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第1课时 正方形的性质
基础提优题目
1.如图,四边形 ABCD 是正方形,AD 平行于 x 轴，A，C 两点的坐标分别为(-2,2),(1,-1),则点 B的坐标是 ( )
A.(-1,-2) B.(-1,-3)
C.(-2,-1) D.(-3,-1)
2.如图,在正方形ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,过点O作OE⊥OF,分别交AB,BC于点 E,F,若AE=4,CF=3,则EF的长为 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
3.如图,在周长为 16 的正方形 ABCD 中,点 E 是AB边的中点，点 P 为对角线 AC上的一个动点，则 PE+PB的最小值为 ( )
A.2 B. C. D.
4.如图，在正方形 ABCD中，以对角线 BD为边作菱形 BDFE,连接 BF,则∠AFB的度数为 .
5.如图,在正方形 ABCD 中,点 P在AB边上,AE⊥DP 于点 E,CF⊥DP 于点 F,若AE=4,CF=7,则EF= .
6.[2025广安]如图,E,F是正方形 ABCD 的对角线BD上的两点,BD=10,DE=BF,连接AE,AF,CE,CF.
(1)求证:△ADE≌△CBF.
(2)若四边形 AECF的周长为 求 EF 的长.
综合应用题
7.如图,M是正方形 ABCD 内的一点,且 MC=MD=AD,则∠AMB 的度数为 ( )
A.120° B.135° C.145° D.150°
8.如图,正方形 ABCD 的边长为1,E 为 BC 上任意一点,EF⊥AC于F,EG⊥BD于G,则EF+EG的值为 ( )
A. B.2 C.3 D.
9.[2025内江] 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上,点 B 的坐标为(1,0).点 E 在边 CD 上.将△ADE 沿AE折叠,点 D 落在点 F 处.若点 F 的坐标为(0,3).则点 E 的坐标为 .
10.如图,在正方形 ABCD中,点 M,N是对角线 BD 上的两点,且∠MAN=45°.若BM=3,DN=4,则MN的长为 .
11.如图,在正方形 ABCD中,AB=3,E为对角线AC上与点 A，C不重合的一个动点，过点 E 作EF⊥AB于点 F,EG⊥BC于点 G,连接DE,FG,则下列结论:①DE=FG;②∠BFG=∠ADE;③DE⊥FG;④FG的最小值为2
其中正确的结论是 (填写序号)
12.如图①,正方形 ABCD中,对角线 AC 和 BD相交于点 O，E是正方形ABCD的边 AB 下方一点,连接 AE,BE,OE,已知 OA = OE,且∠OAE=75°.
(1)试判断△OBE的形状，并说明理由；
(2)如图②,连接DE,求证:
创新拓展题
13.[2025亳州期末]【知识技能】如图①,点 P 是正方形ABCD的对角线AC上一动点,连接 PB,PD,求证:PB=PD;
【数学思考】如图②，点 E 是正方形 ABCD 的边BC的中点，连接 DE交对角线 AC于点 M，连接AE交对角线 BD于点 N.
(1)求证:DM=AN;
(2)若∠AED=α,求∠BDE的度数(用含α的式子表示)；
【拓展研究】如图③，在边长为 10 的正方形 AB-CD中,点 E,F分别是边 AB,BC上的动点,且满足AE=BF,AF与DE交于点O,点M是DF的中点，G是边AB上的点，若点 G是AB 的中点，直接写出2OM+FG的最小值.
第1课时 正方形的性质
1. C 2. C 3. D 4.22.5°
5.3 【点拨】∵四边形 ABCD 是正方形,∴AD=DC,∠ADC=90°.∵AE⊥DP,CF⊥DP,∴∠AED=∠DFC=90°.∵∠ADE + ∠CDF = ∠CDF +∠DCF = 90°,∴∠ADE=∠DCF.∴△ADE≌△DCF(AAS).∴AE=DF=4,DE=CF=7.∴EF=DE-DF=7-4=3.
6.(1)【证明】∵四边形 ABCD 为正方形,∴AD=BC,∠ADE=∠CBF=45°,又∵DE=BF,∴△ADE≌△CBF(SAS).
(2)【解】连接AC交 BD 于点O,如图.∵四边形ABCD为正方形,BD=10,∴BD垂直平分AC,OA=OC=OB=
∴AF=CF,AE=CE,由(1)知△ADE≌△CBF,∴AE=CF,∴AF=CF=AE=CE.
∵四边形 AECF 的周长为4
在Rt△AOF中,
∴DE=BF=OB-OF=5-3=2.
∴EF=BD-BF-DE=6.
7. D 【点拨】∵四边形 ABCD 是正方形,∴AD=CD,∠ADC=90°.又∵MC=MD=AD,∴△MDC是等边三角形.∴∠MDC=60°.∵∠ADC=90°,∴∠ADM=30°.∴∠MAD=75°.∴∠BAM=15°.同理可得∠ABM=15°,∴∠AMB=180°-15°-15°=150°.
8. A 【点拨】∵正方形 ABCD 的边长为1,∴ AC与BD相互垂直平分,且∠DBC=45°.∵EF⊥AC,EG⊥BD,∴四边形 OGEF 为矩形.∴EF=OG.∵∠DBC=45°,EG⊥BD,∴易得BG=EG.∴EF+EG=OG+BG=OB=
【点拨】如图,设CD与y轴交于点G,AB=x,易知DG=OA,AD=AB=OG=x.∵点 B 的坐标为(1,0),∴OA=x-1.由折叠知AF=AD=x,DE=EF.∵点 F的坐标为(0,3),∴OF=3.在Rt△AOF中,由勾股定理得 解得x=5.∴DG=OA=x-1=4.设EG=a,则 DE=EF=4-a,FG=OG-OF=5-3=2.在Rt△EFG中,由勾股定理得 解得 ∴点 E 的坐标为
10.5 【点拨】如图,将△ABM绕点A 逆时针旋转90°得到△ADH,连接NH,∴AH=AM,BM=DH=3,易得∠ABM=∠ADH=45°,∠HAM=90°.∵∠MAN=45°,∴ ∠HAN = 45°= ∠MAN.又 ∵AN= AN,∴△AMN≌△AHN(SAS).∴MN=HN.易得∠ADB=45°,∴∠NDH=∠ADH+∠ADN=45°+45°=90°.
11.①②③ 【点拨】连接 BE,交 FG 于点 O.∵四边形ABCD为正方形,∴∠ABC=90°,AB=AD=3,∠BAC=∠DAC=45°.又 ∵ AE = AE,∴ △ABE≌△ADE(SAS).∴BE=DE.∵EF⊥AB,EG⊥BC,∴∠EFB=∠EGB=90°.∴四边形 EFBG 为矩形.∴FG=BE,OB=OF.∴ DE = FG,即 ① 正确;∵△ABE≌△ADE,
∴∠ABE=∠ADE. ∵OB=OF,∴∠OFB=∠ABE.∴∠BFG=∠ADE,即②正确;延长 DE,交 FG 于点M,交 FB 于点 H.易得∠BAD=90°,∴∠ADE+∠AHD=90°.∵∠OFB=∠ADE,∴∠OFB+∠AHD=90°.∴∠FMH=90°,∴DE⊥FG,即③正确;∵E为对角线AC上的一个动点,∴当 DE⊥AC 时,DE 最小.易得AD=CD=3,∠ADC=90°,∴AC=√AD +CD =3 ∴当DE⊥AC时, 又∵FG=DE,∴FG的最小值为 即④不正确.综上，①②③正确.故答案为①②③.
12.(1)【解】△OBE为等边三角形.理由:
∵OA=OE,∴∠OEA=∠OAE=75°.
∴∠AOE=30°.
∵四边形 ABCD为正方形，
∴AO=BO,∠AOB=90°.
∴∠BOE=60°,OB=OE.
∴△OBE为等边三角形.
(2)【证明】如图,过点 A 作 AF⊥AE交 BE 的延长线于点F,∴∠EAF=90°.
∵△OEB为等边三角形，
∴∠OEB=60°.
∵∠OEA=75°,
∴∠AEF=180°-∠OEB-∠OEA=45°.∴∠F=45°=∠AEF.
∴△AEF为等腰直角三角形,AE=AF.
∵四边形 ABCD为正方形，
∴AD=AB,∠DAB=90°=∠EAF.
∴∠DAE=∠BAF.
∴△ADE≌△ABF(SAS).∴DE=BF.
∵BF=EF+BE,∴ AE+BE=DE.
13.【知识技能】【证明】
∵四边形 ABCD 是正方形,
∴CD=CB,∠DCA=∠BCA=45°.
又∵CP=CP,∴△CDP≌△CBP(SAS).
∴PB=PD.
【数学思考】
(1)【证明】∵点 E是BC的中点,∴CE=BE.
∵四边形 ABCD 是正方形,
∴DC=AB,∠DCE=∠ABE=90°.
∴△DCE≌△ABE(SAS).
∴∠CDE=∠BAE.
又∵DC=AB,易得∠DCA=∠ABD=45°,
∴△DCM≌△ABN(ASA).∴DM=AN.
(2)【解】∵△DCE≌△ABE,
∵易得∠DBC=45°,
【拓展探究】【解】2OM+FG的最小值为
【点拨】延长 AB 至点 H,使得BH=BG,连接 FH,DH,如图.
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AD=AB,∠DAB=∠ABC=90°.
又∵AE=BF,
∴△ADE≌△BAF(SAS).
∴∠ADE=∠BAF.
∴∠DOF=∠ADO+∠DAO=∠BAF+∠DAO=∠DAB=90°.
又∵M是DF 的中点,∴DF=2OM.
∵易得∠FBG=∠FBH=90°,FB=FB,BG=BH,
∴△FBG≌△FBH(SAS).∴FH=FG.
∴2OM+FG=DF+FH.
∴当点 H,D,F三点共线时,DF+FH有最小值,即此时2OM+FG有最小值，最小值为 DH 的长.
∵正方形 ABCD的边长为10,G为AB 的中点,
∴2OM+FG的最小值为

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