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菱形的判定
基础提优题目
1.如图，四边形ABCD的对角线 AC，BD相交于点O,OA=OC,且AB∥CD,则添加下列一个条件能判定四边形ABCD是菱形的是 ( )
A. AC=BD B.∠ADB=∠CDB
C.∠ABC=∠DCB D. AD=BC
2.如图，点O 既是AB 的中点，又是CD的中点,且AB⊥CD,连接 AC,BC,AD,BD.若AC=2,则四边形ACBD的周长是 ( )
A.6 B.8 C.10 D.不能确定
3.[2025内江] 按如下步骤作四边形 ABCD:(1)画∠EAF；(2)以点 A 为圆心，1个单位长为半径画弧,分别交AE,AF于点 B,D;(3)分别以点 B和点 D 为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C;(4)连接BC,DC,BD.若∠A=40°,则∠BDC的度数是 ( )
A.64° B.66° C.68° D.70°
4.如图,在△ABC中,D是 BC的中点，点 E，F分别在线段 AD 及其延长线上，且DE=DF，请你添加一个条件： ，使四边形 BECF 是菱形.
5.[2025永州期末]如图,E,F分别在 BC 和 CD上,AB= AE = AF = AD = BC = CD = EF,则∠D= °.
6.[2025遂宁]如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,点 E,F在对角线 BD上,BE=EF=FD,且AF⊥AB,CE⊥CD.
(1)求证:△ABF≌△CDE;
(2)连接 AE,CF,若∠ABD=30°,请判断四边形AECF 的形状，并说明理由.
综合应用题
7.[2025威海期中]如图是一张平行四边形纸片AB-CD，要求利用所学知识将它变成一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下：对于甲、乙两人的作法，正确的是 ( )
甲:连接 AC,作 AC的中垂线交 AD,BC 于E,F,则四边形 AFCE是菱形. 乙:分别作∠A,∠B的平分线 AE,BF,分别交 BC 于点 E,交AD于点 F，则四边形ABEF是菱形.
A.甲正确，乙错误 B.甲、乙均错误
C.甲错误，乙正确 D.甲、乙均正确
8.[2025黄冈期中]如图,在矩形 ABCD中,AD>AB,连接AC,直线 MN垂直平分 AC,分别交 AD,BC于点 E,F.下列结论:①四边形 AECF 是菱形;②∠AFB=2∠ACB;③AF 平分∠BAC;④如果AB=4,BC=8,则EF的长为2 .其中结论正确的是 ( )
A.①②③④ B.①②
C.①②④ D.①④
9.如图,ABCD 的面积为 12,AC=BD=6,AC与BD交于点O,分别过点C,D作 BD,AC的平行线相交于点 F,点 G 是 CD的中点,点 P 是四边形 OCFD 边上的动点,则 PG的最小值是 ( )
A.1 B. C. D.3
10.如图,A,B两点的坐标分别为(5,0),(1,3),点C是平面直角坐标系内一点.若以O，A，B，C四点为顶点的四边形是菱形，则点 C 的坐标为 .
11.[2025东莞期末]将三角形纸片ABC(AB>AC)沿过点A 的直线折叠，使得AC落在 AB 边上，折痕为AD，展平纸片，如图①；再次折叠该三角形纸片，使得点 A 与点 D 重合，折痕为 EF，再次展平后连接DE,DF,如图②.
(1)四边形 AEDF 的形状是 ;
(2)当∠BAC=60°时,
创新拓展题
12 .某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为6cm，长足够的矩形纸条.探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积.如图①所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45°角，将该纸条从右往左平移.
(1)写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状；
(2)当重叠部分的形状为如图②所示的四边形AB-CD时.
①求证：四边形 ABCD 是菱形；
②求菱形 ABCD的面积.
第2课时 菱形的判定
1. B 2. B
3,D 【点拨】根据作图可得AB=AD=BC=CD,∴四边形 ABCD 是菱形. ∴AB ∥CD,∠BDC=∠BDA= 又∵
4. AB=AC(答案不唯一)
5.80 【点拨】∵AB=BC=CD=AD,∴四边形ABCD为菱形.∴∠B=∠D,AD∥BC.∴∠C+∠D=180°.∵AD=AF,∴ ∠D =∠AFD. ∵ ∠AFC + ∠AFD = 180°,∴∠AFC=∠C.同理∠C=∠AEC,∴∠C=∠AEC=∠AFC.易得△AEF 是等边三角形,∴∠EAF=60°.又∵∠EAF+∠AEC+∠C+∠AFC=360°,∴∠C=100°.∴∠D=180°-100°=80°.
6.(1)【证明】∵AF⊥AB,CE⊥CD,
∴∠BAF=∠DCE=90°.
∵AB∥CD,∴∠ABF=∠CDE.
∵BE=EF=FD,∴BF=DE.
∴△ABF≌△CDE(AAS).
(2)【解】四边形AECF 是菱形.理由如下:
如图.∵△ABF≌△CDE,
∴AF=CE,∠AFB=∠CED.∴AF∥CE.
∴四边形 AECF是平行四边形.
∵∠ABD=30°,∠BAF=90°,
∵EF=DF,∠DCE=90°,∴CF= DE.
∵BF=DE,∴AF=CF.∴四边形AECF是菱形.
7. D【点拨】根据甲的作法作出图形，如图①所示.∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC.∴∠DAC=∠BCA.∵EF 是AC 的垂直平分线,∴OA=OC,AE=EC.又∵∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF(ASA).∴AE=CF.∴四边形 AECF 是平行四边形.又∵AE=EC，∴四边形 AECF 是菱形，故甲的作法正确；根据乙的作法作出图形，如图②所示.∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC.∴∠1=∠2,∠6=∠7.∵AE 平分∠BAF,BF平分∠ABC,∴∠2=∠3,∠5=∠6.∴∠1=∠3,∠5=∠7.∴AB=AF,AB=BE.∴AF=BE.∴四边形ABEF是平行四边形.∴四边形ABEF是菱形，故乙的作法正确.综上所述，甲、乙均正确，故选 D.
8. B 【点拨】设 AC 与 EF 交于点 O.∵MN 垂直平分AC,∴OA=OC,∠AOE=∠COF=90°.又∵四边形ABCD 是 矩 形, ∴AD∥ BC. ∴ ∠EAO = ∠FCO.∴△AOE≌△COF(ASA).∴OE=OF.又∵OA=OC,AC⊥EF,∴四边形 AECF 是菱形,①正确.∵四边形.AECF 是 菱 形 ∴ AF = CF, ∴ ∠FAC = ∠FCA.∴∠AFB=∠FAC+∠FCA=2∠ACB,②正确.假设AF 平 分 ∠BAC, 则∠BAF = ∠FAC, ∴∠BAF =∠FAC=∠FCA.∵△ABC中,∠BAC+∠ACB=90°,∴3∠ACB=90°,∠ACB=30°,但题干未给出此条件,∴AF不一定平分∠BAC,③错误.设 CF=AF=x,则BF=8-x.在 Rt△ABF中,由勾股定理得. AF ,即 解得x=5,即AF=5.∵AC= 在 Rt△AOF 中, OF = ∵OE=OF,∴EF=2OF=2 ≠2 ,(④错误.综上，①②正确.
9. A 【点拨】∵四边形 ABCD 为平行四边形,AC=BD,∴四边形ABCD是矩形,OD=OC.又∵DF∥AC,OD∥CF,∴四边形 OCFD为菱形.∵G是CD 的中点,P 是菱形OCFD 边上的动点,∴当GP 垂直于菱形OCFD 的一边时,PG有最小值.过点 D 作DM⊥AC于点 M,过点 G作GP⊥AC 于点 P,则 GP∥MD.∵矩形 ABCD 的面积为12,AC=6,∴2× AC·DM=12,B即 DM=12,解得DM=2.∵G为CD的中点,∴易得GP为△DMC的中位线. 即 PG的最小值为1.
10.(-4,3) 【点拨】如图,作 BH⊥OA 于点 H.
∵A(5,0),B(1,3),∴OA=5,OH=1,BH=3.∴AH=4.在 Rt△ABH 中, AB = ∴AO=AB=5.∵四边形 OABC是菱形,∴BC∥OA,BC=OA.∴C(-4,3).
11.(1)菱形 (2) 【点拨】设 EF 与AD 交于点 O.∵∠BAC=60°,四边形 AEDF 是菱形,∴∠EAD=30°,EF⊥AD,AD=2OA.∴OE= AE,∴OA=
12.(1)【解】在平移过程中，重叠部分的形状可能为三角形、梯形、菱形、五边形，如图①②③④所示.
(2)①【证明】分别过点B,D 作BE⊥CD 于点E,DF⊥CB于点 F,如图⑤,
∴∠BEC=∠DFC=90°.
∵两纸条等宽,∴BE=DF=6 cm.
∵∠BCE=∠DCF=45°,
∴易得△BCE,△CDF 均是等腰直角三角形.
∵两纸条都是矩形,∴AB∥CD,BC∥AD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵BC=DC,∴四边形 ABCD 是菱形.
②【解】由①得BE=6 cm,CD=6 cm,

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