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第2课时 矩形的判定
基础提优题目
1.在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是几个学习小组拟定的方案，其中正确的方案是 ( )
A.测量其中三个角是否为直角
B.测量两组对边是否相等
C.测量对角线是否相互平分
D.测量对角线是否相等
2.如图,有下列四个条件:①AB=BC,②∠ABC=90°,③AC=BD,④∠ADC=∠BAD,从中选取一个作为补充条件，使 ABCD为矩形，其中错误的是 ( )
A.① B.② C.③ D.④
3.如图，过四边形 ABCD 的四个顶点分别作对角线 AC，BD 的平行线，若所围成的四边形EFGH 是矩形，则原四边形 ABCD 需满足的条件是 .
4.一种燕尾夹如图①所示，图②是在闭合状态时的示意图，图③是在打开状态时的示意图(数据如图，单位：mm).则在图③时，点 B,D 之间的距离为 mm.
5.如图,在△ABC中,AB=AC,将△ABC绕点 C旋转 180°得到△FEC,连接 AE,BF.当∠ACB为 °时,四边形 ABFE为矩形.
6.如图,在△ABC中,D 是 BC的中点,E是AD的中点,过点A作AF∥BC交CE的延长线于点 F.
(1)求证:FA=BD;
(2)连接 BF,若 AB=AC,求证:四边形 ADBF 是矩形.
综合应用题
7.如图,在四边形 ABCD中,AB∥CD,AB⊥BD,AB=5,BD=4,CD=3,点 E是 AC的中点，则BE的长为 ( )
A.2 B. C. D.3
8.如图，在平面直角坐标系中，A，B两点坐标分别为(0,8),(-6,0),P 为线段 AO 上一动点，以 PB，PA为边构造平行四边形 APBQ，则使对角线 PQ的值最小的点 Q的坐标为( )
A.(-3,4) B.(-4,3)
C.(-6,4) D.(-6,3)
9.如图，将矩形 ABCD 的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH,EH=6,EF=8,下列结论:
①∠HEF=90°;②△AEH≌△CGF;
③AD=HF;④FE=2AE;⑤AB=9.6.
其中正确结论的个数是 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
10.如图,已知矩形 ABCD,AB=6,AD=8,将矩形ABCD 绕点 A 顺时针旋转( 得到矩形 AEFG,连接CG,BG,当θ= 时,GC=GB.
11.如图,平行四边形 ABCD的对角线 AC,BD 相交于点 O, BE ∥AC, CE∥DB,且 ∠BOC +2∠OBC=180°.
(1)求证:四边形ABCD是矩形;
(2)若∠AOB=60°,AB=2,求四边形OBEC的面积。
创新拓展题
12.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点 A(8，6)分别作x轴、y轴的平行线，交y轴于点 B，交x轴于点 C，点 P 是从点B 出发，沿 B→A→C以2个单位长度/s的速度向终点 C 运动的一个动点，设运动时间为 t s.
(1)当点 P 在线段 BA上运动时，用含 t的式子表示线段 AP 的长为 .
(2)若x轴上有一点 D(2,0),连接 PD,AD.是否存在这样的t值，使得三角形 APD的面积是四边形ABOC面积的 若存在，则求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.
第2课时 矩形的判定
1. A 2. A 3. AC⊥BD 4.20 5.60
6.【证明】(1)∵AF∥BC,
∴∠AFE=∠DCE,∠FAE=∠CDE.
∵E为AD的中点,∴AE=DE.
∴△AEF≌△DEC(AAS).∴AF=DC.
∵D为BC的中点,∴BD=CD.∴AF=BD.
(2)∵AF=BD,AF∥BD,
∴四边形 ADBF 是平行四边形.
∵AB=AC,D为BC的中点,∴AD⊥BC.
∴∠ADB=90°.∴四边形 ADBF是矩形.
7. C 【点拨】在AB的延长线上截取BM=AB,连接CM,过点 C 作 CN⊥AB,交 AB 的延长线于点 N,如图.∵AB∥CD,AB⊥BD,∴CD⊥BD.∴易得四边形 BNCD是矩形.∴BN=CD=3,CN=BD=4.∴NM=BM-BN = AB - BN = 2.在 Rt △CNM 中, CM = ∵点 E 是 AC的中点,AB=BM,∴BE 是△ACM的中位线. 故选 C.
8. C【点拨】如图，由端点分别在两条平行线上的所有线段中，垂直于平行线的线段最短可知，当QP⊥AO时，PQ最短.∵QP⊥AO,∠AOB=90°.∴∠APQ=∠AOB=90°,∴PQ∥BO. ∵ 四边形 APBQ 是平行四边形,∴AP∥ BQ, AP = BQ. ∴ PO∥ BQ.又∵PQ∥BO,∠BOP=90°,∴四边形POBQ是矩形,∴ PQ = BO=6,BQ=OP=AP=4.∴Q(-6,4).
9. C 【点拨】由折叠可知EA=EM,BE=EM,∠AEH=∠HEM,∠BEF=∠FEM,∠EMH=∠A=90°.∴AB=AE+ EB = 2EM. ∵∠AEH +∠HEM+∠BEF +∠FEM= 180°,∴∠HEF=∠HEM+∠FEM= ,故①正确.同理,∠EFG=∠FGH=90°,∴四边形 EFGH是矩形.∴EH=GF.易知AB=2AE,CD=2CG,AB = CD, ∴AE= CG. 又∵∠A= ∠C = 90°,∴Rt△AEH≌Rt△CGF(HL),故②正确.由翻折可知,CF=NF,DH=HN.∵Rt△AEH≌Rt△CGF,∴AH=CF=NF.∴AD=AH+DH=NF+HN=HF,故③正确. ∵易知 ∴AB=2×4.8=9.6,故⑤正确.∵EF=8,2AE=AB=9.6,∴EF≠2AE,故④错误.综上所述,正确的结论是①②③⑤,共 4 个.
10.60°或300°【点拨】当GB=GC时,点 G 在 BC 的垂直平分线上.分两种情况讨论：①如图①，当点 G在AD 右侧时,取 BC的中点H,连接GH交AD 于M,连接GD.∵GC=GB,∴GH⊥BC.∴易得四边形 ABHM是矩形,GM⊥AD.∴AM=BH= AD.∴GM;垂直平分AD.∴GD=GA. 又由旋转可得 AD=AG,∴AD=AG=GD.∴△ADG是等边三角形.∴∠DAG=60°.∴旋转角θ=60°;②如图②,当点G在AD 左侧时,同理可得∠DAG=60°,∴旋转角( .故答案为60°或360°.
11.(1)【证明】∵∠BOC+2∠OBC=180°,∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°,
∴∠OBC=∠OCB.∴OB=OC.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC,OB=OD.∴AC=BD.
∴平行四边形ABCD 是矩形.
(2)【解】由(1)可知,OA=OB=OC,四边形 ABCD 是矩形,∴∠ABC=90°.
∵∠AOB=60°,∴△OAB是等边三角形.
∴OA=AB=2.∴AC=2OA=4.
∵BE∥AC,CE∥DB,
∴四边形OBEC是平行四边形.
12.【解】(1)8-2t
(2)存在.
易得四边形ABOC是矩形，
∵A(8,6),∴AB=OC=8,OB=AC=6,
当点 P 在线段 BA 上时,如图①,AP=8-2t.
∵D(2,0),S△APD= AP·AC,S矩形ABCD=AB·AC,
∴当 时： 解得t=3,∴BP=2×3=6,∴P(6,6);
当点 P 在线段AC上时,如图②,AP=2t-8.
∵D(2,0),∴CD=8-2=6.
∴当 时， 解得t=5,∴AP=5×2-8=2.∴PC=6-2=4,∴P(8,4).
综上,点 P 的坐标为(6,6)或(8,4).

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