k的值为 ；
(2) 请在图中画出该函数的图象，并直接写出当时，x的取值范围．
22.(本小题6分)
已知：如图，在 ABCD中，E，F分别为边AD，BC上一点，且DE=BF.求证：AF=EC.
23.(本小题6分)
下面是小乐设计的利用已知矩形作一个内角为角的菱形的尺规作图过程．
已知：矩形．
求作：菱形，使．
作法：①作的角平分线；
②以点为圆心，以长为半径作弧，交射线于点；
③分别以点，为圆心，以长为半径作弧，两弧交于点，连接，，则四边形即为所求作的菱形．
(1) 请你用直尺和圆规，完成②③步的尺规作图（保留作图痕迹）；
(2) 填空：
①四边形是菱形的依据 ；
②连结，，四边形的形状是 ，依据是 ．
24.(本小题6分)
在平面直角坐标系中，函数的图象是由函数的图象平移得到，且经过点.
(1) 求函数的解析式；
(2) 当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，又大于函数的值，直接写出的取值范围.
25.(本小题8分)
综合与实践
【发现问题】我国是世界上水资源最缺乏的国家之一，同时又有很多水龙头由于漏水造成大量的浪费，某校园内有一个漏水的水龙头，数学活动小组要探究其漏水造成的浪费情况．
【提出问题】小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面接水，探究量筒中的总水量（毫升）与时间（分钟）的函数关系．
【分析问题】小明每隔分钟记录量筒中的总水量，但因操作延误，开始计时时量筒中已有少量水，因而得到如下表的一组数据：
时间x（分钟） 0 1 2 3 4 …
总水量y（毫升） 5 10 15 20 25 …
(1) 请根据表格中信息在坐标系中描点、连线，画出关于的函数图象，根据图象发现容器内总水量（）与滴水时间（）符合学习过的 函数关系（选填正比例或一次）．
(2) 根据以上判断，求关于的函数表达式．【解决问题】
(3) 已知所用量筒的最大容量为，如果小明从上午开始计时，那么什么时候量筒内的水刚好达到最大容量？
(4) 若一个成年人一天大约饮用毫升水，请你估算这个水龙头几小时的漏水量可供一个成年人一天饮用？
26.(本小题8分)
阅读下列材料，并按要求完成相应任务：勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．
(1) 如图①②③，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有 个．
(2) 如图④所示，分别以直角三角形的三边a，b，c为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形的面积为，请判断，，的关系，并说明理由．
27.(本小题8分)
在中，，，是的中点，是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转到线段．
(1) 若，，且点与点重合（如图），线段的延长线交射线于点，直接写出的度数．
(2) 如图2，点不与点，重合，线段的延长线与射线交于点，连接，若，求证：四边形是菱形．
(3) 在（2）的条件下，猜想与的数量关系并证明．
28.(本小题10分)
在平面直角坐标系中，对于任意点，若点Q的坐标为，则称点Q是点P的半交换点．
(1) 点的半交换点为 ．点N的半交换点为，点N的坐标为 ．
(2) 在长方形中，，，，，已知线段，点，，其中．
①若线段上任意点T的半交换点在长方形的边上或内部，则k的最大值是 ，n的取值范围是 ．
②将长方形沿x轴负方向平移t个单位长度得到长方形，若存在满足的线段，且上的任意点的半交换点在的边上或内部，直接写出t的取值范围．
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】A
9.【答案】C
10.【答案】C
11.【答案】
12.【答案】18
13.【答案】四
14.【答案】-5
15.【答案】16
16.【答案】4
17.【答案】15
18.【答案】2-2
19.【答案】【小题1】
解：
；
【小题2】
解：
．

20.【答案】【小题1】
解：如图所示，
【小题2】


21.【答案】【小题1】

【小题2】
解：如图
由图象得：
当时，．

22.【答案】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵DE=BF，
∴AD-DE=BC-BF，
∴AE=CF，
又∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF=EC．
23.【答案】【小题1】
解：如图，四边形即为所求菱形．
【小题2】
四条边相等的四边形是菱形
平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

24.【答案】【小题1】
解：一次函数的图象由函数的图象平移得到，.
一次函数的图象过点，.
这个一次函数的表达式为.
【小题2】
且.

25.【答案】【小题1】
解：如图，
由图象可得发现容器内总水量（）与滴水时间（）符合学习过的一次函数关系；
【小题2】
解：设关于的函数表达式为（）．
将，代入，得，
将，和代入，得，
解得，
；
【小题3】
解：令，则，
解得，
分钟，
∴量筒内的水刚好达到最大容量；
【小题4】
解：令，得，
解得，
分钟小时，
∴这个水龙头小时的漏水量可供一个成年人一天饮用．

26.【答案】【小题1】
3
【小题2】
解：，理由如下：
如图④，

，
．
∵由勾股定理得，
∴，
∵，
∴．

27.【答案】【小题1】
解：∵，，
∴是等边三角形，
∵是的中点，
∴，，，
∵点与重合，将线段绕点顺时针旋转到，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
在中，∵，，
∴；
【小题2】
证明：连接，
∵，是的中点，
∴，，
∵，，
∴四边形的对角线、互相垂直平分，
∴四边形是菱形；
【小题3】
解：猜想：，理由如下：连接，
∵四边形是菱形，
∴，，，，，
∴，
∵，
∴（）
∴，，
由旋转得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴
．

28.【答案】【小题1】

【小题2】
解：①∵点，，
∴点的半交换点为，，
∵为线段上的任意点，
∴T的半交换点在线段上，
∵线段上任意点T的半交换点在长方形的边上或内部，
∴，，
∴，，
∴，
∴的最大值为2；
②∵将长方形沿x轴负方向平移t个单位长度得到长方形，
∴，，，，
∵点的半交换点为，，线段上任意点T的半交换点在长方形的边上或内部，
∴，
∵，
∴，
∴，解得．

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