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专项培优7构造三角形中位线的常用方法
类型 1 利用角平分线和垂线构造三角形的中位线
1.如图,在△ABC 中,M 为 BC 的中点,AD 为△ABC的外角∠EAB的平分线,且AD⊥BD.若AB=12,AC=18,连接 DM,求 DM的长.
类型 2 利用倍长法构造中位线
2. 如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,BD⊥AC于点 D,CE平分∠ACB,交AB于点 E,交 BD于点 F.求证：
(1)△BEF 是等腰三角形;
类型 3 取一边中点构造三角形中位线
3.(1)用数学的眼光观察如图①，在四边形 ABCD中,AD=BC,P是对角线BD的中点,M是AB的中点,N是 DC的中点,求证:∠PMN=∠PNM.
(2)用数学的思维思考如图②，延长图①中的线段AD交 MN 的延长线于点 E,延长线段 BC 交MN的延长线于点 F.求证:∠AEM=∠F.
(3)用数学的语言表达如图③,在△ABC中,AC专项培优7 构造三角形中位线的常用方法
1.【解】如图,延长 BD交AE 于点 N.
∵AD 为∠EAB的平分线,
∴∠NAD=∠BAD.
∵AD⊥BD,
∴∠ADN=∠ADB=90°.
又∵AD=AD,
∴△AND≌△ABD(ASA).
∴DN=DB,AN=AB.
∵M为 BC的中点,∴DM是△BCN的中位线.
2.【证明】 (1)∵在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,∴∠ACB=45°.
又∵CE平分∠ACB,
∵BD⊥AC,∴∠BDC=90°.
∴易得∠BEF=∠CFD=∠BFE=67.5°.
∴BE=BF.∴△BEF是等腰三角形.
(2)如图,延长AB至点M,使得 BM=AB,连接CM.
∵AB=BC,BD⊥AC,∴AD=CD.
又∵BM=AB,
∴∠BFE=∠MCE.
由(1)得∠BEF=∠BFE,
∴∠BEF=∠MCE.∴ME=MC.
∵AB=BC,BM=AB,∴BC=BM.
又∵BE=BF,
3.(1)【证明】∵P 是BD 的中点,N 是 DC 的中点,M是AB 的中点,
又∵AD=BC,∴PM=PN.
∴∠PMN=∠PNM.
(2)【证明】由(1)知,PN 是△BDC 的中位线,PM 是△ABD的中位线,∴PN∥BC,PM∥AD.
∴∠PNM=∠F,∠PMN=∠AEM.
又∵∠PNM=∠PMN,∴∠AEM=∠F.
(3)【解】△CGD是直角三角形.
证明:连接BD,取 BD的中点P,连接 PM,PN.
∵N是CD的中点,M是AB 的中点.
又∵AD=BC,∴PM=PN.∴∠PNM=∠PMN.
∵PM∥AD,∴∠PMN=∠ANM=60°.
∴∠PNM=∠PMN=60°.
又∵PN∥BC,∴∠CGN=∠PNM=60°.
又∵∠CNG=∠ANM=60°,
∴△CGN是等边三角形.∴CN=GN.
又∵CN=DN,∴DN=GN.
∴∠CGD=∠CGN+∠NGD=90°.
∴△CGD是直角三角形.

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