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专项培优6构造平行四边形解题的应用类型
类型 1 证线段相等
1.如图,在 Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于 D,BG 平分∠ABC,分别交 AD,AC 于点E,G,EF∥BC交AC于点 F,求证:AE=CF.
类型2 证角相等
2.[2025西安雁塔区模拟]如图,在 ABCD中,E,F是对角线 AC上的两点，且 AE=CF，求证：∠BEA=∠DFC.
类型3 证两线段互相平分
3.如图,在ABCD 中,AE⊥BC,CF⊥AD,DN=BM.求证:EF与MN互相平分.
类型4 证线段间的倍分关系
4.[2025 天津和平区期中] 如图,在ABCD 中,∠ABC和∠DAB 的平分线 BE与 AE交于点 E,且点 E恰好在边 CD上.
(1)若AD=3,BE=4,则AE的长为 .
(2)点 F 为 AE 的中点,连接 CF,交 BE于点 G,求证:BG=3EG.
类型 5 证线段间的和差关系
5.如图,在ABCD中,AB>AD,∠DAB与∠ADC的平分线交于点 E，∠ABC与∠BCD的平分线交于点 F,连接 EF.证明:EF=AB-BC.
类型 6 证线段间的位置关系
6.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AE⊥CD,且AE=12,BD=15,AC=20.
(1)求 AB+CD的长;
(2)求证:AC⊥BD.
类型 7 解决面积问题
7.如图,在四边形 ABCD中,AD∥BC,E为 DC的中点.求证： 四边形ABCD·
类型 8 解决周长问题
8.【问题探究】如图，六边形ABCDEF 的六个内角均为120°,分别延长 CB,FA交于点 G,得到△ABG.请判断△ABG的形状，并证明你的结论.
【结论应用】若AB=3,BC=5,CD=4,DE=1,求六边形 ABCDEF的周长.
专项培优 6 构造平行四边形解题的应用类型
1.【证明】如图所示,过点 E作EH∥FC,交 BC 于点 H,∴∠3=∠C.
∵∠BAC=90°,AD⊥BC,
∴∠ABC+∠C=90°,∠ABD+∠BAD=90°.
∴∠C=∠BAD.∴∠3=∠BAD.
∵BG平分∠ABC,∴∠2=∠1.
又∵BE=BE,
∴△ABE≌△HBE(AAS).
∴AE=HE.
∵EF∥BC,EH∥CF,∴四边形EHCF 是平行四边形.∴HE=CF.∴AE=CF.
2.【证明】如图,连接 BF,DE,连接 BD交AC 于点O.
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA=OC,OB=OD.
∵AE=CF,
∴AE-OA=CF-OC,即OE=OF.
∴四边形 BEDF 是平行四边形.
∴BE∥DF.
∴∠BEA=∠DFC.
3.【证明】如图,连接MF,FN,NE,EM.
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC,AD=BC,∠B=∠D. N
∵AE⊥BC,∴AE⊥AD.
又∵CF⊥AD,∴AE∥CF.
∴四边形 AECF 是平行四边形.
∴AF=CE.∴BE=FD.
又∵BM=DN,∠B=∠D,
∴△BEM≌△DFN(SAS).∴EM=FN.
同理可得 MF=EN,∴四边形 MENF 是平行四边形.
∴EF与MN 互相平分.
4.(1)2 【点拨】∵四边形 ABCD 是平行四边形,AD=3,∴AB∥CD,AD ∥BC,AB=CD,AD=BC=3.∴∠EAB=∠DEA,∠CEB = ∠ABE. ∵ AE 平分∠DAB,BE平分∠ABC,∴∠DAE=∠EAB,∠CBE=∠ABE.∴∠DAE=∠DEA,∠CBE=∠CEB.∴AD=DE=3,EC=BC=3.∴AB=CD=6.易知∠DAB+ ∴∠EAB+∠EBA = 90°.∴∠AEB = 90°.∴AE=
(2)【证明】取 BE的中点 T,连接 FT,CT,则ET=BT.
由题知EF=FA,
易知 CD∥AB,CD=AB,
DE=EC,
∴FT=EC,FT∥EC.
∴四边形 ECTF 是平行四边形.
∴BG=GT+BT=EG+ET=EG+2EG=3EG.
5.【证明】延长 DE交AB 于点M,如图.
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD=BC,CD∥AB,
∴ ∠ADC + ∠BAD = 180°,∠CDM=∠AME.
∵AE,DE分别平分∠DAB,∠ADC,
∴∠ADE+∠DAE=90°,∠ADM=∠CDM,
∴∠AED=90°,∠ADM=∠AMD,
∴AD=AM=BC,ED=EM.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB=∠BCD.
∵AE平分∠DAB,CF平分∠BCD,
∴∠DAE=∠BCF,
同理可得∠ADM=∠CBF=∠ABF,
∴△ADE≌△CBF,∴DE=BF,∴EM=BF.
∵∠AMD=∠ADM=∠ABF,∴EM∥BF,
∴四边形 EFBM是平行四边形,∴EF=MB.
∵BM=AB-AM=AB-BC,∴EF=AB-BC.
6.(1)【解】如图,过点 A 作AF∥BD,交 CD的延长线于点 F.
∵AB∥CD,∴四边形ABDF是平行四边形.
∴DF=AB,AF=BD=15.
∵AE⊥CD,AE=12,AC=20,
∴在 Rt△AEF中, 在 Rt△AEC中,
∴CF=EF+EC=25.
∴AB+CD=DF+CD=CF=25.
(2)【证明】∵AF=15,AC=20,CF=25,
∴∠FAC=90°.∴AF⊥AC.
又∵AF∥BD,∴AC⊥BD.
·【证明】如图，过点E作FH∥AB，交AD的延长线于点F,交 BC于点 H.
∵AF∥BH,
∴四边形 ABHF为平行四边形.
AF∥BC,∴∠F=∠1,∠2=∠C.
又∵E为DC 的中点,∴DE=CE.
∴△DEF≌△CEH(AAS).∴S△DEP=S△CEH.
8.【解】【问题探究】△ABG是等边三角形.
证明:∵六边形 ABCDEF的六个内角均为120°,
∴∠CBA=∠BAF=120°.∴∠GBA=∠BAG=60°.
∴△ABG是等边三角形.
【结论应用】如图,延长 CD 和 FE交于点 H，
由题易得△DEH是等边三角形，
∴DH=HE=DE=1.
∴CH=CD+DH=5.
∵△ABG是等边三角形，
∴BG=AG=AB=3.∴CG=BC+BG=8.
∵六边形ABCDEF 的六个内角均为 120°,
∴∠C=∠F=120°.
又∵∠G=60°,∴∠C+∠G=180°,∠F+∠G=180°.
∴CH∥GF,CG∥HF.
∴四边形 CGFH 是平行四边形.
∴GF=CH=5,HF=CG=8.
∴六边形ABCDEF的周长为(5+8)×2-3-1=22.

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