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21.2.2 平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定(1)
基础提优题目
1.从下面所给的∠A,∠B,∠C,∠D 的度数之比中,能判定四边形ABCD 是平行四边形的是( )
A.2:3:2:3 B.2:2:3:3
C.1:2:3:4 D.1:2:2:3
2.如图,AB=CD=EF,且△ACE≌△BDF,则图中平行四边形的个数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
3.小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成了一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是 ( )
A.①② B.③④ C.②③ D.①④
4.如图，在△ABC中，按如下步骤尺规作图：①分别以点A，C为圆心，以大于 AC的长为半径作弧，两弧交于点 E,F;②作直线 EF,交 AC 于点 O;③作射线 BO,在射线 BO上截取OD(B与D不重合),使得OD=OB;④作直线 AD,连接CD,则四边形 ABCD是平行四边形，理由是
5.如图,E,F是ABCD对角线 BD上的两点，请你添加一个适当的条件： ，使四边形 AECF 是平行四边形.
6.如图,在ABCD中,AB⊥AC,E,F分别在边 BC和AD 上,EF∥AB,交 AC 于点 P.若 CD=6,AC=8,CE=7,则AF的长为 .
7.如图，以△ABC的三边为一条边在 BC 的同侧分别作三个等边三角形,即△ABD,△BCE,△ACF,求证：四边形ADEF 是平行四边形.
综合应用题
8.如图，等边三角形 ABC是一块周长为12 m的草坪，点 P 是草坪内的任意一点，过点 P 有三条小路 PD,PE,PF,且满足 PD∥AC,PE∥AB,PF∥BC，则三条小路的总长度为 ( )
A.12m B.6 C.4m D.6m
9.如图,ABCD的对角线交于点O,EF 过点O且分别交AD,BC于点 E,F,在 BD上找点 M,N(点N在点 M下方)，使以点 E，F，M，N为顶点的四边形为平行四边形.在甲、乙两种方案中，正确的方案是 ( )
A.甲、乙 B.甲
C.乙 D.甲、乙都不正确
10.如图,已知∠XOY=60°,点A 在边 OX 上,OA=4.过点 A 作 AC⊥OY 于点 C,以 AC 为一边在∠XOY内作等边三角形 ABC,点 P 是△ABC围成的区域(包括各边)内的一点，过点 P 作 PD∥OY交OX于点 D,作 PE∥OX交OY于点 E.设OD=a,OE=b,则a+2b的最大值与最小值的和是 ( )
A.
B.14
C.7
D.8
11.如图，在平面直角坐标系中，O(0,0),A(-2,-1),B(0,2),C为平面内一点,若O，A，B，C恰好构成一个平行四边形，则平面内符合条件的点C的坐标为 .
12.如图是由边长为1 的小等边三角形构成的“草莓”状网格，每个小等边三角形的顶点为格点.线段 AB 的端点在格点上，要求以AB为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上，则最多可画 个平行四边形.
创新拓展题
13.如图,在ABCD中,对角线 AC,BD 相交于点O,OA=5cm,E,F为直线 BD上的两个动点(点E,F 始终在ABCD 的外面),连接 AE,CE,CF,AF.
(1)若
①求证：四边形 AFCE 为平行四边形；
②若 CA 平分∠BCD,∠AEC=60°,求四边形AFCE的周长.
(2)若 四边形 AFCE 还是平行四边形吗 若 呢 简单说明理由.
第2课时 平行四边形的判定(2)
基础提优题目
1.如图,AD∥BC,AD=BC,AC,BD交于点O,过点O的直线 EF 交 AD 于点 E,交 BC 于点 F,则图中的全等三角形共有 ( )
A.7对 B.6对 C.5对 D.4对
2.八年级6班的一个互助学习小组组长收集并整理了组员们讨论如下问题时所需的条件：①BE=DF;②∠B=∠D;③∠BAE=∠DCF;④四边形ABCD是平行四边形.
问题：如图所示，在四边形ABCD中，点 E，F分别在边 BC,AD 上, ,求证:四边形 AECF是平行四边形.你能在横线上填上最少且简捷的条件使结论成立吗
其中所填条件符合题目要求的是 ( )
A.①②③④ B.①②③
C.①④ D.④
3.如图所示,AB∥DC,AC平分∠BAD,DB 平分∠ADC,AC 和 BD 交于点 E,若 S△ABE =4,则S△ACD= .
4.如图，在四边形 ABCD中，E是BC边的中点，连接 DE 并延长，交 AB 的延长线于 F点，AB=BF，请你添加一个条件(不需再添加任何线段或字母)，使之能推出四边形 ABCD为平行四边形，你添加的条件是 .
5.[2025 苏州]如图,C 是线段 AB 的中点,∠A=∠ECB,CD∥BE.
(1)求证:△DAC≌△ECB;
(2)连接DE,若AB=16,求 DE的长.
综合应用题
6.现有一张平行四边形纸片ABCD,AD>AB,要求用尺规作图的方法在边 BC，AD 上分别找点 M，N，使得四边形 AMCN为平行四边形，甲、乙两名同学的作法如图所示，下列判断正确的是( )
A.甲对、乙不对 B.甲不对、乙对
C.甲、乙都对 D.甲、乙都不对
7.如图,E是ABCD的边AB上的点,Q是CE的中点，连接BQ并延长交 CD 于点 F，连接 AF与DE 相交于点 P,若 则阴影部分的面积为 ( )
A.24 cm B.17 cm C.13 cm D.10 cm
8.[2025安徽]在如图所示的ABCD中,E,G分别为边AD,BC的中点,点 F,H分别在边 AB,CD上移动(不与端点重合)，且满足AF=CH，则下列为定值的是 ( )
A.四边形 EFGH 的周长 B.∠EFG的大小
C.四边形 EFGH 的面积 D.线段 FH的长
9.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,对角线AC,BD相交于点O,AE⊥BD于点 E,CF⊥BD于点F,连接AF,CE,若DE=BF,则下列结论:①CF=AE;②OE=OF;③图中共有四对全等三角形;④四边形 ABCD是平行四边形.
其中正确的结论是 (填序号).
10.如图，四边形 ABCD 是平行四边形,直线EF∥AB分别交AD,BC于点 M,N,且EF=AB,连接AE,DE,BF,CF.
(1)证明:△ADE≌△BCF;
(2)连接 BE,CE,设四边形 ABCD 的面积为 S,△ABE和△CDE的面积和为T,求T/ 的值.
创新拓展题
11.如图，等边三角形 ABC 的边长为10 cm,动点 M从点 B 出发,沿 B→A→C→B的方向以4 cm/s的速度运动，动点 N 从点 C 出发,沿 C→A→B→C 的方向以3cm/s的速度运动.
(1)若动点 M，N同时出发，则经过几秒后，两点第一次相遇
(2)若动点 M，N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点立即停止运动.那么运动到第几秒时，点A,M,N以及△ABC的边上一点 D 恰能构成一个平行四边形 求出运动的时间，并请指出此时点 D 的具体位置.
21.2.2 平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定(1)
1. A 2. D 3. B
4.对角线互相平分的四边形是平行四边形
5. BE=DF(答案不唯一) 6.3
7.【证明】∵△ABD,△BCE都是等边三角形,
∴BD=AB,BC=BE,∠DBA=∠EBC=60°.
∴∠DBA-∠EBA=∠EBC-∠EBA,即∠DBE=∠ABC.
∴△DBE≌△ABC(SAS).∴DE=AC.
又∵△ACF是等边三角形,∴AC=AF,∴DE=AF.
同理可证AD=EF,∴四边形ADEF 是平行四边形.
8. C 【点拨】如图,延长FP交AB于点G.∵△ABC是等边三角形,且周长为12 m,∴AB=AC=BC=4m ,∠A=∠B=∠C=60°.∵PF∥BC,∴∠AFG=∠C=60°,∠AGF=∠B=60°.∴△AGF 是等边三角形.∴FG=AG.∵PD∥AC,∴∠PDB=∠A=60°.∴△DGP是等边三角形.∴DP=PG.∴PD+PF=PG+PF=FG=AG.∵FG∥BC,PE∥AB,∴四边形 BGPE 是平行四边形.∴PE=BG.∴PD+PF+PE=AG+BG=AB=4m.
9. A 【点拨】甲方案:∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD,AD∥BC,∴∠EAO=∠FCO.又∵∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF(ASA).∴OE=OF.∵OB=OD,BN=DM,∴OB-BN=OD-DM,即ON=OM.∴四边形 EMFN 是平行四边形.乙方案:在 ABCD中,OB=OD, DE∥BF,∴∠EDO=∠FBO,∠DEO=∠BFO. ∴△DEO≌△BFO(AAS).∴OE=OF.∵EM平分∠DEF, FN 平分∠BFE, ∴ ∠MEO =∠NFO.又∵∠EOM=∠FON, ∴△EMO≌△FNO(ASA).∴MO=NO.∴四边形 EMFN为平行四边形.
10. B 【点拨】如图,过点 P 作 PH⊥OY 交 OY 于点 H,∴∠PHC=90°=∠ACO.∵PD∥OY,PE∥OX,∴四边形 EODP 是平行四边形,∠HEP=∠XOY = 60°.∴EP=OD = a,∠OAC =∠EPH = 30°. ∴ EH = 2(EH+EO)=2OH.当点 P 在 AC 边上时,H 与 C 重合,此时OH 的最小值=OC=2,即a+2b的最小值是4;当 P 与点 B 重合时,∵△ABC是等边三角形,OC=2,OA=4,∴BC=AC= -2 =2 易知∠HCP=30°, 3.∴OH 的最大值是OC+CH=2+3=5,即a+2b的最大值是10.
∴a+2b的最大值和最小值的和=10+4=14.
11.(2,3)或(-2,-3)或(-2,1) 12.4
13.(1)①【证明】∵四边形 ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD.
∴OE=OF.∴四边形 AFCE为平行四边形.
②【解】∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AD∥BC.∴∠DAC=∠BCA.
∵CA平分∠BCD,∴∠BCA=∠DCA.
∴∠DCA=∠DAC.∴AD=CD.
∵OA=OC,∴OE⊥AC.
∴OE 是AC 的垂直平分线.∴AE=CE.
∵∠AEC=60°,∴△ACE是等边三角形.
∴AE=CE=AC=2OA=10 cm.
由(1)可知，四边形 AFCE 为平行四边形，∴C四边形AFCE=2(AE+CE)=2×(10+10)=40(cm).
(2)【解】若 四边形 AFCE 是平行四边形.理由：
∴OB+BF=OD+DE,即OF=OE.
又∵OA=OC,∴四边形 AFCE 为平行四边形.
若 四边形 AFCE 是平行四边形.理由：
∴OB+BF=OD+DE,即OF=OE.
又∵OA=OC,∴四边形 AFCE 为平行四边形.
第2课时 平行四边形的判定(2)
1. B 2. C 3.8 4. CD∥AB(答案不唯一)
5.(1)【证明】∵C是线段AB 的中点,
∵CD∥BE,∴∠DCA=∠B.
又∵∠A=∠ECB,∴△DAC≌△ECB(ASA).
(2)【解】∵AB=16,∴BC= AB=8.
∵△DAC≌△ECB,∴CD=BE.
又∵CD∥BE,∴四边形 BCDE 是平行四边形.
∴DE=BC=8.
6. C 【点拨】甲:由作图可知,BM=BA,DN=DC.∵四边形 ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AD=BC,AD∥BC.∴BM=DN.∴CM=AN.∴四边形 ANCM 是平行四边形;乙:由作图可知,AM 平分∠BAD,CN 平分∠BCD,∴∠BAM=∠DAM,∠BCN=∠DCN.∵四边形 ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AD=BC,AD∥BC.∴∠DAM=∠BMA,∠DNC=∠BCN.∴∠BAM=∠BMA,∠DNC=∠DCN. ∴AB = BM,CD = DN.∴BM=DN.∴AN=CM.∴四边形 ANCM 是平行四边形.故选 C.
7. B 【点拨】连接 EF,如图.∵四边形 ABCD 为平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD.∴∠BEC=∠FCE.∵Q是CE的中点,∴EQ=CQ.又∵∠BQE=∠FQC,∴△BEQ≌△FCQ(ASA).∴BE=CF.∴四边形 BCFE 为平行四边形.∴易知 BE=CD-CF,即AE=FD,∴四边形 ADFE为平行四边形.∴S△PEP=S△APD=3 cm .∴阴影部分的面积 14+3=17(cm ).故选 B.
8. C 【点拨】如图,连接EG.∵四边形 ABCD 是平行四边形.∴AB=CD,AD∥BC且AD=BC.∵E,G分别为AD,BC的中点, BG.又∵AE∥BG,∴ 四边形 ABGE 是平行四边形,∴AB=EG,AB∥EG.同理四边形 DCGE 是平行四边形,∴DC=EG,DC∥EG.∴AB=EG=DC.易知△GEF与△GEH 的面积分别为 ABGE 与 EGCD 面积的一半.∵四边形 EFGH 的面积 ，四边形EFGH 的面积始终为 ABCD 面积的一半，是定值.选项A：EF，FG等边长随F，H移动变化，周长不定，错误.选项 B:∠EFG 的大小随 F 位置改变，错误.选项. D；FH 长度随F，H移动变化，错误.综上，四边形 EFGH 的面积是定值，故选 C.
9.①②④【点拨】∵DE=BF,∴DF=BE.∵AE⊥BD,CF⊥BD.∴∠CFD=90°=∠BEA.又∵DC=AB,∴Rt△DCF≌Rt△BAE(HL).∴CF=AE,故①正确;∵AE⊥BD 于点 E,CF⊥BD 于点 F,∴AE∥FC.又∵CF=AE,∴四边形 CFAE 是平行四边形,∴OE=OF,故② 正确;∵Rt△DCF≌Rt△BAE,∴∠CDF=∠ABE.∴CD∥AB.又∵CD=AB,∴四边形 ABCD 是平行四边形，故④正确；由以上易得出：△CDF≌△ABE,△CDO≌△ABO,△CDE≌△ABF,△CFO≌△AEO,△CEO≌△AFO,△ADF≌△CBE,△DOA≌△BOC等,故③错误.综上,正确的结论是①②④.
10.(1)【证明】∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,AD=BC.
∵EF∥AB,EF=AB,
∴AB∥EF∥CD,AB=EF=CD.
∴四边形 ABFE 是平行四边形，四边形 CDEF 是平行四边形.∴AE=BF,ED=CF.
∴△ADE≌△BCF(SSS).
(2)【解】如图,连接AN,DN.易证四边形 ABNM 和四边形CDMN 都是平行四边形.
∵MN∥AB∥CD,
11.【解】(1)第一次相遇的时间为
(2)设运动时间为 ts.∵等边三角形 ABC的边长为10 cm,∴AB=AC=BC=10 cm.
①当点 M在AB 上,点 N在AC 上,点 D 在 BC 上时,BM=4t cm,CN=3t cm.
当四边形 ANDM为平行四边形时，DM=AN,DM∥AN.
∵△ABC为等边三角形，
∴易得△BMD是等边三角形.∴BM=DM.∴BM=AN.
∴BM+CN=CN+AN=AC=10 cm.∴3t+4t=10.
此时易得
②当点 M在AC 上,点 N在AB 上,点 D 在 BC 上时,AM=(4t-10) cm,AN=(3t-10) cm.当四边形 ANDM是平行四边形时，AN=DM易得△MCD是等边三角形，∴CM=DM,∴AN=CM.∴AM+AN=AM+CM=AC=10cm.∴4t-10+3t-10=10,
解得 此时易得
③当点M在BC上,点 N在AB 上,点 D在AC 上时,同理易得△BMN 和△MCD 都是等边三角形，
此时CM=(4t-20) cm,AN=(3t-10) cm.易知CM=AN,∴4t-20=3t-10,解得 t=10.∵10×3÷4=7.5(s),10>7.5,∴t=10不符合题意,舍去.
综上所述，当运动的时间为 s时,点 D 在BC 上,离 B点 cm；当运动的时间为 s时,点 D 在 BC 上,离 B点 cm.

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