资源简介

第1课时 菱形的性质
基础提优题目
1.如图,在菱形 ABCD中,∠1=25°,则∠B的度数为 ( )
A.110° B.120° C.130° D.140°
2.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD 相交于点 O,E,F分别是AB,BC边的中点,连接EF,若 EF= ,BD=4,则菱形ABCD的周长为 ( )
A.2 B. C.16 D.3
3.如图,在菱形 ABCD 中,∠A=30°,取大于 AB的长为半径，分别以点 A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交 AD 边于点 E，连接 BE，BD,则∠EBD的度数为 ( )
A.45° B.50° C.60° D.70°
4.如图，在平面直角坐标系中，O是菱形 ABCD 的对角线 BD 的中点,AD∥x轴且AD=8,∠A=60°,点 A 的坐标是 ( )
A. B.
C. D.
5.我们常常在建筑中看到四边形的元素.如图，墙面上砌出的菱形窗户的边长为1m(边框宽度忽略不计)，其中较小的内角为 60°，则该菱形窗户的采光面积为 m .
6.如图,四边形 ABCD 是菱形,CD=5,BD=8,AE⊥BC于点 E,则AE的长为 .
7.如图,在菱形 ABCD中,AE⊥BC于点 E,AF⊥CD于点 F,连接 EF.
(1)求证:AE=AF;
(2)若∠B=60°,求∠AEF 的度数.
综合应用题
8.如图,菱形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点O,AC=8,BD=12,E是OB的中点,P 是 CD的中点，连接 PE，则线段 PE的长为 ( )
A. B. C.2 D.
9.如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=6,AC是一条对角线，E是AC上一点，过点 E作 EF⊥AB,垂足为 F,连接 DE.若CE=AF,则 DE的长为 .
10.如图,在菱形 ABCD中,对角线 AC,BD相交于点O 线段 AB与A'B'关于过点O的直线l对称,点 B 的对应点 B'在线段 OC 上,A'B'交 CD 于点 E,则△B'CE 与四边形 OB'ED 的面积比为 .
11.[2025连云港] 如图,在菱形ABCD中,AC=4,BD=2，E 为线段AC上的动点，四边形DAEF 为平行四边形，则 BE+BF的最小值为 .
12.[2025福州月考] 如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,对角线 AC,BD 相交于点 O.在线段 AO 上任取一点 P(端点除外),连接 PD,PB.
(1)求证:PD=PB.
(2)将线段 DP 绕点 P 逆时针旋转,使点 D 落在 BA的延长线上的点 Q处.当点 P 在线段AO上的位置发生变化时，∠DPQ的大小是否发生变化 请说明理由.
创新拓展题
13.在菱形ABCD中,∠ABC=60°,点 P 是线段BD上一动点，以AP 为边向右侧作等边三角形APE，点E 的位置随着点 P 的位置变化而变化.
(1)如图①，当点 E 在菱形 ABCD内部或边上时，连接CE.
判断:BP 与 CE 的数量关系是 ,CE与AD的位置关系是 ，请写出证明过程.
(2)若AB=4,点 Q 为 CD的中点,则线段 EQ的长的最小值为 .
(3)如图②，当点 P 在线段 BD 的延长线上时，连接BE,若 ，直接写出四边形ADPE的面积.
第1课时 菱形的性质
1. C 2. B
3. A 【点拨】∵四边形 ABCD 是菱形,∴AD=AB. 由作图可知EA=EB,∴∠ABE=∠A=30°.∴∠EBD=∠ABD-
4. C 【点拨】设AD 与y轴交于点E.∵四边形ABCD 是菱形,∴AD=AB.∵∠A=60°,∴△ABD是等边三角形.∴BD=AD=8,∠ADB=60°.∵O是菱形ABCD 的对角线 BD 的中点， 轴，
∴∠DEO=90°.∴∠EOD=30°.∴DE= OD=2.∴AE=AD-DE=6,OE=√OD -ED =2 .∴A(-6,2 ).
5.
6. 【点拨】∵四边形 ABCD 是菱形,CD=5,BD=8, 在 Rt△CDO 中, 2OC=6.
∵菱形 ABCD的面积为
7.(1)【证明】∵四边形 ABCD 是菱形,
∴AB=AD,∠B=∠D.
∵AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点 F,
∴∠AEB=∠AFD=90°.
∴△ABE≌△ADF(AAS).∴AE=AF.
(2)【解】∵四边形 ABCD 是菱形,
∴∠B+∠BAD=180°.
又∵∠B=60°,∴∠BAD=120°.
∵∠AEB=90°,∠B=60°,∴∠BAE=30°.
由(1)知△ABE≌△ADF,
∴∠BAE=∠DAF=30°.
∴∠EAF=120°-30°-30°=60°.
又∵AE=AF,∴△AEF是等边三角形.
∴∠AEF=60°.
8. A 【点拨】如图,取OD 的中点H,连接 HP.∵四边形ABCD 是菱形,AC=8,BD=12,∴AC⊥BD,AO=CO=4,OB=OD=6.∴∠BOC=90°.∵H 是OD 的中点,E 是OB 的中点,P 是CD 的中点,∴OH=3,OE=3,HP= ∠EHP=∠BOC=90°.∴EP=
9.2 【点拨】如图,连接 BD交AC 于点 O.∵四边形ABCD 是菱形,AB=6,∴AC⊥BD,∠ADC=∠ABC=60°,AB=BC=CD=AD=6.∴△ABC,△ADC都是等边三角形.∴∠CAB=60°,AC=6.∴OA=3.∴OD= ∴∠AEF=30°.∴AE=2AF.∵CE=AF,∴AE=2EC.∴易得 AE=4.∴OE=AE-OA=4-3=1.∴DE=
10. 【点拨】连接OE,A'D.∵四边形 ABCD 是菱形, ∴设AC=10k(k>0),则BD=6k.∴OA=OC=5k,OB=OD=3k.∵线段 AB与A'B'关于过点O的直线l对称，点 B 的对应点B'在线段OC 上,∴点A'在BD 的延长线上,OA'=OA=5k,OB'=OB=3k.∴易得∠A'=∠BAC=∠DCA,A'D=B'C = 2k.又∵∠A'ED =∠CEB',∴△A'ED≌△CEB'.∴DE=B'E.又∵OE=OE,OD=OB'=3k,∴△DOE≌△B'OE.∴S△DOE=S△BOE.
11. 【点拨】∵四边形 DAEF为平行四边形,∴DF=AE.如图，过点 B作AC 的平行线MN，过点 E作关于线段MN 的对称点 E',记 EE'交 MN 于点 H,连接BE',E'F,由对称性得 BE=BE',EE'⊥MN,E'H=EH,∴BE+BF=BE'+BF≥E'F,当且仅当 E',B,F三点共线时,BE'+BF(即 BE+BF)取得最小值,最小值为E'F的长.如图,设AC与 BD 交于点 O,延长 E'E交 FD 的延长线于点 G.∵菱形ABCD中,AC=4,BD= ∵AC∥MN,EH⊥HB,∴AC⊥GH.∴易得四边形EOBH 是矩形,∴E'H=EH=OB=1.易知∠EGF=90°,四边形 DOEG 是矩形,∴GD=EO,GE=DO=1.∴GF=GD+DF=EO+AE=AO=2,GE'=GE+EH+E'H=3.∴E'F= ，即BE+BF的最小值为
12.(1)【证明】∵四边形ABCD 是菱形,∴CD=CB,∠DCA=∠BCA.
又∵CP=CP,
∴△DCP≌△BCP(SAS).∴PD=PB.
(2)【解】∠DPQ的大小不发生变化,∠DPQ=60°.
理由:作 PM⊥AB,PN⊥AD,垂足分别为 M，N，如图.
∵ 四 边 形 ABCD 是 菱 形,∠ABC=60°,∴∠BAD=120°.
又∵PM⊥AB,PN⊥AD,
∴∠PMA=∠PNA=∠PND=90°,PM=PN.
∴∠MPA=∠NPA=30°.∴∠MPN=60°.
由旋转可得 PD=PQ,
∴Rt△PND≌Rt△PMQ(HL).∴∠DPN=∠QPM.
∴∠DPN-∠QPN=∠QPM-∠QPN,
∴∠DPQ=∠MPN=60°.
13.【解】(1)BP=CE;CE⊥AD
证明：连接AC.
∵四边形ABCD为菱形,∠ABC=60°,
∴AB=BC=CD=AD,∠ABD=30°,∠ADC=∠ABC=60°,BC∥AD.
∴△ABC和△ADC都为等边三角形.
∴∠BAC=60°,∠ACB=60°,AB=AC.
∵△APE为等边三角形,∴AP=AE,∠PAE=60°.
∴∠BAC-∠PAC=∠PAE-∠PAC,即∠BAP =∠CAE.∴△ABP≌△ACE(SAS).
∴BP=CE,∠ACE=∠ABP=30°.
∵∠ACB=60°,
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=60°+30°=90°.
∴CE⊥BC.∴CE⊥AD.
(2)1
(3)四边形ADPE的面积为8

展开更多......

收起↑