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北京市顺义牛栏山第一中学2025-2026学年高一下学期4月月考数学试题
一、单项选择题：本大题共10小题，共50分。
1.已知复数，则z的虚部为（ ）
A. 3 B. 2 C. 2i D.
2.已知向量，满足，且与的夹角为，则（ ）
A. B. C. D. 3
3.已知向量，，则（ ）
A. B. C. 0 D. 4
4.如图，长方体被一个平面截成两个几何体，其中，，，，分别为的中点，则几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
5.在中，，若，，则（ ）
A. B. C. D.
6.在中，角，，的对边分别是，，，且，则的形状一定是( )
A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形
7.已知非零向量，，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.某数学活动小组计划测量河宽即河两岸之间的距离（河的两岸可视为平行），受地理条件和测量工具的限制，采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选择两个观测点，观察对岸的点，测得，，米，由此可得河宽约为（）（结果精确到0.1米，参考数据，）
A. 13.0米 B. 21.3米 C. 40.3米 D. 47.3米
9.如图，在中，，，，则（ ）
A. 4 B. 6 C. D.
10.赵爽是我国古代数学家，大约在公元年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“赵爽弦图”——由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图1所示．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形．在中，若，则与的面积之比为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.在复平面内，复数对应的点的坐标为，则复数z的共轭复数 ．
12.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，，则 ．
13.已知向量与不共线，且，，．若A，B，C三点共线，则 ．
14.四边形ABCD是边长为2的正方形，若点P为边AB的中点，则= ；若点P在边AB（包含端点）上运动，则的最大值为 .
15.在中，内角的对边分别为．已知，，给出下列结论：
①若，则存在两个三角形；
②面积的最大值为；
③可能等于8；
④的最大值为．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
（1）已知复数，．分别求，，，；（要求有必要的解答过程）
（2）若复数为纯虚数，求实数的值．
17.(本小题12分)
已知三个非零向量，，．
(1)若，求向量与夹角的余弦值；
(2)若，求的值．
18.(本小题12分)
在中，，，．
(1)求边长；
(2)设的中点为，求长以及的大小．
19.(本小题12分)
在中，内角，，的对边分别为，，且．
(1)求；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，并求三角形的面积以及三角形外接圆的面积．
条件①，；条件②，；条件③，；
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
20.(本小题14分)
在四边形ABCD中，对角线AC=4，BCsin∠ABC=ACcos∠BAC．
（Ⅰ）求∠BAC的大小；
（Ⅱ）若△ACD是锐角三角形，且，求AD边长的取值范围；
（Ⅲ）当AD=2时，是否存在实数λ，使得的最小值为．若存在，求λ值以及∠CAD的大小；若不存在，请说明理由．
21.(本小题15分)
已知集合（且），，且．若对任意，，当时，存在使得，则称A是S的m元好子集．
(1)判断下列集合是否是的3元好子集：①；②；（直接写出结果，不需要说明理由）
(2)若是的4元好子集，求的最小值；
(3)若是（且）的m元好子集．求证：，并指出等号成立的条件．
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】B
10.【答案】A
11.【答案】
12.【答案】 /
13.【答案】
14.【答案】4
4

15.【答案】②③④
16.【答案】解：（1）因为复数，，
所以，，
，
；
（2）因为复数为纯虚数，
所以且，所以.

17.【答案】解：（1）因为且得，解得，
因此.
设与夹角为，根据向量夹角余弦公式
计算得，，，
代入得.
（2）因为，所以，
即，代入坐标得，
整理得，因式分解得，
即或.检验可知，当取这两个值时，三个向量均为非零向量，符合题意.
因此或.

18.【答案】解：（1）设，已知，，，
由余弦定理，代入已知条件，
，得，
整理得一元二次方程，解得（边长为正，舍去负根），
因此.
（2）
是中点，由向量中线公式得，
两边取模平方得，
代入，
得，
因此 .
在中，，，，
由余弦定理，
代入得，
整理得，
即. 因为，因此.

19.【答案】解：（1）由题目可知，，
化简可得，即，
根据余弦定理可得，
因为，
所以.
（2）选择条件①，，，
根据正弦定理可得，
代入可得，解得，
因为，，
所以有两个解，不唯一，
因此条件①不符合要求；
选择条件②，，，
所以，
因为
所以，
代入可得，
根据正弦定理可得，
代入可得，解得，
所以，
设外接圆半径为，，
代入可得，解得，
所以外接圆面积；
选择条件③，，，
根据正弦定理可得，代入可得，化简可得，
根据余弦定理可得，
代入可得，解得，即，
，
，
设外接圆半径为，，
代入可得，解得，
所以外接圆面积.

20.【答案】解:（Ⅰ） 在ABC中,由正弦定理得=BCABC=ACBAC,
由题意BCABC=ACBAC,故ACBAC=ACBAC,
AC=40,BAC=BAC,得BAC=1,
又BAC(0,),故BAC=;
(Ⅱ)设AD=x,CAD=,其中(0,),
在ACD中,由余弦定理,=+-2ACAD,
代入AC=4,CD=,得10=16+-8x,即=,
由ACD为锐角三角形,得:,
解得< x<,
故AD边长的取值范围为(,);
（Ⅲ）假设存在实数满足题意，记f()=|+|,
则()=+2+,
设CAD=((0,)),
由AC=4,AD=2，得()=16+16+4,
该二次函数在=-2时取得最小值,最小值为16-16=16,
由题意16==12，
得=,(0,),=,
从而=或=,
当=时,=-2=-1;当=时,=-2=1,
综上所述,存在实数=-1时CAD=,或=1时CAD=.
21.【答案】解：（1）①因为，但，所以不是的元好子集．
②集合中，两数之和不超过的情况只有．
且，所以是的元好子集．
（2）设.
若，则由好子集的定义可得.
再由.
可知至少含有这个元素，与是元集合矛盾．
故.
若，则，所以．
又，所以．
再由，得．
故.
因为是元集合，所以.
此时，并且满足好子集的定义，所以可以取到．
若，若，则由于中元素互不相同且递增，只可能有或.
当时，，但，不符合好子集的定义．
当时，，但，也不符合好子集的定义．
故当时，必有.
综上，的最小值为．
（3）设.
先证明对任意，都有.
假设存在某个，使得.
则对，均有.
由好子集的定义可知都属于．
这些数两两不同，并且都大于，所以它们都只能出现在中．
但是前者共有个不同的数，后者只有个数，矛盾．
故.
于是
所以.
下面讨论等号成立的条件．若等号成立，则对任意，都有.
特别地，对，因为且为整数，所以.
由好子集的定义可知这个数两两不同，并且都大于，所以它们恰好是.
又因为随的增大而增大，所以.
于是，由，得.
所以.
因此等号成立时，必须有.
反过来，若，记.
任取，若.
则，由于为整数，得.
于是.
故是的元好子集，且.
所以等号成立的条件正是.

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