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21.2.3 三角形的中位线
基础提优题目
1.[2025山西]如图,在ABCD中,点O是对角线AC的中点，点 E是边 AD的中点，连接OE.下列两条线段的数量关系中一定成立的是 ( )
A. B.
C. D.
2.如图，李伯伯家有一块等边三角形的空地ABC,已知点 E,F分别是边 AB,AC的中点,量得 EF=5m 他想把四边形 BCFE 用篱笆围成一圈放养小鸡，则需用篱笆的总长为( )
A.10m B.13 m C.23 m D.25 m
3.如图,在△ABC中,AB=BC=14,BD是AC边上的高,垂足为D,点 F在边 BC上,连接AF,E为AF的中点,连接DE,若DE=5,则 BF的长为 ( )
A.3 B.6 C.5 D.4
4.[2025 泰州期末] 如图,在四边形 ABCD 中,AC⊥BD,DB=4,AC=6,点 E,F分别为AB,CD的中点,则EF= .
5.如图，在四边形 ABCD中，点E，F分别是边AB,AD的中点,BC=15,CD=9,EF=6,∠AFE=50°,则∠ADC的度数为 .
6.如图,在△ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,点 H在线段 CE上,连接BH,G,F分别为 BH,CH的中点.
(1)求证：四边形 DEFG 为平行四边形；
(2)若DG⊥BH,BD=3,EF=2,求线段 BG的长度.
综合应用题
7.如图,点 E 在 △ABC 的内部,AE平分∠CAB,CE⊥AE于点 E,F是 BC的中点,连接EF,若AC=5,AB=9,则EF的长为 ( )
A.2 B.2.4 C.3 D.3.5
8.如图，在四边形 ABCD中，∠A=90°,AB=12,AD=5,M,N分别为线段BC,AB上的动点(含端点，但点 M不与点 B 重合)，E，F分别为DM,MN的中点,则 EF的长度可能为 ( )
A.2 B.5 C.7 D.9
9.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,E,F分别是AC,BD的中点,已知AB=12,CD=6,则EF= .
10.[2025无锡期中]如图,在ABCD中,E是 BC边的中点，将△ABE沿AE进行折叠，点 B 落在点F处,连接CF,若AE=AB=9,BC=12,则CF的长等于 .
11.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D为线段 BC上一点(不与点 B，C重合)，连接AD并延长到点 E,使得DE=AD,连接BE.过点 B作BE 的垂线交直线 AC 于点F,连接 FE,若 BD = 2,CF= 3, △AEF 的面积为 .
12.【阅读理解】如图①，在四边形ABCD中,AB=CD,E,F分别是 BC,AD 的中点，连接 EF并延长，分别与 BA，CD的延长线交于点 M,N,则∠BME=∠CNE(不需证明);分析:如图①,连接 BD,取 BD 的中点 H,连接 HE，HF，根据三角形中位线定理，证明HE=HF,从而得∠1=∠2,再利用平行线的性质,可证得∠BME=∠CNE;
【问题拓展】如图②,在△ABC中,AC>AB,D点在AC上,AB=CD,E,F分别是BC,AD的中点，连接 EF 并延长，与 BA 的延长线交于点G，试判断△AGF的形状，并说明理由.
创新拓展题
13.(1)如图①,BD,CE 分别是△ABC的外角平分线,过点 A 作 AF⊥BD,AG⊥CE,垂足分别是 F,G,连接 FG.求证: [提示：分别延长AF,AG与直线 BC相交]
(2)如图②,若 BD,CE 分别是△ABC的内角平分线,过点 A 作AF⊥BD,AG⊥CE,垂足分别是 F,G,连接 FG.线段 FG与△ABC的三边又有怎样的数量关系 写出你的猜想，并给予证明.
21.2.3 三角形的中位线
1. C 2. D 3. D
4. 【点拨】如图,取 BC边的中点G,连接 EG,FG.∵E,F分别为AB,CD的中点,∴EG是△ABC的中位线,FG是△BCD的中位线. 又∵DB=4,AC=6,AC⊥BD,∴EG=3,FG=2,EG⊥FG.∴在 Rt△EGF 中, EF=
5.140°【点拨】连接 BD.∵点 E,F分别是边AB,AD的中点,EF=6,∴EF∥BD,BD=2EF=12.∴∠ADB=∠AFE=50°.在△BDC中, BC = 225,则 ∴∠ADC=90°+50°=140°.
6.(1)【证明】∵D,E分别为AB,AC的中点,G,F分别为BH,CH的中点,
∴DE 是△ABC的中位线,GF 是△HBC的中位线.
∴DE∥GF,DE=GF.
∴四边形 DEFG为平行四边形.
(2)【解】∵四边形 DEFG为平行四边形,
∴DG=EF=2.
∵DG⊥BH,∴∠DGB=90°.
A 【点拨】延长 CE交 AB 于G.∵AE平分∠CAB,∴∠CAE=∠GAE.∵CE⊥AE,∴∠AEC=∠AEG=90°.又∵AE=AE,∴△AEC≌△AEG(ASA).∴CE=GE,AG=AC=5.∴BG=AB-AG=4.∵F是BC的中点，
8. B 【点拨】连接 DN.由题意易知 最大时，EF最大，DN最小时，EF 最小.易知 N 与 B 重合时 DN 最大，此时 ∴EF的最大值为 6.5.当 N 与A 重合时 DN最小,∴DN≥5.∴EF≥2.5.∴EF的长度可能为5.
9.3 【点拨】连接CF并延长交AB 于点G.∵E,F分别为AC,BD的中点,∴DF=BF,CE=EA.∵AB∥CD,∴∠FDC=∠FBG.又∵∠DFC=∠BFG,∴△FDC≌△FBG(ASA).∴BG=DC=6,CF=FG.∴AG=AB-BG=12-6=6,∴EF= AG=3.
10.4 【点拨】如图,连接 BF交AE 于点G,由折叠的性质可知,AE 垂直平分BF,∴∠BGA=∠BGE=90°,G为BF 的中点.∵E是BC边的中点,∴BE=EC,EG= CF.设 EG=x,则CF=2x.∵AE=AB=9,BC=12,
在 Rt△AGB 中, AG ,在 Rt△EGB 中, 解得x=2.∴CF=4.
11.50 【点拨】过点 A 作AS∥BE交 BF 于点 S,AS交BC于L,过点 E作EQ⊥AF,交AF 的延长线于点Q,如图.∵AS∥BE,∴∠BEA=∠EAS.∵∠BDE=∠ADL,DE=AD,∴△BDE≌△LDA.∴BD=DL.∵BD=2,∴DL=2.∵BE⊥BF,∴∠EBF=90°.∴∠ASB=90°.∴∠ASF=90°.∵∠ASB=∠ACB=90°,∠ALC=∠BLS,∴∠BCF=90°,∠LBS=∠LAC.∵BC= AC,∠BCF =∠ACB,∴△BCF≌△ACL.∴LC=CF=3.∴BC=BD+DL+LC=7,CD=DL+LC=2+3=5.∴AC=7.∴AF=AC+CF=7+3=10.∵EQ⊥AF,CD⊥AF,AD=DE,∴易得
12.【解】△AGF是等腰三角形，理由如下：
如图,连接 BD,取 BD 的中点 H,连接 HF,HE.
∵F是AD的中点,
∴∠1=∠G.
同理
∴∠2=∠EFC、
∵∠AFG=∠EFC,∴∠2=∠AFG.
∵AB=CD,∴HF=HE,∴∠1=∠2.∴∠AFG=∠1.
∴∠AFG=∠G.∴△AGF为等腰三角形.
13.(1)【证明】如图①,延长AF,AG与直线 BC 分别相交于点M,N.∵AF⊥BD,∴∠AFB=∠MFB=90°.
∵BD是△ABC的外角平分线,
∴∠ABF=∠MBF.
又∵BF=BF,∴△ABF≌△MBF(ASA).
∴AB=MB,AF=MF.
同理可证CN=AC,AG=NG,
∴FG是△AMN的中位线.
①
(2)【解】猜想: 证明：如图②，延长AG,AF 与直线BC 分别相交于点 P,Q.
同(1)可证△ABF≌△QBF,△PCG≌△ACG,
∴QB=AB,AF=QF,CP=AC,AG=PG,
∴FG是△APQ的中位线,∴PQ=2FG.
∴BC=BQ+CP-PQ=AB+AC-2FG,

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