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21.2.1 平行四边形及其性质
第1课时 平行四边形的性质
基础提优题目
1.[2025绍兴期中] 在ABCD中,∠A:∠B=2:1,则∠C的度数为 ( )
A.50° B.60° C.100° D.120°
2.如图，在平面直角坐标系中，ABCD 的顶点A(-3,2),点 B(-1,-2),点C(3,-2)，则点 D的坐标为 ( )
A.(1,2) B.(2,1) C.(1,3) D.(2,3)
3.如图,在ABCD中,AB=5,AD=7,∠ADC的平分线交 BC于点 E，则 BE的长为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.如图,在ABCD中,AC,BD为对角线,BC=6,BC边上的高为5，则阴影部分的面积为 ( )
A.8 B.10 C.15 D.30
5.如图,AC 是ABCD 的对角线,点 E 在 AC 上,AD=AE = BE,∠D =114°,则∠BAC 的度数是 .
6.如图,在ABCD中,以 A为圆心,AB 长为半径画弧交AD于F.分别以点F，B为圆心，大于 BF长为半径画弧，两弧交于点 G，作射线 AG 交 BC于点E,若BF=6,AB=5,则AE的长为 .
7.如图,ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E 在 AD上,点 F 在 BC上,连接 EF 使 EF恰好经过点 O.
(1)求证:DE=BF;
(2)若AC⊥BD,ED+CF=5,AC=6,求 BD的长.
综合应用题
8.已知ABCD 的周长为 48 cm,∠ABC的平分线交边 AD 所在的直线于点 E，且AE: ED=3:2,则边AD的长是 ( )
A.9 cm或18 cm B.6 cm 或 15 cm
C.9 cm D.15 cm
9.如图,在ABCD中,对角线AC,BD 相交于点 O.过点 O 作 OE⊥AC 交 AD 于 E.如果 AE=4,DE=2,DC=2 ，则AC的长为 ( )
A.3 B.4 C.5 D.
10.[2025 邢台期中]将一张平行四边形纸片 ABCD按如图所示的方式折叠，CE，CF为折痕，折叠后点 B',D',C在同一直线上,连接BB',DB'.已知 ，则∠EBC的度数为 ( )
A.49° B.44° C.42° D.40°
11. 如图,在△ABC中,AB=AC=5cm,BC=8cm,P 是边 AC上的一个动点，以 BC为对角线作平行四边形 BPCD,则 DP 的长度最小为 cm.
12.如图，在平面直角坐标系中，A(-2,0),P为y轴上一动点,连接AP 并延长至点 D,使 DP=AP,取y轴负半轴上一点 B,使得OA=OB,以AB,AD为边作□ABCD.
(1)点 B 的坐标为 .
(2)设点 P 的坐标为(0,m),则点 D 的坐标为 (用含m的代数式表示)，连接OC，则OC长度的取值范围为 .
13.由杭州云深处科技打造的智能四足机器人——“绝影”机器狗已在多种行业中示范应用，机器狗水平行走时侧面如图①所示，四边形 CDGE，四边形 EFHG都是平行四边形,CE = 30 cm,EF = 40 cm,∠EFN=30°,∠CEF=60°,则此时 CD 离地面的高度为 cm；当机器狗前脚直立时，侧面如图②所示,此时E,C,D 三点刚好共线,∠EFN=30°,∠CEF = 75°,则机器狗的身长 CD = cm.
创新拓展题
14.在一次数学探究活动中，小明用两条直线把平行四边形 ABCD分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等.
(1)请在图①中的三个平行四边形中画出满足小明分割方法的直线；
(2)根据小明的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有 组.由上述实验操作过程，你发现小明所画的两条直线的主要特点是 ；
(3)拓展延伸：如图②，将一张平行四边形的纸片ABCD沿过对角线 AC 的中点O 的直线 EF 折叠,折痕分别交边 AD,BC于点 E,F,点 A 落在点A 处,点 B落在点 B 处.设 FB 交CD于点G,A B 分别交 CD,AD 于点 H,I.求证:EI=FG.
第2课时 平行四边形性质的综合及平行线之间的距离
基础提优题目
1.如图,直线AB∥CD,EF⊥AB于点 E,交CD于点F,直线 MN交AB于点 M,交 CD于点 N,交 EF于点O.若直线AB和CD之间的距离可以是图中一条线段的长，则这条线段是 ( )
A. MN B. OE C. EF D. OF
2.在同一平面内，设a，b，c是三条互相平行的直线，已知a与b之间的距离为5cm ，b与c之间的距离为4 cm，则a与c之间的距离为 ( )
A.1 cm B.9 cm
C.4 cm或5cm D.1 cm或9 cm
3.如图,在ABCD 中,AC与 BD 交于点 O,AD=12,AC=26,∠ADB=90°,则AD与 BC间的距离为 ( )
A.5 B.10 C. D.26
4.[2025黄石期末]如图,在ABCD中,E,F分别是边AB,CD上的点,AF与DE相交于点 P,BF与CE 相交于点 Q,若四边形 EPFQ的面积为20 cm ,则图中阴影部分的面积为 cm .
5.[2025上海静安区月考] 如图,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,对角线 AC,BD交于点O,若△ABC的面积是4,AB:CD=1:3,则△ACD 的面积= ;若△AOB 的面积是 1,△ABC 的面积是4,则△AOD 的面积= .
6.如图,在ABCD中,DF平分∠ADC,交 BC于点E,交AB 的延长线于点 F.
(1)求证:AD=AF;
(2)若 AD=6,AB=3,∠A=120°,求 BF 的长和△ADF的面积.
综合应用题
7.如图,AB∥DC,ED∥BC,AE∥BD，那么图中和△ABD面积相等的三角形(不包括△ABD)有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8.如图,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,S△ADM =1,S△BNC=0.8,则S四边形EMFN= ( )
A.1.6 B.1.8 C.2 D.3.6
9.如图,在ABCD 中(AB≠BC),直线 EF 经过ABCD的对角线的交点O，且分别交AD，BC于点M,N,交 BA,DC 的延长线于点 E,F,连接DE,下列结论:①AO=BO;②OE=OF;③若BE=DE,则 EF 垂直平分 BD; 四边形ABNM.其中正确的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
10.如图，在ABCD中，对角线AC,BD交于点O,∠DAC=30°,AC=12,BC=5，点 P 从点 B 出发，沿着边 BC运动到点 C停止，在点 P 运动的过程中，若△OPC是直角三角形，则 BP 的长是 .
11.如图,在△ABC中,BC=6cm,射线AG∥BC,点E从点 A 出发沿射线 AG 以 2cm /s的速度运动，当点 E 出发1s后，点 F也从点 B 出发沿射线 BC以3cm/s的速度运动,分别连接AF,CE.设点 E 运动时间为 ts,其中t>0.
(1)若∠BAF<∠BAC,则t的取值范围是 .
(2)当t为何值时,AE=CF
(3)在点 E，F的运动过程中，是否存在某一时刻，使 若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.
创新拓展题
12.如图，在平面直角坐标系中，ABCD的顶点 A落在x轴上,顶点 C的坐标为(6,4), 点 P，Q分别是线段OB和CD上的两个动点，满足OP=2CQ,记CQ=x,连接AQ,PQ.
(1)点 B的坐标为 ，点 D的坐标为 ；
(2)若△APQ 是以 AQ 为腰的等腰三角形,求 x的值；
(3)连接 AC 交 PQ 于点 M,连接 PC,记四边形AMQD 的面积为 S ,△CMP 的面积为 S .当AC⊥PQ时,求 的值.
21.2.1 平行四边形及其性质
第1课时 平行四边形的性质
1. D 2. A
3. B 【点拨】∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC=7,AB=DC=5.∴∠ADE=∠CED.∵∠ADC的平分线交 BC 于点 E,∴∠ADE=∠CDE.∴∠CDE=∠CED.∴CE=CD=5.∴BE=BC-CE=7-5=2.故选 B.
4. C
5.22°【点拨】设∠BAC=α.∵AE=BE,∴∠EBA=∠BAC=α,∴∠BEC=∠EBA+∠BAC=2α.∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC=AD,AD∥BC,AB∥CD.又∵AD=BE,∴BE=BC,∠DAC=∠BCE.∴∠BCE=∠BEC=∠DAC=2α.∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=3α.∵AB∥CD,∴∠D+∠BAD=180°,即 114°+3α=180°.∴α=22°,即∠BAC=22°.
6.8 【点拨】设 AE交 BF 于点O.由作图可知 AB=AF=5,AE平分∠BAD,∴∠FAE=∠BAE,AE垂直平分BF.∴BO= BF=3.∵四边形 ABCD是平行四边形,∴AD∥BC. ∴∠EAF=∠AEB. ∴ ∠BAE =∠AEB.∴AB=BE.∴BF垂直平分AE.∴AO=OE=
7.(1)【证明】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OD=OB,AD∥BC.
∴∠EDO=∠FBO,∠DEO=∠BFO.
∴△DEO≌△BFO(AAS).∴DE=BF.
(2)【解】由(1)知 BF=DE.
∵ED+CF=5,∴BF+CF=BC=5.
∵四边形 ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD,∴∠BOC=90°.
8. B 【点拨】如图①,当点 E在线段AD 上时.∵AE平分∠ABC,∴∠ABE=∠EBC.∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC. ∴∠EBC=∠AEB. ∴∠ABE=∠AEB.∴AB=AE.∵AE: ED=3:2,∴设 AE=3x cm,ED=2x cm.∴AB=3x cm.∵□ABCD的周长是48 cm,∴2(3x+3x+2x)=48,解得x=3.∴AD=AE+ED=3x+2x=5x=15 cm;如图②,当点 E在AD的延长线上时,同理可得AB=AE.∵AE: ED=3:2,∴设AE=3x cm,ED=2x cm,∴AB=3x cm,AD=AE-ED=3x-2x=x cm.∵□ABCD的周长为48 cm,∴2(3x+x)=48,解得x=6,∴AD=6 cm.综上所述,边AD的长是6 cm或15 cm.
9. B 【点拨】连接CE.∵四边形 ABCD 是平行四边形、∴AO=CO.∵OE⊥AC,∴OE垂直平分AC.∴CE=AE=4. 90°.∴∠AEC=90°.∴△AEC是等腰直角三角形.∴AC=
10. A 【点拨】设∠EBC=α.∵四边形 ABCD是平行四边形,∴∠ADC=∠EBC=α,AB∥CD.∴∠BCD=180°-∠EBC=180°-α.∵B'C=BC,∴∠BB'C=∠B'BC=58°.∴∠BCB'=180°-∠BB'C-∠B'BC=180°-58°-58°=64°.∴∠B'CD=∠BCD=∠B'CB=180°- ,解得a=49°,即∠EBC=49°,
11. 【点拨】设 DP交 BC 于点O.∵四边形 BPCD是平行四边形,∴AC∥BD,OB=OC=4 cm,DO=PO.∵P是边AC上的一个动点,∴当 DP⊥AC时,DP 最小.连接 AO. ∵ AB = AC = 5 cm,∴ AO⊥ BC, 即 解得 PO= 即 DP 的长度最小为 (1)(0,-2) (2)(2,2m);OC≥4
【点拨】(1)∵A(-2,0),∴OA=2.又∵OA=OB,∴OB=2.∴B(0,-2).
(2)如图，过点 D作x轴的平行线交y轴于点F，过点 C作y轴的平行线交 FD 于点 E,则∠PDF=∠PAO,∠DFP=∠DEC=∠AOB=∠AOP =90°.∴易知△DPF≌△APO.∴DF=AO=2,FP=OP.∵P(0,m),∴OP=|m|.∴FP=|m|.∴OF=2|m|=|2m|.∴点 D 的坐标为(2,2m).∵四边形 ABCD为平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD.∴∠DAB+∠ADC=180°.∵∠FDP+∠ADC+∠CDE=180°,∴∠DAB=∠FDP+∠CDE.∴∠BAO=∠CDE. ∴△CDE≌△BAO.∴DE=AO=2.∴FE=2+2=4.∵CE⊥EF,CE∥y轴，∴C点始终在平行于y轴的直线上运动，并且这条直线与y轴的距离为4.∴点 O到这条直线的距离为4.∴OC长度的取值范围为OC≥4.
13.35;(50 -30)
14.(1)【解】(答案不唯一)作图如图所示.
(2)无数；两条直线都经过平行四边形对角线的交点
(3)【证明】∵四边形ABCD是平行四边形,点O是AC的中点，
∴∠BAD=∠BCD,∠B=∠D,AD∥BC,OA=OC.
∴∠OAE=∠OCF.
又∵∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF(ASA).
∴AE=CF.
由折叠的性质得
∵∠DHI=∠B,HG,
∴∠DIH=∠B GH.
又∵∠A IE=∠DIH,∠BGH=∠CGF,
∴△A IE≌△CGF(AAS).
∴EI=FG.
第2课时平行四边形性质的综合及平行线之间的距离
1. C 2. D 3. B
4.20 【点拨】连接 EF，由平行四边形的性质可得AB∥CD，由平行线间距离处处相等易得 所以 即 同理可得 则图中阴影部分的面积
5.12 ；3【点拨】先根据平行线间的距离相等得到 即可求得△ACD的面积，再由平行线间的距离相等得到 最后根据 即可求解.
6.(1)【证明】在 ABCD中,AB∥CD,
∴∠CDE=∠F.
∵DF平分∠ADC,∴∠ADE=∠CDE.
∴∠F=∠ADF.∴AD=AF.
(2)【解】∵AF=AD=6,AB=3,∴BF=AF-AB=3.
过点 D作DH⊥AF,交 FA 的延长线于点 H，如图.
∵∠BAD=120°,
∴∠DAH=60°.
∴∠ADH=30°.
∴△ADF 的面积
点方法应用平行四边形的边角性质的“两注意”：
(1)注意隐含条件的挖掘：平行四边形提供了线段的数量及位置关系，也提供了角的关系，为证明线段的相等、角的相等、三角形的全等提供了条件.
(2)在解题时，能应用平行四边形直接得到的结论，不要再通过三角形的全等去证明.
7. B【点拨】根据两平行线间的距离可知，夹在两条平行线间的任何平行线段都相等，而后可推出两三角形同底等高，面积相等.
8. B
9. C 【点拨】∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AO=OC,BO=OD,不能得到 AO=BO,故①错误;∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠EBO=∠FDO.
又∵OB=OD,∠BOE=∠DOF,∴△BOE≌△DOF,∴OE=OF,故②正确;∵BE=DE,BO=OD,∴EO垂直平分BD.∵点 F 在 EO 的延长线上,∴EF 垂直平分BD,故③正确;同理可得△BON≌△DOM.又∵BO= 故④正确.故选C.
10. 或2 【点拨】∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AO=CO=6,AD∥BC.∴∠ACB=∠DAC=30°.如图,当∠COP=90°时,∵∠ACB=30°,∴PC=2OP. 当∠OP'C=90°时,∵∠ACB= 综上所述，BP 的长为 或2
11.【解】(1)0(2)由题意得AE=2t cm,BF=3(t-1) cm,∴CF=[6-3(t-1)] cm或CF=[3(t-1)-6] cm,∵AE=CF,∴2t=6-3(t-1)或2t=3(t-1)-6,解得 或t=9,即当t的值为 或9时,AE=CF.
(3)存在.
(点F 在线段BC 上).
∵AG∥BC,∴△ACF 和△ACE 的高相等,
∴AE=CF,由(2)知
∴当 时，
12.【解】(1)(8,0);(0,4)
(2)过点Q作QH⊥x轴于点 H,则 QH=OD=4,∠QHA=90°.
∵CQ=x,OP=2CQ,
∴OP=2x,DQ=OH=6-x,∴AH=6-x-2=4-x.若△APQ是以AQ 为腰的等腰三角形，则分两种情况：当AQ=PQ时,PH=AH=4-x.
∵PH=OP-OH=2x-(6-x)=3x-6,
∴4-x=3x-6,解得
当AQ=AP时, 整理，得 解得 (负值已舍去).
综上，满足条件的x值为或
(3)过点 Q作QH⊥x轴于点 H,过点 C作CT⊥x轴于点T,则∠CTA=∠QHP =90°,CT=QH =OD =4,OT=6,
∴AT=OT-OA=4=CT,
∴Rt△ATC是等腰直角三角形,∴∠CAT=45°.
∵AC⊥PQ,∴∠APM=90°-∠CAP=45°,
∴Rt△QHP为等腰直角三角形，
∴QH=PH.∵PH=3x-6,∴4=3x-6,解得
连接AQ.∵CD∥x轴,

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