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21.3.1 矩形
第1课时 矩形的性质
基础提优题目
1.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是( )
A.对边相等 B.对角相等
C.对角线相等 D.对角线相互平分
2.[2025 陕西]如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=20°,CD 为 AB 边上的中线,DE⊥AC,则图中与∠A互余的角共有 ( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
3.如图,在矩形 ABCD 中,对角线 AC,BD 交于点O,过点O作 EF⊥AC交AD 于点 E,交 BC 于点F.已知AB=4,△AOE 的面积为5,则 DE 的长为 ( )
A.2 B. C. D.3
4.[2025 无锡期中]如图,延长矩形 ABCD 的边 BC至点 E,使CE=BD,连接AE,如果∠ADB=40°,则∠E 的度数是 .
5.如图,在矩形 ABCD 中,点 E 为 BA 的延长线上一点，F为CE的中点，以点 B 为圆心，BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G,连接BG.若AB=4,CE=10,则AG= .
6.如图,在矩形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,且∠CDF=∠BDC,
∠DCF=∠ACD.
(1)求证:DF=CF;
(2)若∠CDF=60°,DF=8,求矩形 ABCD的面积.
综合应用题
7 出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建.“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一.如图，在矩形ABCD中,对角线 AC,BD 相交于点 O,AD=3,AB=4,E是CD边上一点,过点 E作 EH⊥BD于点 H,EG⊥AC于点 G,则 EH+EG的值是( )
A.2.4 B.2.5 C.3 D.4
8.如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴、y轴上，连接AC,将纸片OABC沿AC折叠,使点 B落在点D的位置,AD与y轴交于点 E,若 B(2,4),则OE的长为 .
9.如图，在矩形 ABCD中，E是 CD边的中点,EF⊥AE交BC于点 F,连接AF.若∠CFE=a,则∠BAF的度数为 .
10.如图,矩形ABCD中, P是BC边上的一动点，E，F 分别是线段 PA，PD 的中点,连接 BE,EF,CF,过点 E作 EG∥FC,交 BC边于点G,则 BE+EG的最小值为 .
11.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,G,H分别是AB，DC的中点，E，F是对角线AC上的两个点,AE=FC.
(1)判断四边形 EGFH 的形状，并说明理由；
(2)若四边形 EGFH 为矩形,请直接写出 AE 的长度.
创新拓展题
12.小普同学在折叠平行四边形纸片的过程中发现：如果把平行四边形沿它的一条对角线翻折，会得到很多结论.例如：在ABCD中,AB≠BC,将△ABC 沿直线 AC 翻折至△AEC,连接DE,可以得到AC∥DE.
(1)如图,如果 AD 与 CE 相交于点 O,求证:AC∥DE;
(2)如果∠B=45°,BC=2,当以A,C,D,E为顶点的四边形是矩形时，求出AC的长；
(3)如果∠B=30°,AB=3,当△AED是直角三角形时，直接写出 BC的长.
第1课时 矩形的性质
1. C
2. C 【点拨】题图中与∠A 互余的角是∠B,∠DCB,∠CDE,∠ADE,共有4个.
3. D
4.20°【点拨】如图,连接 AC 交 BD 于点 O.∵四边形ABCD是矩形, BD.∴∠E=∠DAE,OA=OD.∴∠ADB=∠CAD=40°.∵BD=CE,∴CE=CA,∴∠E=∠CAE.∵∠CAD=∠CAE+∠DAE,∴∠E+∠E=40°,即∠E=20°.
5.3
6.(1)【证明】∵四边形 ABCD 是矩形,
且AC=BD.∴OD=OC.
∴∠ODC=∠OCD.又∵∠CDF=∠BDC,∠DCF=∠ACD,∴∠FDC=∠FCD.∴DF=CF.
(2)【解】∵∠CDF=60°,
∴∠CDO=∠CDF=∠DCO=∠DCF=60°.
∴△OCD,△DCF都是等边三角形.
∴DF=CD=OD=8.
∵四边形 ABCD是矩形,
∴∠BCD=90°,BD=2OD=16.
7. A 【点拨】连接OE.∵四边形 ABCD 是矩形,∴CD=AB=4,AO=CO= BO=DO,∠ADC=90°.∴AC=
8. 【点拨】∵四边形 OABC 是矩形,∴OC∥AB.∴∠ECA=∠CAB. 根 据 题 意 得 ∠CAB = ∠CAD,∴∠ECA=∠EAC.∴EC=EA.在矩形 OABC中,B(2,4),∴OC=AB=4,OA=2.设OE=x,则AE=EC=OC-OE=4-x. 在 Rt△AOE 中, 即(4- 解得
【点拨】延长 AE，交BC的延长线于点G，如图所示. ∵ 四边形 ABCD 为矩形,∴∠BAD=∠D=∠DCB=90°,AD∥BC.∴∠ECG=∠D=90°.∵E 为CD 边 的中点,∴DE = CE. 又 ∵∠AED = ∠GEC,∴△ADE≌△GCE.∴AE=GE.又∵EF⊥AE,∴EF 垂直平分线段AG.∴AF=GF.∴∠FAE=∠G.∵AD∥BC,∴∠DAE = ∠G. ∴ ∠DAE = ∠FAE. ∴ ∠DAE = ∵∠DAE+∠AED=90°,∠AED+∠FEC= ∠EFC = 90°,∴∠EFC= ∴∠BAF=2α-90°.
【点拨】连接 AG.∵矩形 ABCD 中, ∴AD=BC= ,AD∥BC,∠ABC=90°.∵E,F分别是线段 PA,PD的中点, BC.∵EG∥FC,∴四边形 EGCF是平行四边形.∴CG= 中，E是线段AP 的中点,∴AE=BE.∴当点 A,E,G三点共线时,AE+EG 值的最小,即 BE+EG 值的最小,最小值为 AG的长. ∴BE+EG的最小值为
11.【解】(1)四边形 EGFH是平行四边形.
理由:∵四边形 ABCD 是矩形,
∴AB=CD,AB∥CD.∴∠GAE=∠HCF.
∵G,H 分别是AB,DC的中点,
∴AG=CH.
∵AE=CF,∴△AEG≌△CFH(SAS).
∴GE=HF,∠AEG=∠CFH.
∴∠FEG=∠EFH.∴EG∥FH.
∴四边形 EGFH是平行四边形.
(2)AE的长度为 或 . 【点拨】连接GH 交 AC 于点O.
∵四边形 ABCD 是矩形,
∴AB=CD,AB∥CD,∠B=90°,OA=OC.
∵AB=3,BC=4,∴AC=5.∴OA=OC= AC=
由(1)易得 BG=CH,
∴四边形 BCHG是平行四边形.
∴GH=BC=4.
∵四边形 EGFH是矩形,∴EF=GH=4.
分两种情况：①当点E在OA上，点 F在OC上时，如图①，
②当点 E 在 OC 上,点 F 在OA 上时,如图②,AE=
综上所述，若四边形 EGFH为矩形，AE的长度为 或
12.(1)【证明】∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC,AD=CB.∴∠DAC=∠BCA.由折叠可知∠ACE=∠BCA,EC=BC,
∴∠DAC=∠ACE,EC=AD.∴OA=OC.
即OD=OE.∴∠ODE=∠OED.
∵∠DOE=∠AOC,
即∠ODE=∠OAC.∴AC∥DE.
(2)【解】①当四边形 ACDE 为矩形时,如图①,则∠CAE=90°,∴∠BAC=90°.
∵∠B=45°,∴∠ACB=45°=∠B,∴AB=AC.
∵在 Rt△BAC中, BC ,BC=2,
∴易得
②当四边形 ACED为矩形时，如图②，∠ACE=90°,∴∠ACB=90°.
∵∠B=45°,
∴∠BAC=45°=∠B.
∴AC=BC=2.
综上可知，当以A，C，D，E为顶点的四边形是矩形时，AC的长为 或2.
(3)【解】BC的长为2 或3 或 .【点拨】①当∠AED=90°时,如图③.
∵AC∥DE,∴∠CAE=180°-∠AED=90°.
∴∠BAC=90°.
∵∠B=30°,∴BC=2AC.
∵在 Rt△BAC 中,
∴易得
②当∠ADE=90°时,如图④.
∵AC∥DE,∴∠CAD=180°-∠ADE=90°.
∵AD∥BC,∴∠ACB=∠CAD=90°,
∴BC +AC =AB .∵∠B=30°.∴AB=2AC.
∵AB=3,∴易得
③当∠EAD=90°时，有两种情况，情况一：如图⑤，设AD与CE相交于点O',作AH⊥BC于点 H,
∴∠AHB=90°.
又∵∠B=30°,AB=3,
由折叠可知∠AEC=∠B=30°,∴∠AO'E=60°.
由(1)可知O'A=O'C,∴∠O'AC=∠O'CA=30°.
∵AD∥BC,∴∠ACB=∠O'AC=30°,
∴∠B=∠ACB.∴AB=AC.
情况二:如图⑥,设AE与CD 相交于O',在 ABCD 中,∠ADC =∠B =30°,∴∠AO'D=60°.
由(1)知∠O'DE=∠O'ED,
∴∠O'DE=∠O'ED=30°.
∵AE=AB=3,∴易得 综上可知，BC的长为2或 或3或

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