资源简介

椭圆
x2 y2 PF1
1. PF1 PF2 2a 2.标准方程 1 3. e 1
a2 b2 d1
4．点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角.
5．PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直
径的圆，除去长轴的两个端点.
6．以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离.
7．以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
8．设 A1、A2为椭圆的左、右顶点，则△PF1F2 在边 PF2（或 PF1）上的旁切圆，必与 A1A2
所在的直线切于 A2（或 A1）.
x2 y2
9．椭圆 1（a＞b＞0）的两个顶点为 A1( a,0) , A2 (a,0) ，与 y 轴平行的直线交椭
a2 b2
x2 y2
圆于 P1、P2时 A1P1 与 A2P2交点的轨迹方程是 1.
a2 b2
x2 y2 x x y y
10．若P0(x0 , y0) 在椭圆 1上，则过P0 的椭圆的切线方程是
0 0 1.
a2 b2 a2 b2
x2 y2
11．若P0(x0 , y0) 在椭圆 1外 ，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2 2，则切a b2
x x y
点弦 P P 的直线方程是 0 0
y
1 2 1.
a2 b2
x2 y2 b2
12．AB 是椭圆 1的不平行于对称轴的弦，M 为 AB 的中点，则 k k
2 2 OM AB
.
a b a2
x2 y2
13 ． 若 P0( x0 , y0)在 椭 圆 1 内 ， 则 被 Po 所 平 分 的 中 点 弦 的 方 程 是
a2 b2
x0x y0 y x
2 y 2
0 0 .
a2 b2 a2 b2
x2 y2
14 ． 若 P0( x0 , y0)在 椭 圆 1 内 ， 则 过 Po 的 弦 中 点 的 轨 迹 方 程 是
a2 b2
x2 y2 x x y
0 0
y
.
a2 b2 a2 b2
x2 y2
15 ． 若 PQ 是 椭 圆 1 （ a ＞ b ＞ 0 ） 上 对 中 心 张 直 角 的 弦 ， 则
a2 b2
1 1 1 1
(r
2 2 2 2 1
| OP |,r2 | OQ |) .
r1 r2 a b
x2 y2
16 ．若椭圆 1 （ a ＞ b ＞ 0 ）上中心张直角的弦 L 所在直线方程为
a2 b2
2 a4 2 4 21 1 A b B
Ax By 1 (AB 0) ,则(1) A2 B2 ;(2) L .
a2 b2 a2 A2 b2B2
2
2 2 2 a
2 b2
17．给定椭圆C1 ：b x a y
2 a2b2 C b2x2 a2 y2（a＞b＞0）, 2 ： ab ,则
a2 2

b
(i) 对 C1 上 任 意 给 定 的 点 P(x0 , y0 ) , 它 的 任 一 直 角 弦 必 须 经 过 C2 上 一 定 点
1
a2 b2 a2 b2
M x0 , y0 .
a2 b2 a2 2 b
' ' '
(ii)对C2 上任一点P (x , y )在C1 上存在唯一的点M
'
,使得M '的任一直角弦都经过P '点. 0 0
x2 y2
18．设P(x0 , y0 )为椭圆（或圆）C: 1 (a＞0,. b＞0)上一点，P1P2 2 2为曲线 C 的动弦,a b
且弦 PP1, PP2 斜率存在，记为 k1, k 2, 则直线 P1P2通过定点M (mx0 , my0) (m 1) 的充要条
1 m b2
件是 k1 k2 .
1 m a2
x2 y2
19．过椭圆 1 (a＞0, b＞0)上任一点 A(x0 , y0 )任意作两条倾斜角互补的直线交椭
a2 b2
b2x
圆于 B,C 两点，则直线 BC 有定向且 k 0BC （常数）.
a2 y0
x2 y2
20．椭圆 1 (a＞b＞0)的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点
a2 b2

F1PF2
2
， 则 椭 圆 的 焦 点 三 角 形 的 面 积 为 S F PF b tan ，1 2 2
a 2
P( c2 b2
b
tan2 , tan ) .
c 2 c 2
x2 y2
21．若P为椭圆 1（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, PF1F2 ,
a2 b2
a c
PF2F1 ，则 tan tan .
a c 2 2
x2 y2
22．椭圆 1（a＞b＞0）的焦半径公式：| MF1 | a ex0 , | MF2 | a ex0 ( F1( c,0) ,
a2 b2
F2 (c,0)，M (x0 , y0) ).
x2 y2
23．若椭圆 1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为 L，则当
a2 b2
2 1 e 1时，可在椭圆上求一点 P，使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项.
x2 y2
24．P 为椭圆 1（a＞b＞0）上任一点,F1,F2 为二焦点，A 为椭圆内一定点，则
a2 b2
2a | AF2 | | PA | | PF1 | 2a | AF2 | ,当且仅当 A, F2 , P三点共线时，等号成立.
x2 y2
25．椭圆 1（a＞b＞0）上存在两点关于直线 l ： y k(x x ) 对称的充要条件是
a2
0
b2
2 (a
2 b2 )2
x0 .
a2 b2k 2
26．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点
的连线必与切线垂直.
27．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径
互相垂直.
x acos
28．P 是椭圆 （a＞b＞0）上一点，则点 P 对椭圆两焦点张直角的充要条件是
y bsin
2
e2
1
.
1 sin2
x2 y2 x2 y2
29．设 A,B 为椭圆 k(k 0,k 1)上两点，其直线 AB 与椭圆 1相交于
a2 b2 a2 b2
P,Q ,则 AP BQ .
x2 y2
30 ． 在 椭 圆 1 中 ， 定 长 为 2m （ o ＜ m≤a ） 的 弦 中 点 轨 迹 方 程 为
a2 b2
x2 y22 m 1 ( ) a2 cos2 b2 sin2
bx
,其中 tan ,当 y 0时, 90 .
a
2 b2 ay
x2 y2
31．设 S 为椭圆 1（a＞b＞0）的通径，定长线段 L 的两端点 A,B 在椭圆上移动，
a2 b2
a2 l 2 2 2 c
记|AB|= l ，M (x0 , y0)是 AB 中点，则当 l S 时，有 (x0 )max (c a b ,e );
c 2e a
a
当 l S 时，有 (x ) 4b2 l2 , (x0)min 0 . 0 max
2b
x2 y2
32．椭圆 1与直线 Ax By C 0 2 2 2 2 2有公共点的充要条件是 A a B b C .
a2 b2
(x x )2 (y y )2
33 ．椭圆 0 0 1 与直线 Ax By C 0 有公共点的充要条件是
a2 b2
A2a 2 B b2 2 (Ax0 By0 C)
2
.
x2 y2
34．设椭圆 1（a＞b＞0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意
a2 b2
一 点 ， 在 △PF1F2 中 ， 记 F1PF2 , PF1F2 , F1F2P ， 则 有
sin c
e .
sin sin a
2 2 2 2 2 2
35．经过椭圆b x a y a b （a＞b＞0）的长轴的两端点 A1 和 A2 的切线，与椭圆上
任一点的切线相交于 P1和 P2，则 | P1A1 | | P2 A2 | b
2
.
x2 y2
36．已知椭圆 1（a＞b＞0），O 为坐标原点，P、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ .
a2 b2
1 1 1 1 4a2b2
（ 2 21） ;（2）|OP| +|OQ| 的最小值为 ;（3） S 的最小
| OP |2 | OQ |2 a2 2
OPQ
b a2 b2
a2b2
值是 .
a2 b2
2 2 2 2 2
37．MN 是经过椭圆b x a y a b2（a＞b＞0）焦点的任一弦，若 AB 是经过椭圆中心
| AB |2O 且平行于 MN 的弦，则 2a | MN | .
b2x2 a2 y2 a2 238．MN 是经过椭圆 b （a＞b＞0）焦点的任一弦，若过椭圆中心 O 的半
2 1 1 1
弦OP MN ，则 .
a | MN | | OP |2 a2 b2
x2 y2
39．设椭圆 1（a＞b＞0）,M(m,o) 或(o, m)为其对称轴上除中心，顶点外的任一
a2 b2
点，过 M 引一条直线与椭圆相交于 P、Q 两点，则直线 A1P、A2Q(A1 ,A2为对称轴上的两顶
3
a2 b2
点)的交点 N 在直线 l ： x (或 y )上.
m m
40．设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和
AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点，则 MF⊥NF.
41．过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2 为椭圆长轴上的顶点，A1P 和
A2Q 交于点 M，A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MF⊥NF.
x2 y2
42．设椭圆方程 1,则斜率为 k(k≠0)的平行弦的中点必在直线 l ： y kx 的共轭直
a2 b2
' ' b
2
线 y k x上,而且 kk .
a2
x2 y2
43．设 A、B、C、D 为椭圆 1上四点,AB、CD 所在直线的倾斜角分别为 , ，
a2 b2
PA PB b2 cos2 a2 sin2
直线 AB 与 CD 相交于 P,且 P 不在椭圆上,则 .
PC PD b2 cos2 a2 sin2
x2 y2
44．已知椭圆 1（a＞b＞0）,点 P 为其上一点 F1, F 2 为椭圆的焦点， F1PF2 的外
a2 b2
（内）角平分线为 l ，作 F1、F2 分别垂直 l 于 R、S，当 P 跑遍整个椭圆时，R、S 形成的轨
2
2 a y
2 b2x x c
x2 y2 a2 c2 y2迹方程是 ( ).
a2 y2 b2
2
x c
45．设△ABC 内接于椭圆 ，且 AB 为 的直径， l 为 AB 的共轭直径所在的直线， l 分别
交直线 AC、BC 于 E 和 F，又 D 为 l 上一点，则 CD 与椭圆 相切的充要条件是 D 为 EF 的
中点.
x2 y2
46．过椭圆 1（a＞b＞0）的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点，弦 MN
a2 b2
| PF | e
的垂直平分线交 x 轴于 P，则 .
| MN | 2
x2 y2 b2x
47．设 A（x1 ,y1）是椭圆 1（a＞b＞0）上任一点，过 A 作一条斜率为
1 的
a2 b2 a2 y1
直线 L，又设 d 是原点到直线 L 的距离, r1, r2分别是 A 到椭圆两焦点的距离，则 r1r2 d ab .
x2 y2 x2 y2
48．已知椭圆 1（ a＞b＞0）和 （0 1 ），一直线顺次与它们
a2 b2 a2 b2
相交于 A、B、C、D 四点，则│AB│=|CD│.
x2 y2
49．已知椭圆 1（ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段 AB 的垂直平分线
a2 b2
a2 b2 a2 b2
与 x 轴相交于点P(x0 ,0) , 则 x0 .
a a
x2 y2
50．设 P 点是椭圆 1（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2 为其焦点记
a2 b2
2b2
F1PF2 ，则(1) | PF1 || PF
2
2 | .(2) S PF F b tan .
1 cos 1 2 2
51．设过椭圆的长轴上一点 B（m,o）作直线与椭圆相交于 P、Q 两点，A 为椭圆长轴的左
顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于过 H 点的直线 MN： x n 于 M，N 两点 ,则
4
a2
2
a m n m
MBN 90 .
a m b2 (n a)2
x2 y2
52．L 是经过椭圆 1（ a＞b＞0）长轴顶点 A 且与长轴垂直的直线，E、F 是椭圆
a2 b2
两个焦点，e 是离心率,点P L ，若 EPF ，则 是锐角且sin e或 arcsine
（当且仅当 | PH | b时取等号）.
x2 y2
53．L 是椭圆 1（ a＞b＞0）的准线，A、B 是椭圆的长轴两顶点,点P L ，e 是
a2 b2
离心率， EPF ，H 是 L 与 X 轴的交点 c 是半焦距，则 是锐角且 sin e 或
ab
arcsine（当且仅当 | PH | 时取等号）.
c
x2 y2
54．L 是椭圆 1（ a＞b＞0）的准线，E、F 是两个焦点，H 是 L 与 x 轴的交点，
a2 b2
点 P L ， EPF 2 2,离心率为 e，半焦距为 c，则 为锐角且sin e 或 arcsine
b
| PH | a2 c2（当且仅当 时取等号）.
c
x2 y2
55．已知椭圆 1（ a＞b＞0），直线 L 通过其右焦点 F2,且与椭圆相交于 A、B 两
a2 b2
(2a2 b2 )2
点，将 A、B 与椭圆左焦点 F1 连结起来，则b
2 | F1A | | F1B | （当且仅当 AB⊥x
a2
轴时右边不等式取等号，当且仅当 A、F1、B 三点共线时左边不等式取等号）.
x2 y2
56．设 A、B 是椭圆 1（ a＞b＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点， PAB ,
a2 b2
2ab2 | cos |
PBA , BPA ，c、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1) | PA | .(2)
a2 c2cos2
2a2b2
tan tan 1 e2 .(3) S PAB cot .
b2 a2
x2 y2
57．设 A、B 是椭圆 1（ a＞b＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点）、外部的
a2 b2
x 2两点，且 A、 xB 的横坐标 xA xB a ，（1）若过 A 点引直线与这椭圆相交于 P、Q 两点，
则 PBA QBA ；（ 2 ） 若 过 B 引 直 线 与 这 椭 圆 相 交 于 P 、 Q 两 点 ， 则
PAB QAB 180 .
x2 y2
58．设 A、B 是椭圆 1（ a＞b＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点），外部的
a2 b2
两点，（1）若过 A 点引直线与这椭圆相交于 P、Q 两点，（若 B P 交椭圆于两点，则 P、Q
不关于 x 轴对称），且 PBA QBA 2，则点 A、B 的横坐标 xA、xB 满足 xA xB a ；（2）
若过 B 点引直线与这椭圆相交于 P、Q 两点，且 PAB QAB 180 ,则点 A、B 的横坐
标满足 xA xB a
2
.
x2 y2
59．设 A, A' 是椭圆 1 ' '的长轴的两个端点，QQ 是与 AA 垂直的弦，则直线 AQ与
a2 b2
2 2
A'
x y
Q ' 的交点 P 的轨迹是双曲线 1.
a2 b2
5
x2 y2
60．过椭圆 1（ a＞b＞0）的左焦点 F 作互相垂直的两条弦 AB、CD 则
a2 b2
8ab2 2(a2 b2 )
| AB | | CD | .
a2 b2 a
x2 y2 a c
61．到椭圆 1（ a＞b＞0）两焦点的距离之比等于 （c 为半焦距）的动点 M
a2 b2 b
(x a)2 y2 2的轨迹是姊妹圆 b .
x2 y2 a c
62．到椭圆 1（ a＞b＞0）的长轴两端点的距离之比等于 （c 为半焦距）的
a2 b2 b
a b
动点 M 的轨迹是姊妹圆 (x )2 y2 ( )2 .
e e
x2 y2 a c
63．到椭圆 1（ a＞b＞0）的两准线和 x 轴的交点的距离之比为 （c 为半焦
a2 b2 b
a 2 2 b 2
距）的动点的轨迹是姊妹圆 (x ) y ( ) （e 为离心率）.
e2 e2
x2 y2 '
64．已知 P 是椭圆 1（ a＞b＞0）上一个动点， A , A是它长轴的两个端点,且
a2 b2
x2 b2 y2
AQ AP , A'Q A'P ，则 Q 点的轨迹方程是 1 .
a2 a4
65．椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长
的比例中项.
x2 y2
1 A, A'66．设椭圆 （ a＞b＞0）长轴的端点为 , P(x1, y1)是椭圆上的点过 P 作斜
a2 b2
b2x
率为 1 的直线 l A, A' '，过 分别作垂直于长轴的直线交 l 于 M ,M ,则（ 1）
a2 y1
| AM || A'M ' | b2 ' '.（2）四边形MAAM 面积的最小值是2ab .
x2 y2
67．已知椭圆 1（ a＞b＞0）的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ，过椭圆右焦点F 的
a2 b2
直线与椭圆相交于 A、B 两点,点C 在右准线 l 上，且BC / /x 轴，则直线 AC 经过线段 EF 的
中点.
(x a)2 y2
68．OA、OB 是椭圆 1（ a＞0,b＞0）的两条互相垂直的弦，O 为坐标原点，
a2 b2
2ab2
则（1）直线 AB 必经过一个定点 ( ,0) .(2) 以 O A、O B 为直径的两圆的另一个交点
a2 b2
ab2 22 2 ab 2
Q 的轨迹方程是 (x ) y ( ) (x 0) .
a2 b2 a2 b2
(x a)2 y2
69．P(m,n) 是椭圆 1（a＞b＞0）上一个定点，P A、P B 是互相垂直的弦，
a2 b2
2ab2 m(a2 b2 ) n(b2 a2 )
则（1）直线 AB 必经过一个定点 ( , ) .（2）以 P A、P B 为直
a2 b2 a2 b2
径的两圆的另一个交点 Q 的轨迹方程是
6
ab2 a2m b2n a2[b4 n2 (a2 b2 )]
(x )2 (y )2 ( x m且 y n ).
a2 b2 a2 b2 (a2 b2 )2
2
70．如果一个椭圆短半轴长为 b，焦点 F1、F2到直线 L 的距离分别为 d1、d2，那么（1）d1d2 b ，
2
且 F1、F 2 在 L 同侧 直线 L 和椭圆相切.（2）d1d2 b ，且 F1、F2 在 L 同侧 直线 L 和
2
椭圆相离，（3）d d b ，或 F1、F2 在 L 异侧 直线 L 和椭圆相交. 1 2
x2 y2
71．AB 是椭圆 1（a＞b＞0）的长轴，N 是椭圆上的动点，过 N 的切线与过 A、
a2 b2
B 的切线交于 C 、 D 两点，则梯形 ABDC 的对角线的交点 M 的轨迹方程是
x2 4y2
1(y 0) .
a2 b2
x2 y2 x2 y2
72．设点P(x0 , y0 )为椭圆 1（ a＞b＞0）的内部一定点，AB 是椭圆 1
a2 b2 a2 b2
过定点 P(x0 , y0 ) 的任一弦，当弦 AB 平行（或重合）于椭圆长轴所在直线时
a2b2 (a2 y 20 b
2x 2 )
(| PA | | PB |)max
0 . 当 弦 AB 垂 直 于 长 轴 所 在 直 线 时 ,
b2
a2b2 (a2 y 20 b
2x 2 )
(| PA | | PB |) 0min .
a2
73．椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切.
74．椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点.
75．椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值 a+c 与 a-c.
76．椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值 a-c.
77．椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率).
(注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)
78．椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e.
79．椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
80．椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同
侧焦点的距离成比例.
81．椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同
侧焦点连线段成比例.
82．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必
与另一焦半径所在直线平行.
83．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的距离
为椭圆长半轴的长.
84．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径
为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点.
85．椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为
定值 e.
86．椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线.
87．椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线.
88．椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径
的圆必过两焦点.
x2 y2
89. 已知椭圆 1(a 0,b 0) (包括圆在内 )上有一点 P ,过点 P 分别作直线
a2 b2
b b
y x 及 y x 的平行线，与 x 轴于M , N ，与 y 轴交于 R,Q ., O 为原点，则：（1）
a a
| OM |2 | ON |2 2a2 | OQ |2 | OR |2 2b2；（2） .
7
b b
90. 过平面上的P 点作直线 l : y x及 l : y x 的平行线，分别交 x 轴于M , N ，交1 2
a a
x2 y2
y 轴于R,Q（. 1）若 | OM | 2 | ON | 22a 2 ，则P 的轨迹方程是 1(a 0,b 0) .(2)
a2 b2
2 2
| OQ |2 | OR |2
x y
若 2b2 ，则P 的轨迹方程是 1(a 0,b 0) .
a2 b2
x2 y2
91. 点P 为椭圆 1(a 0,b 0) (包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点，过P 引
a2 b2
b
x 轴、 y 轴的平行线，交 y 轴、 x 轴于M , N ，交直线 y x 于Q, R ，记 OMQ 与
a
ab
ONR的面积为 S1, S2，则： S1 S2 .
2
92. 点P 为第一象限内一点，过 P 引 x 轴、 y 轴的平行线，交 y 轴、x 轴于M , N ，交直线
b ab
y x 于Q, R ，记 OMQ 与 ONR的面积为 S1, S2 ，已知 S1 S2 ，则 P 的轨
a 2
x2 y2
迹方程是 1(a 0,b 0) .
a2 b2
8
椭圆性质 92 条证明
1.椭圆第一定义．2.由定义即可得椭圆标准方程．3.椭圆第二定义．
4. 如图，设P(x0 , y0 )，切线 PT（即 l ）的斜率为 k，PF1所在直线 l1斜率为 k1 ， PF2所在
直线 l2 斜率为 k2 ．
4 图 5 图
k k
由两直线夹角公式 tan 1 2 得：
1 k1k2
b2x0 y 0
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
k k a y0 x0 c b x0 a y0 b x0c a b b
2cx b a cx b20
tan 1 0
1 kk b
2x y
1 a
2x y a2cy b2x y c2x y a2cy cy a2 cx c y
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
a2 y0 x0 c
b2x0 y 0
a2 y x c b2x2 a2 y2 b2 2 2 2 b
2 2
k k x a cx 2
tan 2 0 0 0 0 0
c a b b cx
0
0 b

2
1 kk b x y a2x y 2 2 2 2 22 1 0 0 0 0
a cy0 b x0 y0 c x0 y0 a cy0 cy c y0 a cx0 0
a2 y0 x0 c

, 0, 同理可证其它情况．故切线 PT 平分点 P 处的外角．
2
5.如图，延长 F1P 至 A，使 PA=PF2，则 PAF2 是等腰三角形，AF2 中点即为射影 H2．则
F
OH 1
A
2 a，同理可得OH1 a，所以射影 H1，H2的轨迹是以长轴为直径的圆除去两
2
端点．
6.设 P，Q 两点到与焦点对应的准线的距离分别为d1,d2，以 PQ 中点到准线的距离为 d ，以
d1 d2 PF FQ rPQ 为直径的圆的半径为 r，则d r ，故以 PQ 为直径的圆与对
2 2e e
应准线相离．
9
7 图 8 图
PF1 2a PF2 PF2
7.如图，两圆圆心距为d OM a a r ，故两圆内切．
2 2 2
8.如图，由切线长定理： F1S F1T PF1 PF2 F1F2 2a 2c， F1S F1T a c
而 F1T a c F1A2 ，T 与 A2 重合，故旁切圆与 x 轴切于右顶点，同理可证 P 在其他位
置情况．
x 2 y 2
9.易知A1 a,0 A2 a,0 ,设P1 x0 , y0 , P2 x0 , y0 ,则
0 0 1
a2 b2
y y
A1P1 : y
0 x a , A2P : y
0
2 x a
a x0 a x0
2 2 ay 2 2 2 a2 y 2 a2 2 2a a x y a b a y
2
x2 y2
则x P , 0 P PP
0 0 1 P点的轨迹方程为 1
x x x 2 2 2 2 2 2 2 2 20 0 0 a b x0 b x0 b x0 a b
x2 y2 x
2 y2 x2 y2
10. P0(x0 , y0) 在 椭 圆 1 上
0 0 1 ， 对 1 求 导 得 ：
a2 b2 a2 b2 a2 b2
2
2x 2yy ' ' b x 0 y 0
a2 b2 a2 y0
b2x x x y y x2 y2
切线方程为 y y0
0 x x 即 0 0 0 00 1
a2 y a2 b2 a2 20 b
x x y y x x y y
11.设P x , y , P x , y ，由 10 得： 0 1 0 1 1, 0 2 0 21 1 1 2 2 2 1，因为点 P , P2 2 2 1 2 在a b a b2
x x y y x x y y
直线P1P2 上，且同时满足方程
0 0 1，所以P1P
0 0
2 2 2
: 1
a b a2 b2
x2 y2 2 2
12. 设A x , y , B x , y ,M x , y 则有 1 1
x y
1 1 2 2 0 0 1,
2 2 1 作 差 得 ：
a2 b2 a2 b2
x2 x2 y2 y21 2 1 2 0
a2 b2
10
x1 x2 x1 x2 y1 y2 y1 y2
0
a2 b2
2
y y b x 2 2 21 x2 b x b b
k 1 2AB
0 k k
x x a2 AB OMy y a2 y a2k 21 2 1 2 0 OM a
b2x
13.由 12 可得： y y0
0 x x a2 y y a2 y2 b2x x b2x20 0 0 0 0 0
a2 y0
2 2
b2x x a2
x x y y x y
0 y y b
2x2 a2 y2 0 0 0 0 0 0 0
a2 b2 a2 b2
y y 2
14. .由 12 可得： 0
y b
a2 y2 a2 y y b2x20 b
2x
2 0
x 0
x x0 x a
2 2
b2x2 a2 2
x y x x y y
y b2x 20x a y0 y
0 0
a2 b2 a2 b2
15. 设 P acos t,bsin t ,Q acos t ',bsin t ' ， 则
bs i' t n b a2 s t i n
kO k P O 1 t t
'
Q t a n t a n
ac t a to' s b2 c o s
2 2
1 1 r 2 r 2 a cos t cos2 t ' b2 sin2 t sin2 t '
1 2
r 2 r 2 r 2r 2 a2 cos2 2 21 2 1 2 t b sin t a2 cos2 t ' b2 sin2 t '
2 ' 2
2 1 1 2 tan t tan t a b 2 2 2 ' 2 2 2 ' 2 2 2 '
cos
2 t cos2 t ' 2 2 '

cos t cos t a 2 tan t tan t b tan t tan t 2b tan t tan t
a2 b2 tan2 t a2 b2 tan2 t ' a4 a2b2 tan2 t tan2 t ' b4 tan2 t tan2 t '
a2 b2 1 1
2
2 2 ' a
a2 b2 tan2 t tan2 t ' 2a2 tan t tan t 2a2 b2 2 b2 b 1 1
2 2 2
2a4 a2b2 tan2 t tan2 t ' a a b2 tan2 t tan2 t '
b2

2 2 2 2 2 2 2 2 2
16.将直线 AB 代入椭圆方程中得： A a B b x 2Aa x a 1 B b 0
2ab A2 B2
4a2B2b2 A2a2 B2b2 1 2 2 2 2， AB A a B b 1
A2a2 B2b2
2Aa2 a
2 1 B2b2
设 A x1, y1 , B x2 , y2 则 x1 x2 ， x2 2 2 2 1x2 ，A a B b A2a2 B2b2
11
b2 1 A2a2
y1y2 OA OB
A2a2 B2b2
x x y y 0 a2
1 1
1 2 1 2 b
2 a2b2 A2 B2 A2 B2
a2 b2
2 2 2 2 2 2
2ab A2 B2 2 a b A a B b 1
AB A2a2 B2b2 1
A2a2 B2b2 A2a2 B2b2
2 A2a4 B2b4 a2b2 A2 B2 a2 b2 2 A2a4 B2b4

A2a2 B2b2 A2a2 B2b2
17. 设椭圆内直角弦 AB 的方程为： y m k x n 即 y kx m kn．
当 斜 率 k 存 在 时 ， 代 入 椭 圆 C1 方 程 中 得 ：
a2k 2 b2 x2
2
2a2k m kn x a2 m kn b2 0

2 2
2a2k m kn a m kn b
2

设 A x1, y1 , B x2 , y2 得 x1 x2 ， x2 2 2 1x2 a k b a2k 2 b2
则 PA PB x0 x1 x0 x2 y0 y1 y0 y2
2
k 2 1 x1x2 k 2n ky 20 x0 mk x1 x2 x0 y0 m kn 0
2 2 2 a k 2 1 m kn b2 k 2n ky0 x0 mk 2a2k m kn a2k 2 b2 x
2 a2k 2 b20 y0 m kn 0
2 2 2 2 a k 1 m kn a2 k 2 1 b2 a2k 2 b2 x20 a2k 2 b2 y2 a20 k 2 b2 m kn
2
2y0 m kn a2k 2 b2 2a2k 2 m kn 2a2kx m kn 2a2k 20 y0 m kn 0
a2
2
m kn a2 k 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
1 b a k b x a k b y b m kn 2y m kn b2 2a20 0 0 kx0 m kn 0
a2k 2 b2
2
x2 2 2 2 2 2 2 20 y0 a b m kn a b k 1 2 m kn a kx 20 b y0 0
a2k 2 x2 y2 b2 x2 y2 a2 b2 m2 a2 b2 k 2n2 2kmn a2 b2 a2b2k 2 a2b20 0 0 0
2ma2kx0 2mb
2 y 2k 20 na
2x 20 2knb y0 0
a2x2 a2 b2 n2 b2x2 2na2 2 20 0 x0 0 b a


m y
2 2 0
ma2x 2 2 2
a b
0 nb y0 mn a b 2
a b
2
2 2
b y0 a2 b2 m2 a2 y20 2mb2 y 0 n x a2 2 0 0 b
a2 b2 b2 a2
即直线 AB 过定点 x0 , y0 ，此点在 C2上．当直线斜率不存在时，直线 AB
a
2 b2 a2 b2
12
也过 C2 上的定点．
由上可知 C1和 C2上点由此建立起一种一一对应的关系，即证．
18.必要性：设 P1P2： y my0 k x mx0 ．k 存在时，代入椭圆方程中得：
a2k 2 b2 x2 2a2
2
km y 2 20 kx0 x a m y0 kx0 a
2b2 0
2a2km y kx a2m2
2
y kx a2b2
设 P1 x1, y1 , P2 x2 , y
0 0 0 0
2 得 x1 x ，2 x2 2 2 1x2 a k b a2k 2 b2
y 2
2
0 y1 y0 y2 k x1x2 k my0 mkx0 y0 x1 x2 my0 mkx0 y0
k1 k2
x0 x1 x0 x2 x1x2 x0 x1 x2 x
2
0
b2 m 1 2kmx0 y0 k
2x20 m 1 y
2
0 m 1 b
2 m 1

2
a2 m 1 2kmx0 y0 k
2x2 20 m 1 y0 m 1 a m 1
b
y a2 m2 2k 不存在时，P1P2：x=mx0 则 x0 ，
a
b 2 b y a m2x2 y + a2 m2x2 2 b
2
2
0 0 0 0 y0 a m2x2 2 2 2 2a a 2 0 b x0 m 1 b m 1
k1 k2
a
x2
2
1 m x2
2 2 2
0 0 1 m a
2x20 1 m a m 1
必要性得证．
充分性：设 P1P2过定点 q, p ，则 P1P2： y kx p kq．代入椭圆方程得：
a2k 2 b2 x2 2a2k p kq x a2
2
p kq a2b2 0
2a2k p kq a2
2
p kq a2b2
设 P1 x1, y1 , P2 x2 , y2 得 x1 x2 ， x x
a2k 2 b2
1 2
a2k 2 b2
y y y y k 2
2
1 0 2 0 x1x2 k p kq y0 x1 x2 p kq y0
则 k1 k2 x1 x0 x2 x0 x1x2 x0 x1 x2 x
2
0
a2k 2
2 2
p kq a2b2k 2 2a2k 2 p kq p kq y0 p kq y a20 k 2 b2

2
a2 p kq a2b2 2a2kx0 p kq x
2
0 a2k 2 b2
b2
2
p kq 2y p kq y2 k 2x2 0 0 0 m 1 b2
a2
2 2 p kq 2kx p kq k 2x2 y2 m 1 a
0 0 0
13
2
p kq 2y0 p kq y2 20 k x20 m 1

2
p kq 2kx0 p kq k 2x2 y2 m 10 0
k 2 mx20 q2 mqx0 qx0 k mpx0 px0 mqy0 qy0 2pq mpy0 py0 p2 my20 0
mx2 q2 mqx qx 0 q x0 q mx0 0 1 0 0 0

mpx0 px0 mqy0 qy0 2pq 0 px0 m 1 qy0 1 m 2pq 2

mpy0 py0 p
2 my20 0 p y0 my0 p 0 3
注意到 m≠1，解（1）（3）得 p my0 ,q mx0，代入（2）式，成立．
验证 k 不存在的情况，也得到此结论．故 l 过定点 mx0 , my0 m 1 ，充分性得证．
19. 设 AB： y y0 k x x0 即 y kx y0 kx0
y kx y0 kx0
2 2
x2 y2 a k 2 b2 x2 2a2k y0 kx0 x a2 y kx b2 0
1
0 0

a
2 b2
2a2k kx0 y0
x0 xB
a2k 2 b2
a2k 2x 20 2a ky0 b
2x
x 0B
a2k 2 b2
a2k 2x 2a2ky b2x b2 y a2k 2 y 2b2kx
B 0 0 0 0 0 0 ,
a
2k 2 b2 a2k 2 b2
a2k 2x0 2a
2ky0 b
2x 2 2 20 b y0 a k y0 2b
2kx 4b2kx b2x
同理C 0 0 , kBC
0
a
2k 2 b2 a2k 2 b2 2 2 4a ky0 a y0
20.由余弦定理：
2 2 2 2
PF1 PF 2 PF PF
2
2 1 2 cos 2c PF1 PF2 4c 2 PF1 PF2 cos 1
2 2
4a2
2b b
4c2 2 PF1 PF2 cos 1 PF1 PF2
cos 1
cos2
2
2
2 2b sin cos1 b sin
S 2 2 2

F PF PF1 PF2 sin b tan c y1 2 P2 cos 1
2cos2
2
2
b2 a2b2 a a b2
yP tan , xP a
2 tan2 c2 b2 tan2 P c
2 b2 tan2 , tan
c 2 c2 2 c 2 c 2 c 2


14
a c 1 e sin sin sin sin sin sin
21.由 34：
a c 1 e sin sin sin sin sin sin
sin sin sin cos sin cos sin 1 cos sin 1 cos

sin sin sin cos sin cos sin 1 cos sin 1 cos

2sin cos 2sin2 2sin cos 2sin2 sin sin cos sin cos sin
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2sin cos 2cos2 2sin cos 2cos2 cos cos sin cos sin cos
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

sin sin
2 2

tan tan
2 2
cos cos
2 2
a2 a2
22.由第二定义得： MF1 e x0 a ex0 , MF2 e x0 a ex0
c c
PF1 PF2 1 e23. e PF2 e PF1 a ex0 e a ex0 x0 a
d PF1 e
2 e
1 e
x 20 0,a 1 e 2e 1 0 e 2 1或e 1 2 e 0,1 e 2 1,1
e2

e
24.在 APF2中,有PF2 AF2 PA PF2 AF2
PF1 PA PF1 PF2 AF2 2a AF2 , PF1 PA PF1 PF2 AF2 2a AF2
都当且仅当A、P、F2三点共线时取等号。
25.设椭圆上的点 A x1, y1 , B x2 , y
'
2 关于 l : y kx m对称，M x0 , y '0 ．
2 ' 2 2 'b x 1 a y
' a kx m a2m b20 0 m由 12 得： kAB k 0 x ' '2 0 , y0 a y ' k b2x ' 2 '0 0 b x0 c2k c2
2 2 2
a2m2 b2m2 a b k m2 4 2
M 1 m2
c k
又 在椭圆内， 若m kx ，
c4k 2 c4 c4k 2
0
a2 b2k 2
2
2 2
c4 a b
x2则 0
a2 b2k 2 a2 b2k 2
26.由 5 即可得证．
2
cos sin a b acos
27.设 P acos ,bsin ，则切线 l : x y 1，A , 1
a b c sin c
15
27 图 30 图
b2 b acos ab
2 cos ab2 cos
FP FA a cos c,bsin , 1 b
2 b2 0
c sin c c c
FP FA
28.
设P acos ,bsin ,由射影定理有:b2 sin2 c acos c acos c2 a2 cos2
c2 a2 cos2 a2 c2 sin2 e2 cos2 1 e2 sin2
1
1 sin2 e2 sin2 cos2 1 e2
1 sin2
x2 y2 x2 y2
29.设C1 : 1,C2 : k k 1 , AB l : Ax By C 0．联立C1, l 得：
a2 b2 a2 b2
2
A2a2
2Aa C
B2b2 x2 2Aa2Cx a2C2 a2b2B2 0，由韦达定理：xA xB
A2a2 B2b2
2Aa2C
同理 xP xQ ．则
A2a2 B2b2
A2 A2 A2
AP BQ= 1 xA xP 1 xB xQ 1 2 2 2 xA xP xB xQ B B B
而 xA xP , xB xQ 的符号一定相反，故 xA xP xB xQ = xA xB xP xQ =0．
所以 AP=BQ
30.设 A acos ,bsin , B acos ,bsin ，M x0 , y0 为 AB 中点．
则
2 2 2 2 AB a cos cos b2 sin sin 4a2 sin2 sin2 4b2 cos2 sin2
2 2 2 2
4m2
2 a sin2 sin2 b2 cos2 sin2 m2
2 2 2 2
而
16
acos acos bsin bsin
x0 acos cos , y0 bsin cos
2 2 2 2 2 2
2 2
设 A sin , B sin ， 则
2 2
x2 a 1 A 1 B , y2 b 1 A B,m a AB b A 21 B 2 2 2 20 0
y20
x2 y2 b2解 得 A 1 0 0 , B ， 代 入
2
m 得 ：
2 2
a b x
2 y20 0
a2 b2
a2 y 2 2 20 b x0

2 x
2 y2 2 2
m 1 0 0 b a 2 2 2 2
a
2 b2 x0 y 0
x0 y 0
a2 2 2 2

b a b
bx
令 tan 0 得 ：
ay0
x22 0 y
2 2 2 2
0 a b tan x y
2 2
m 1 1
0 0
a2 cos2 b2 sin2 2 2
a b tan
2 1 tan2 1 a2 b2
2 2
m2
x y
1 ( ) a2 cos2 b2 sin2所以定长为 2m（0＜m≤a）的弦中点轨迹方程为 ．
a2 b
2

bx
其中 tan ,当 y 0时, 90 ．
ay
31. 设 A acos ,bsin , B acos ,bsin ，M x0 , y0 为 AB 中点．则：
acos acos x
x0 acos cos cos
0
2 2 2 2
acos
2
2 2 2 2 2 AB a cos cos b sin sin 4a2 sin2 sin2 4b2 cos2 sin2
2 2 2 2
17
2 2 2 2 2 2 4sin a sin b cos 4 1 cos
2 2 2
a c cos l
2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 l
2
a a cos c cos c cos cos
2

2 2 2 2 4

x2 l2
e2x2 0 2 2 2 20 c cos a a
2 2cos 4
2
l 2
二次函数 2 2 2y=e x -mx+a 与 y 在 0,a 内的交点即为 x0 的值．由图易知 2 2 2y=e x -mx+a 与
4
l 2
y 的左交点为 x0的值．当 m 增大时，x0减小．要使 x0最大，则要使 m 最小．
4
x20 2 2 x c cos 2cx0 ，此时等号成立时cos
2 0max 1 x
0max
c
cos2
2 2 c
2
31 图
35 图
2
2 2 l l
2 l
y e x mx a2 e2x20max 2cx
2
0max a ex0max a
4 4 2
当此式成立时
a l a2 l
x0max
e 2e c 2e
18
a l a2 l 2b2
x 2
2
当 0max c 时： l 4 ce a l 2 a ce = 通径
e 2e c 2e a
2b2 2b2 a2 l
当 x0max c时： l = 当 l = 时 x0max c， x0max ．
a a c 2e
x c cos2

当 0max 时，当 1，即 AB 垂直于 x 轴时 x0 最大．
2
2
b2
l
2 2
e2x2 2 2 2
l 2 4 a 2 2 a 2
0max x0max a c x0max 4b l x0max 4b l2
4 1 e2 4b2 2b
考虑到对称性 x0min 0对任意情况均成立．
a2 l 2b2 x
x0max c, l = , AB过焦点，cos
2 0
c 2e a 2 c
x0min 0， x0max
a 2 2 2b
2
2 4b l x 0max
c, l = ，AB x轴，cos 1
2b a 2
b2x2 a2 y2 a2b2
A2a2 B2b2 x232. 2a2 ACx a2 C2 B2b2 0
Ax By C 0
4a4 A2C2 4a2 C2 B2b2 A2a2 B2b2 0 A2a2 B2b2 C2
2 2 2 b x x a2 y y 2 2
33. 0 0
a b

Ax By C 0
A2a2 B2b2 x2 2 a2AC B2b2x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 20 a ABy0 x a C a B y0 B b x0 a B b 2a BCy0 0
2
0 A2a2 B2b2 A2x2 B20 y
2
0 C
2 2ABx0 y0 2ACx0 2BCy0 Ax0 By0 C
x y 0 2 2 2 2 2当 0 0 时，即为 32： A a B b C
F F PF
34.由正弦定理得 1 2 2
PF1 sin F F 2c c ，所以 1 2 e ．
sin sin sin sin sin PF1 PF2 2a a
cos sin
35. 设P acos ,bsin ，则 P 点处的切线为 x y 1，
a b
由 此 可 得 ：
b b b
2 1 cos2
yP 1 cos , y 1 cos PA P A b
2
1 P 1 1 2 2sin 2 sin sin2
19
36.（1）同 15.
1 1 | O|P | 2 OQ| | 2 O|P | O2Q| a 2 b 2 2
（2）由 15,36（3）：
| OP | 2 | OQ | 2 | OP || OQ2| 2 4S 2 ab 2 2 QPO
a2 b2 4S 2 4 a2 2 22 2 2 2
2 2 OPQ
b a b 4a b
| OP | | OQ |
2 2 2 2 2 2 a b a b a b a
2 b2
（ 3 ） 设 P c a o s b , Q s ， i a n b , c o s , s i n
a2
OP OQ a2 cos cos b2 sin sin 0 tan tan
b2
acos bsin
2S OPQ OP OQ ab sin cos sin cos
acos bsin
4S 2 OPQ
sin2 cos2 +sin2 cos2 2sin cos sin cos
a2b2
a4
4 a2
2 tan
2 b 2
tan tan2 2 tan tan 2 2
= tan b
tan2 4 1 tan2 1 a
a4 4
tan2 b 1
b4 tan2
a4 a2
2 2 2 1
2 2
a b 4 2 a4 2a2b2
2 2
b4 a b a2b2 2 2
b b
a b
1 1 S 2 OPQ 2 4 2 2 2 2 2 2 S OPQ 4S a OPQ 4a b 4a b a b a
2 b2
4 a2
tan2 b 2
tan2 b2
a2b2
Smin
a2 b2
x t cos p b2
37.设 MFx , AB : ，椭圆 p
y t sin 1 ecos a
37 图
20
38 图
p p 2p 2ab2 2ab2
则MN
1 ecos 1 ecos 1 e2 cos2 a2 c2 cos2 a2 sin2 b2 cos2
a2b22
将 AB 的方程代入椭圆的标准方程中得：t ，由参数 t 的几何意义可
a2 sin2 b2 cos2
知：
4a2b22
AB 4t2 2a MN
a2 sin2 b2 cos2
2 a
38. 作 半 弦 OQ⊥OP ， 由 37 得 ： O Q M ，N 由 15 ：
2
1 1 1 2 1 1

| OP |2 | OQ |2 | OP |2 a MN a2 b2
39. 设 l : x ty m, P x1, y1 ,Q x2 , y2 ， 将 l 的 方 程 代 入 椭 圆 得 ：
a2 b2t2 y2 2b2mty b2 m2 a2 0
2b2
2 2 2
m t b m a
由 韦 达 定 理 得 ： y1 y2 , y1 y2 ， 直 线 A1P 的 方 程 为
a2 b2 t2 a 2 b2 t2
y
y 1
y
x a ，直线 A2Q 的方程为 y 2 x a ，联立 A1P 和 A2Q 得交点 N 的
x1 a x2 a
2ty1y2 a m y2 m a y1
横坐标 x a，代入化简：
a m y2 a m y1
21
2 2 2 2 22b tm2 2b2ta2 2b2m2t a a2 b2t2 y y a a b t y2 y2 1 1 2ab t a2x a a
2ab2mt m a2 b2t2 y2 y1 m a2 b2t2 y2 y1 2ab2t m
a2
所以交点一定在直线 x 上．同理可证 M 在 y 轴上的情况．
m
引理（张角定理）：A,C,B 三点按顺序排列在一条直线上．直线外一点 P 对 AC 的张角为 α，
对 CB 的张角为 β．
sin sin sin
则：
PC PB PA
40 图
41 图
40.如图，A 为左顶点时，设 PFH , MFH ，则 AFP , PFM
a2 b2 b2 p p b2
FH c , FM p ． 对 F-APM 由 张 角 定 理 ：
c c ae e ecos a
sin sin sin

FP FM FA
sin esin cos esin cos sin esin sin sin
0 即 FM 平分 PFH ，同理 FN 平分 QFH ． MFN 90 即
MF⊥NF
当 A 为右顶点时，由 39 可知左顶点 A’与 P、M；Q、N 分别共线，于是回到上一种情况．
22
41.如图，设 PFA2 , MFA2 ，则 A1FP , PFM A2FQ
对 F-QA2M 和 F-A1PM 由 张 角 定 理 ：
sin sin sin sin sin sin
,
FP FM FA1 FA2 FM FQ
sin sin sin sin
两式相减并化简得： sin sin
FP FQ FA1 FA2
0 即 FM 平分 PFA2，同理 FN 平分 QFA ．2 MFN 90 即
MF⊥NF
42.由 12 即可证得．
x x0 t cos x x0 t cos
43.设P x0 , y0 ，AB： ，CD： ，将 AB 的方程代入椭圆
y y0 t sin y y0 t sin
得：
b2 cos2 a2 sin2 t2 2 b2x0 cos a2 y sin t b2x2 a2 y2 2 20 0 0 a b 0
b2x20 a
2 y2 a2b20
由 参 数 t 的 几 何 意 义 可 知 ： PA PB t1t2 ， 同 理
b2 cos2 a2 sin2
b2x20 a
2 y20 a
2b2
PC PD
b2 cos2 a2 sin2
PA PB b2 cos2 a2 sin2

PC PD b2 cos2 a2 sin2
44. 对于外角平分线的情况由 5 即可证得，下仅证 l 为内角平分线的情况．
cos sin
设 P acos ,bsin ，则 l0 : x y 1 bcos asin ab 0
a b
则 l : asin x bcos y c2 sin cos 0， l1 :bcos x asin y bccos 0
l2 :bcos x asin y bccos 0．分别联立 l 、 l1和 l 、 l2 得：
23
ccos acsin2 b2 cos bcsin cos
H 1 , ， a2 sin2 b2 cos2 a ccos

ccos acsin2 b2 cos bcsin cos
H 2 , a2 sin2 b2 cos2 a ccos

acsin2 acsin2
则 x c ， x c 对 点 ：H1 H H1a ccos 2 a ccos
b x c b x c
t a n t a n
a y a y
b x c ay
sin ,cos ，代回 xH c式得： 1
a2 y2 b2
2 2
x c a2 y2 b2 x c
2
b2 x c
2 2
x c a y
2 b2 x c cy b2c x c
1
ac acy 2 2 2 2 a2 2 2
2
a a y b x c y b x c
2 2a y2 b2 x c
2 2
b2c x c a2 y2 b2 x c a2 y2 2
2 2 2
cy b x x c a y b x x c
c2 y2
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
a y b x c a y b x c a
2 y2 b2 x c a2 y2 b2 x c
2
a2 y 2 b x
2 x c
H 2 2 同 理 对 2 点 得 c y ． 故 H1 点 、 H2 点 的 轨 迹 方 程 为2 2 2 2a y b x c
2
2 2 2 a y b x x c c2 y2
2
a2 y2 b2 x c
' a
45.由伸缩变换 y y 将椭圆（左图）变为圆（右图），椭圆中的共轭直径变为圆中相互垂
b
直的直径．所证命题变为证 CD 与圆 O 相切的充要条件是 D 为 EF 中点．
充分性：若 D 为 EF 中点 ∵C 在圆上，AB⊥OE ∴FC⊥CE，OF⊥OB ∴CD=DE=DF
24
∴∠DCF=∠OFB=∠OAC=∠OCA
∴∠OCD=∠OCA+∠ECD=∠ECD+∠DCF=∠ECF=90°∴OC⊥CD ∴CD 与圆相切．
必要性：若 CD 与圆相切，则∠OCD=∠ACB=∠FOB=90°∴∠DCF=∠OCA=∠OAC=∠CFD
∴DF=DC ∵∠ECF=90°
∴∠DEC=90°－∠CFD=90°－∠DCF=∠DCE ∴CD=DE=DF 即 D 为 EF 中点．
p p 2p
46.设 MFx ，由椭圆极坐标方程： MN
1 ecos 1 ecos 1 e2 cos2
p p

1 ecos 1 ecos ep cos HF ep
HF ， PF
2 1 e2 cos2 cos 1 e2 cos2
PF e

MN 2
2 2
l l :b2 2
a b
47. 由 10 可 知 为 切 线 x1x a y y a b
2 21 0 d 由
b4x2 a4 y21 1
r r 2 2 222: 1 2 a e x1
2 2
2 2 2 a b a
2b2 a2 e2x2 2 2 21 a b a e x
2
r1r2 d a e x
1
1 ab
b4x2 4 2 4 2 4 2 21 a y1 b x1 a
2b2 a2 x2 a c x1 1
48.同 29．
b2x a2 y a2 y
49.设AB中点为M x , y 0 0 00 0 ,则kAB kMP MP : y y0 x x
a2 y b2
0
0 x0 b
2x0
a2 b2 a2 b2 a2 b2
令y 0,得xP x0 x0 a,a x2 P , a a a
50.同 20．
51. 设 l : x ty m, P x1, y1 ,Q x2 , y2 ， 代 入 椭 圆 方 程 得 ：
a2 b2t2 y2 2b2mty b2 m2 a2 0
2 b2 m2 a22b mt
由韦达定理得： y1 y2 , y y2 2 2 1 2 a b t a2 b2t2
n a n a y1 n a y2
由 A、P、M 三点共线得 yM y1 ，同理 yN
x1 a ty1 m a ty2 m a
2
2 2 n a y y
BM BN n m yM yN n m
1 2

2 2t y1y2 t m a y1 y2 m a
25
2 2
2 b m2 a2 n a
n m
2 2b t2 m2 a2 2b2mt 2 m a m a a2 b2t 2
2 2 2 2
2 b m a n a 22 b m a n a 2a m a n m
n m n m 0
b2t2 2m a 2b2mt 2 m a a2 b2t 2 a m a a m b2 (n a)2
52,53,54 为同一类题（最佳观画位置问题），现给出公式：若有两定点 A k,0 ，B k,0 ，
2 2 2
点 P m, y 在直线 x=m 上（m>k），则当 y m k m k m k 时，∠APB 最大，
k
其正弦值为 ．
m
a2
52.k=c,m=a ∴sinα≤e,当且仅当 PH=b 时取等号． 53. k=a,m= ∴sinα≤e,当且仅当
c
ab
PH= 时取等号．
c
a2 2 b 2 2
54. k=c,m= ∴sinα≤e ,当且仅当 PH= a c 时取等号．
c c
p p p p 4a2
55.设∠AF2x= ， F1A F1B 2a 2a 4a
1 ecos 1 ecos 1 e
2 cos2
p p 4a 0 2 c o s F1A F1B
2
2a2 b2
∴ 当 2=0°时 ， F1A F1B b ； 当 =90°时 ， F1A F1B min max a2
2
2a2 b2
∴b2 F1A F1B
a2
x t cos a
AP : 2 2 2 2 2 256（. 1）设 ，代入椭圆方程得： b cos a sin t 2ab t cos
y t sin
∵AP= t ≠0
2ab2 cos 2ab2 cos
∴AP= t
b2 cos2 a2 sin2 a2 c2 cos2
y2 b2
（2）设P x0 , y0 则 tan tan
0 1 e2
a2 x20 a
2
26
1 2a2b2 sin cos 2a2b2 tan
（3） S PA ABsin
2 a2 c2 cos2 a2 tan2 b2
由 （ 2 ） ：
b2
t a n
a2 t a
2 t a 2 b n 2 c 2 t a n
t a n a n t a n c o t
b2 c2 t a n a2 2 b t 2 a n
1
a2
2a2b2 cot 2a2b2 cot
S
c2 b2 a2
57.由 58 可证．
58（. 1）易知PQ的斜率为 0和斜率不存在时，对任意x轴上的点A都成立．设PQ : x ty m，
A（m，0）
2 2 2
代 入 椭 圆 方 程 得 ： a b t y 2b m2 ty b 2 m a 2 0 2 2， 则
2 b2 m 2 a22b m t
y1 y2 , y1 y
a2
2
b2 t2 a2 b2 t2
若 PBA QBA ， 则
y
k k 0 1
y2
BQ BP 0 y1 ty2 m xB y2 ty1 m xB 0
x1 xB x2 xB
2b2t m2 a2 2b2mt m xB
2ty1y2 m xB y1 y2 0 0 2b
2t m2 a2 2b2mt m x2 2 2 2 2 B 0a b t a b t2
2 2 2 a
2 a2
m t a t m t mtxB 0 xB xA xB m a
2
m m
'
（2）作 P 关于 x 轴的对称点 P ，由（1）即证．
59.同 9．
p b2
60.设椭圆 ， 0, ．
1 ecos a ccos 2
b2 b2 b2 b2
则 AB CD
a ccos a ccos 3
a ccos a ccos
2 2
b2 b2 b2 b2 8ab
2 a2 b2

a ccos a ccos a csin a csin 4a2b2 c4 sin2 2
27
8ab2
当 时， AB CD 有最小值 ；当 0 或 时， AB CD 有最大值
4 a2 b2 2
2 a2 b2
a
8ab2 2 a2 b2
AB CD
a2 b2 a
61,62,63 为同一类问题，现给出公式：若点 P 到两定点 A m,0 ，B m,0 的距离之比
2
PA k 1
k k 0,k 1 ，则 P 点的轨迹为一个圆，圆心坐标为 m,0 ，圆的半径为
PB k
2 1
2km
．
k 2 1
a c m b
下三个题的比值 k 均为 ，代入上述公式得：圆心坐标为 ,0 ，圆的半径为 m ．
b e c
2 2 2
61.m=c，圆心坐标为 a,0 ，圆的半径为b ．轨迹方程是姊妹圆 x a y b ．
2 2
a b a 2 b
62.m=a，圆心坐标为 ,0 ，圆的半径为 ．轨迹方程是姊妹圆 x y ．
e e e e
a2 a b
63.m= ， 圆 心 坐 标 为 ,0 ， 圆 的 半 径 为 ． 轨 迹 方 程 是 姊 妹 圆
c 2 2 e e
2 2
a b
x
2
y ．
e2 2 e
64. 设 P acos ,bsin ,Q x, y , A a,0 , A' a,0 ， 由 AP AQ A'P A'Q 0 得
a2 sin
Q acos ,
b
x2 b2 y2
消去参数 得 Q 点的轨迹方程： 1
a2 a4
' ' ' '
65.同 37． 66.（1）同 35（2）由基本不等式 AM AM 2b，则梯形MAAM 面积
1
的最小值为 2a 2b 2ab．
2
67. 设 AC 交 x 轴 于 M ， AD⊥ l 于 D ． 由 椭 圆 第 二 定 义 ：
28
AM BC
FM AC AM BC AF BC e 1
EM CM AD CM AD BF AD e
AC
∴AC 过 EF 的中点．
x2 y2 a
2 b2
68.（1）由 17 可知当椭圆方程为 1时，AB 过定点 a,0 ．当椭圆方程
a2 b2 a
2 b2
(x a)2 y2
变为 1
a2 b2
时，椭圆向右平移了 a 个单位，定点也应向右平移了 a 个单位，故此时 AB 过定点
a2 b2 2ab2
a a,0 即 ,0 2 2 2 2
a b a b
2 2
ab2 2 ab
2
（2）由 69（2）P 为原点，即 m=n=0 时 Q 点的轨迹方程是 x y x 0 ． 2 2 2 2
a b a b
2 2 a2 b2 b2x y a
2
69（. 1）由 17 可知当椭圆方程为 1时，AB 过定点 m a , n ．当
a2 b2 a
2 b2 a2 b2
(x a)2 y2
椭圆方程变为 1
a2 b2
时，椭圆向右平移了 a 个单位，定点也应向右平移了 a 个单位，故此时 AB 过定点
a2 b2 b2 a2 2ab2 m(a2 b2 ) n(b2 a2 )
m a a, n 即 , ．
a2 b2 a2 b2

a2 b2 a2 b2


x2 y2
（2）先证椭圆中心在原点的情况．椭圆方程为： 1， P x0 , y0 ，AB 的斜率为
a2 b2
k tan ．
a2 b2 b2 a2 b2 a2 a2 b2
由 17（1）：AB 过定点 x , y ，设 AB：y y k x x ，
a2 b2
0 2 0 0 0
a b
2 2 2
a b a
2 b2
1
PQ： y y0 x x0
k
2b2
2 2
kx a k 1 y0 b2 y
两 者 联 立 得 y 0 0Q ， k 2 1 a2 2 2 b2 k 2 1 a2 b2 a b
2a2ky b
2 1 k 2 x a2
x 0
0 x
0Q k 2 1 a2 b2 k 2 1 a2 b2 a2 b2
则
29
a2
2
x 2a2ky b 1 k 2 x 2 20 0 0 2a2 y0 tan b x0 1 tan xQ
a2 b2 k 2 1 a2 b2 k 2 1 a2 b2 tan2 1 a2 b2 tan2 1 a2 b2
2 b2 2 22a y0 sin cos x0 cos sin a2 y 2 0 b xsin 2 0 cos 2
a2 b2 a2 b2 a2 b2 a2 b2
b2 y 2b2kx a
2 k 2 1 y 2b2 2 20 x tan a y0 tan 1
yQ
0 0 0
a2 b2 k 2 1 a2 b2 k 2 1 a2 b2 tan2 1 a2 b2 tan2 1 a2 b2
2 a2 y 2 22b x0 sin cos
2 2
0 sin cos b x0 a y sin 2 0 cos 2
a2 b2 a2 b2 a2 b2 a2 b2
2 2 2 2
a2x b2 y 2 2 2 2
x 0 0
a y0 b x0 b x0 a y0
Q yQ sin 2 cos 2 2 sin 2 cos 2
a b
2 a2 b2 2 2 2 a b a b
2
a
2 b2 a2 b2
2 2 2 2 2 4 2 2 4 2 2 2
b4x20 a
4 y2 b a b a y0 a y a b y0 0 a b
0
2 2 2
a2 b2 a2 b2 a2 b2
(x a)2 y2
当椭圆方程变为 1时，椭圆向右平移了a 个单位，圆心也应向右平移了a 个
a2 b2
a2 m a b2n
单 位 ， 而 半 径 不 变 ． 故 此 时 圆 心 的 坐 标 为 a, 即
a2 b2 a2 b2


2 4 2 2 2
ab2 a2m b2n a b y0 a b
,

，半径的平方仍为 ．
a2 b2 2 2
2
a b a2 b2
∴Q 点 的 轨 迹 方 程 为
2 2 2 4 2
ab2 a2m b2n a b y 0 a
2 b2
xQ y

Q x m且y n ． 2 2 2 2
a b a b
2
a2 b2
C Ac C Ac C
2 A2c2
70.设 L:Ax+By+C=0,则d1 ,d2 d1d2
2 2 2 2 A2 2A B A B B
2 2 2 2 2 2 2 2
将 L 代 入 椭 圆 方 程 得 ： A a B b y 2BCb y b C A a b 0 2 2 2，
4a2b2 A2 A2a2 B2b2 C2
0 A2a2 B2b2 C2 0 A2 B2 b2 A2c2 C2 0 C2 A2c2 A2 B2 b2 0
30
d d b2 2 直线 L 和椭圆相离，且 F1、F2 在 L 同侧． d d 直线 L 和椭圆1 2 1 2 b
相切，且 F1、F 2 在 L 同侧．
d d b2 直线 L 和椭圆相交，或 F 、F1 2 1 2 在 L 异侧．
71. 由 35 ：
b b
yC 1 cos , yD 1 cos
sin sin
1 1 1 sin sin 2

yM yC yD b 1 cos b 1 cos bsin
bsin x a y
yM 由
M M 得 xM acos ，消去参数 得 M 点的轨迹方程为：
2 2a yD
x2 4y2
1 y 0
a2 b2

b2x2 a2 y2 a2b2 a2 20 0 b b2x2 2 20 a y0
72.由 43： PA PB ．当 0即 AB 与椭
b2 cos2 a2 sin2 b2 c2 sin2
圆长轴平行时，
a2b2 b2x2 a20 y20
PA PB ； 当 即 AB 与 椭 圆 短 轴 平 行 时 ，
max b2 2
a2b2 b2x20 a2 y20
PA PB
min a2
73.同 7． 74.同 8． 75.由 8 可知，F 处的切线长 F2T a c 2c a c2 ，同理可证 P
在其他位置情况．
76. 如图，由切线长定理 PS=PT，PS+PT=PF1+PF2-F1S-F2T= PF1+PF2-F1Q-F2Q= 2a-2c，所以
PS=PT=a-c
31
76 图 77 图
77. 设 P acos ,bsin ，由 79 中得到的内点坐标和 22 中的焦半径公式：
2 2c cos c cos
c c
xM c a c x e， M a e
PF PF a ccos 1 a ccos 2
MF NF MF MF
78. MN平分 F1MF2
1 1 2 1 ,同理F2I平分 MF2N
MF2 NF2 NF2 NF1
MI MF2 MF1 MF2 2a 1
NI NF2 NF1 NF2 2c e
cos sin
79. 设 P acos ,bsin ，则 F1PF2 外角平分线（即切线） l : x y 1，由
a b
a
此得外点 N ,0
cos
sin cos c2
同理 F1PF2 内角平分线（即法线）l ' : x y sin cos 0，由此得内点
b a ab
c2 cos
M ,0
a
c2 cos a
xM xN c
2
a cos
c2 cos c2 cos a
80.由 79 中得到的内外点坐标可得：c c c ，即证．
a a cos
a c2 cos a
81.由 79 中得到的内外点坐标可得： c c c ，即证．
cos a cos
82.同 5． 83.同 5． 84.由 5,7 即证．
cos sin
85. 设 P acos ,bsin ，则 F1PF2 外角平分线（即切线） l : x y 1，
a b
32
cos
b
tan a
sin a tan
b
由 得： bcsin csin 50 btan cot ， tan 则 2
2 b b csin
b2 b2c2 sin21 1 c2 sin2
cos2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
tan
2 1 tan 1 a tan a tan b e cos c sin
2
cos2 1 tan2 1 b b2 c2 sin2 b2 c2 sin2
1
tan2 1 c2 sin2
b2e2 b2e2 sin2 a2e2 sin2 b2e2 c2e2 sin2 cos
e2 e
b2 c2 sin2 b2 c2 sin2 cos
86.由 4 即证． 87.同 4．
b b
88.由 71： yC 1 cos , y 1 cos ，F1 c,0 , FD 2 c,0
sin sin
b2 1 cos2
CF1 F1D a c a c 0 同 理 ：
sin2
b2 1 cos2
CF2 F2D a c a c 0
sin2
CF1 F1D,CF2 F2D，即两焦点在以两交点为直径的圆上．
b b
89. 设 P acos ,bsin ，则 l1 : y bnis xcos a y nis x cosb
a a
b
同 理 l2 : y s x i b n c o s
a
2

2 b cos sin 2 2
∴ OM a cos sin a
2 1 sin 2
b

a
同 理
2 2
ON a2 cos sin a2 1 sin 2
2 2
OM ON a2 1 sin 2 a2 1 sin 2 2a2
2 2
同理 OQ OR b2 1 sin 2 b2 1 sin 2 2b2
b b b b
90.设 P x0 , y0 ，则 l1 : y x y0 x0 ,l2 : y x y0 x0
a a a a
33
2 2
b b
x0 y
2 2
0
2 a bx ay 2
x0 y0
a 0 0 bx ay OM , ON
0 0
b
b
b
b
a a
2 2 2 2 2 2
2 2 bx0 ay0 bx ay
2 b x0 a y0
OM ON 0 0 2 2a
b
2
b b
同 理 ：
2 2
2 b 2 b
OQ x0 y0 , OR x0 y0
a a
2 2
b b b22 2
OQ OR x0 y0 x y 2 x
2 y2 0 0 0 0 2b
2
a 2 a a
x2 y2
均推出 P 点的轨迹方程为 1．
a2 b2
a b
91. P x, y , PMQ / /x轴, PNR / / y轴 M 0, y , N x,0 ,Q y, y , R x, x
b a
1 a 1 ay2 1 b 1 bx2
S1 y y ,S2 x x
2 b 2 b 2 a 2 a
1 ay2 bx 2 ab x 2 y 2 ab
S1 S2
2 b a 2 a2 2

b 2
2
a b 1 ay bx
2 ab
92. 设 P x0 , y0 ，则 x y S S
0 0
Q 0 , yR x0 1 2 由此得 P
b a 2 b a 2
x2 y2
点的轨迹方程为 1．
a2 b2
34

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