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抛物线性质 30条
已知抛物线 y2 2 px( p 0)，AB 是抛物线的焦点弦，点 C 是 AB 的中点. AA’垂直准线于 A’，
BB’垂直准线于 B’， CC’垂直准线于 C’，CC’交抛
y
物线于点 M，准线交 x 轴于点 K. 求证：
A' A(x1,y1)
p p
1. | AF | x1 ,| BF | x2 2
,
2
1 1
2. CC AB ( AA BB )；
2 2
3.以 AB 为直径的圆与准线L相切； C' C(x3,y3)
证明：CC’是梯形 AA’BB’的中位线，
α
| AB | | AF | | BF | | AA | | BB | 2 | CC | 2r
O F x
4. AC B 90 ；(由 1 可证) B' B(x2,y2)
5. A FB 90 ；
证明： AA FK , A FK FA A,
| AF | | AA |, AA F AFA ,
A FK 1 AFK ,
2
1
同理： B FK BFK ,得证.
2
1
6. C F A B .
2
证明：由 A FB 90 得证.
7. AC 垂直平分A F；BC 垂直平分B F；
1 1
证明：由 C F A B 可知， | C F | | A B | | C A |,
2 2
又 | AF | | AA |, 得证. 同理可证另一个.
8. AC 平分 A AF ， BC 平分 B BF ,A’F 平分 AFK ，B’F 平分 BFK .
证明：由AC 垂直平分A F可证.
9.C F AB；
y y
证明：C F AB ( p, 1 2 ) (x x , y y )
2 2 1 2 1
y2 y2 y2 y2 y2 y2
p(x2 x
1 2 2 1
1)
1 2 0
2 2 2 2
P P
10. AF ； BF ；
1 cos 1 cos
p
证明：作 AH 垂直 x 轴于点 H，则| AF | | AA | | KF | | FH | p | AF | cos , | AF | .
1 cos
同理可证另一个.
1 1 2
11. ;
AF BF P
1
P P
证明：由 AF ； BF ；得证.
1 cos 1 cos
12. 点 A 处的切线为 y1y p(x x1) ;
证明：（方法一）设点 A 处切线方程为 y y1 k(x x ) ，与 y
2
1 2 px 联立，得
ky2 2py 2p(y1 kx1) 0, 由 0 2x k
2
1 2y1k p 0,
y p
解这个关于 k 的一元二次方程（它的差别式也恰为 0）得： k 1 ,得证.
2x1 y1
p p
证法二：（求导） y2 2 px 两边对 x 求导得2yy 2p, y , y |x x ,得证. y 1 y1
13.AC’是切线，切点为 A；BC’是切线，切点为 B；
证明：易求得点 A 处的切线为 y1y p(x x1)，点 B 处的切线为 y2 y p(x x2 ) ，解得两切线的交
p y
点为C ( , 1
y2 ) ,得证.
2 2
14. 过抛物线准线上任一点 P 作抛物线的切线，则过两切点 Q1、Q2的弦必过焦点;并且PQ1 PQ2.
p y2
证明：设点 P( ,t)(t R)为准线上任一点，过点 P 作抛物线的切线，切点为Q( , y) ,
2 2p
p p y t
y2 2 px两边对 x 求导得 2yy 2 p, y , K , y2PQ 2ty p
2 0,
y y y2 p

2 p 2
2 2 y
2 y2
显然 4t 4 p 0,切点有两个，设为Q1(
1 , y1),Q
2
2 ( , y2 ),则y1 y2 2t, y1y2 p
2 ,
2 p 2 p
y y
k k 1 2
2 py1 2 py2
FQ1 FQ

2 y2 y2 21 p 2 p y1 p
2 y2 2
2
p
2 p 2 2 p 2
2 py1 2 py 2 p 2 p 2 0, 所以 Q1Q2过焦点.
y21 y y y
2
1 2 2 y y y1 y y1 2 2 1 y2
y2 y2 2 2 2 2p 2
PQ PQ ( 1 , y t) ( 2
p y1 y2 y1 y p , y t) 2 y y t(y y ) t 21 2 1 2 p 2 2 p 2 2 2 4 4 1 2 1 24 p
2 y2 y2 2 (y y )2p p 2y y p2 4t 2 2p2
1 2 t2 1 2 1 2 t 2 t 2 0,
2 4 2 4 2 4
PQ1 PQ2.
15.A、O、B 三点共线；B、O、A 三点共线；
y2p p
证明：A、O、B 三点共线 kOA k
1
OB x1y2 y1 y y y y p
2.
2 2 p 2 2 1 1 2
2
同理可证：B、O、A 三点共线.
p2
16. y y p2； x x
1 2 1 2
4
p
证明：设 AB 的方程为 y k(x )，与 y2 2 px 联立，得 ky2 2 py kp2 0,
2
y2 y22p p4 p2
y1 y2 , y1y2 p
2 , x x 1 21 2 . k 2 p 2 p 4 p2 4
2 p
17. AB x1 x2 p
sin2
p p
证明： AB AF FB x x x x p, 1 2 1 2
2 2
2 p
| AB | 1 1 (y1 y2 )
2 4y y 1 11 2 ( )
2 4 p2 2 p 1 1
k 2 k 2 k k 2
2 p
2 p 1 cot2 .得证.
sin2
p2
18. S ； AOB
2sin
p p 2p
证明： S 1 AOB S OFA S OFB (y1 y2)
2 4y1y ( )
2 4p2
2 2 2 4 k
p2 2 2
( 1 )2
p p
1 1 cot2 .
2 k 2 2sin
S 2
3
p 2 p p2
19. AOB （定值）； 证明：由 AB 、 S AOB 得证.
AB 2 sin
2 2sin
p2
20． S ABC
sin2
1 1 y y
证明： S ABC | AB | | PF | 2 p 1
1 p2 ( 1 2 )2
2 2 k 2 2
1 p p
2
p 1 p2 ( )2 p2 (1 1 )
k 2 k k 2 sin2
2 p
21. AB 2p； 证明：由 AB 得证.
sin2
2 p
22. kAB ； 证明：由点差法得证.
y1 y2
y y
23. tan 1 2 ;
x P1 x
P
2 2 2
AA2 y1
证明：作 AA2垂直 x 轴于点 A2,在 AA F 中， tan ,2 同理可证另一个. FA2 px1 2
3
2
24. A B 4 AF BF ;
2 p p
证明： A B 4 AF BF | y1 y2 |
2 4(x1 )(x2 )
2 2
y21 y
2
2 2y1y2 4x1x2 2px1 2px2 p
2 2y1y2 4x x p
2 ，
1 2
2
由 y y p2
p
， x x 得证.
1 2 1 2
4
25. 设 CC’交抛物线于点 M，则点 M 是 CC’的中点；
x1 x2 y1 y2 p y1 y2 x1 x2 p证明：C( , ), C ( , ), CC 中点横坐标为 ,
2 2 2 2 4
y1 y把 y 2 代入 y2 2 px ，得
2
y2 y2 2y y 21 2 1 2 2px1 2px2 2p x1 x2 p 2 px, 2 px, x .
4 4 4
x1 x p所以点 M 的横坐标为 x 2 .点 M 是 CC’的中点.
4
当弦 AB 不过焦点时，设 AB 交 x 轴于点 D(m,0) (m 0) ,设分别以 A、B 为切点的切线相交于点 P，
求证：
26.点 P 在直线 x m 上
证明：设 2AB : x ty m,与 y 2 px 联立，得
y2 2pty 2pm 0, y1 y2 2pt, y1y2 2pm，
PA : y1y p(x x ) y
2 2
1
又由 ，相减得(y y )y 1
y2 y1 y2
1 2 , y ,
PB : y2 y p(x x 2 2 22 )
y2 2
代入 y y p(x x )得， 1
y1y2 y px 1 , y1y2 2 px, x m,1 1 得证. 2 2
4
y
A1
A
P CM
E(-m,0) O F D(m,0) x
B B1
27. 设 PC 交抛物线于点 M，则点 M 是 PC 的中点；
x1 x2 y y y y x x 2m证明：C( , 1 2 ), P( m, 1 2 ), PC中点横坐标为 1 2 ,
2 2 2 4
y
把 y 1
y2 代入 y2 2 px ，得
2
y2 y21 2 2y1y2 2px 2px 4pm x x 2m 2 px, y y 2 pm, 1 2 2 px, x 1 2 .
4 1 2 4 4
x x 2m
所以点 M 的横坐标为 x 1 2 .点 M 是 PC 的中点.
4
28.设点 A、B 在准线上的射影分别是 A1，B1，则 PA 垂直平分 A1F， PB 垂直平分 B1F，从而 PA 平
分 A1AF ，PB 平分 B1BF
p 0 y p y
证明： kPA kA F
1 ( 1 ) 1, PA A F ,
1 y1 p p y p
1
( ) 1
2 2
又 | AF | | AA1 |，所以 PA 垂直平分 A1F. 同理可证另一个.
y 2 py p
证法二： k 1AF
1 ,kAP ,k2 2 2 y AA
0,
y1 p y
1
1
p 1
2 p 2
k k k k
tan FAP tan PAA AF AP
AP AA
1
1
1 kAF kAP 1 kAP kAA1
2 py1 p p p 2 2
y2
0 2py (y p )
1 p
2 y 1 1 2 31 y1 y1 p py1 p p p p 0
2 py1 p p y
2
1 p
2 2p2 y y (y2 p2 ) y y y
1 1 0 1 1 1 1 1 1
y2 2 y y1 p 1 1
5
tan FAP tan PAA1, FAP PAA . 同理可证另一个 1
29. PFA PFB
证明： PAA1 PAF PFA PA1A,同理： PFB PB1B, 只需证 PA1A PB1B,
易证： | PA1 | | PF | | PB1 |, PA1B1 PB1A1, PA1A PB1B,
30． | FA | | FB | | PF |2
2 y2 y2 y2 y2p p p p p2
证明： | AF | | BF | (x )(x ) x x (x x ) 1 2 1 2 , 1 2 2 2 1 2 2 1 2 4 4 p2 4 4
2 2
y1y2 y1 y y y y y
2 2 2 2
p
2

P( , 2 ), | PF |2 1 2 1 2
y1 y2 y1 y 2
p
, 得证. 2p 2 2 p 2 2 4p
2 4 4
6
例 1：（2007 江苏高考第 19 题）如图，过 C（0，c）（c>0）作直线与抛物线 y=x2相交
于 A、B 两点，一条垂直于 x轴的直线，分别与线段 AB和直线 y+c=0 交于 P、Q。
y
（1）若OA OB =2，求 c的值；
B
P
（2）若 P 为线段 AB的中点，
A
求证：AQ 为抛物线的切线； O x
（3）试问（2）的逆命题是否成立。
Q
解：（1）设 A（x1，y1），B（x2，y2），C（0，c）
2 2
点 A在抛物线上：y1=x1 （1）点 B在抛物线上：y2=x2 （2）
y1 c y c直线 AB 经过点 C： 2 （3）
x1 x2
将（1）式与（2）式分别代入（3）式，得到 x 2 1x2=-c，y1y2=c
由OA OB = x1x2+y1y2=2，得 c=2。
x x
（2）P 为线段 AB 的中点，得点 Q 的坐标为（ 1 2 ，-c）
2
2
y c 2(x x x )
由 AQ的斜率 k 1 1 1 21= 2x1，过点 A 的切线的斜率为 k2=2x1。所以直x
x 1
x2 x1 x2
1
2
线 AQ 是抛物线的切线。
（3）过点 A的切线方程为 y-y1=2 x1（x-x1）与直线 y=-c相交于点 Q，
将 y=-c 代入 y-y1=2 x1（x-x1），可得-c-x
2
1 =2 x1（x-x1）即 x1x2-x
2
1 =2 x1（x-x1）
x x
所以点 Q的横坐标为 1 2 ，即点 P为线段 AB 的中点。（2）的逆命题成立。
2
该题的命题思路就是借助于性质 3 而编制的一道中等难度的题。其中主要运用了切
线的斜率，切线的方程的写法，以及抛物线中的定值的使用。下题也是用类似的方法命
制的题。
例 2：（2006 全国高考卷Ⅱ21 题）抛物线 x2=4y 的焦点 F，A、B 是抛物线上两动点，
且 AF FB，过 A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为 M。
（1） 证明： FM AB为定值；
（2） 设△ABM 的面积为 S，写出 S=f（λ）的表达式，并求出 S的最小值。
解：（1）设 A（x1，y1），B（x2，y2），F（0，1）
点 A在抛物线上：4y =x 21 1 （1）点 B在抛物线上：4y2=x
2
2 （2）
y 1 y 1
直线 AB 经过点 F： 1 2 （3）
x1 x2
得到过点 A 的切线方程：2（y-y1）=x1（x-x1） （4）
过点 B 的切线方程：2（y-y2）=x2（x-x2） （5）
由（1）（2）（3）得 x1x2=-4，y1y2=1。
x x
由（4）、（5）得 M 坐标为（ 1 2 ，-1）。
2
2 2
x x x x
所以 1 2FM AB =（ ，-2）·（x2- x1，y2- y ）= 2 11 2(y2 y1) 0。
2 2
7
（2） AF FB，即（0-x1，1-y1）=λ（x2，y2-1）
所以-x1=λx2，再由 x1x2=-4，得λx2x2=4，
4
即 x2= ，则 x
1
1= 4 ，y1=λ，y2= 。由 FM AB =0，

2
所以 S= f（λ）= 1 1 x xAB FM 2x1 x2
2
y1 y2
1 2 4
2 2 2
3

= 1 1 4。当λ=1 时，△ABM 的面积 S取得最小值。
2
相关考题
1、已知抛物线 C 的方程为 x2 4y，焦点为 F，准线为 l，直线 m 交抛物线于两点 A，B；
（1）过点 A 的抛物线 C 的切线与 y 轴交于点 D，求证： AF DF ；
（2）若直线 m 过焦点 F，分别过点 A，B 的两条切线相交于点 M，求证：AM⊥BM，且点 M 在直
线 l 上．
2、对每个正整数 n，An xn , yn 是抛物线 x
2 4y 上的点，过焦点 F 的直线 FAn 交抛物线于另一点
Bn sn ,tn ， （1）试证： xn sn 4 （n≥1）
（2）取 xn 2
n ，并 Cn 为抛物线上分别以 An与 Bn 为切点的两条切线的交点，求证：
FC FC FC 2n 2 n 11 2 n 1（n≥1）
8

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