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21.1.2 多边形及其内角和
基础提优题目
1.[2025 广安期中]下列说法正确的有 ( )
①由n(n≥3)条线段首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形；
②正多边形的各边都相等；
③各角都相等的多边形是正多边形；
④等边三角形是正多边形；
⑤正多边形的各对角线相等.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.对于八边形对角线的描述，正确的是( )甲：过八边形的一个顶点可以引出5条对角线；乙：过八边形的一个顶点画出所有的对角线，可以将这个八边形分成5个三角形.
A.甲对，乙错 B.甲错，乙对
C.甲、乙都对 D.甲、乙都错
3.苯分子的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的.随着研究的不断深入，发现苯分子中的6个碳原子与6个氢原子均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等(如图①)，组成了一个完美的六边形(正六边形)，图②是其平面示意图，则∠1的度数为 ( )
A.130° B.120° C.110° D.60°
4.如图，将五边形 ABCDE沿虚线裁去一个角，得到六边形 ABCDGF，则下列说法正确的是( )
A.外角和减少 180° B.外角和增加180°
C.内角和减少180° D.内角和增加180°
5.“花影遮墙，峰峦叠窗”，苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素.如图是窗棂中的部分图案.若∠1=∠2=75°,∠3=∠4,∠5=80°,则∠3的度数是 .
6.如图，将正五边形纸片 ABCDE 折叠，使点 B 与点 E 重合，折痕为AM，展开后，再将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B 的对应点为点 B',折痕为 AF,则∠AFB'为 .
7.已知一个正多边形的边数为n.
(1)若这个正多边形的内角和的 比外角和多90°，求n的值；
(2)若这个正多边形的一个内角为108°，求 n的值.
综合应用题
8 如果一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1 080°，那么原多边形的边数为 ( )
A.7 B.7或8
C.8或9 D.7或8或9
9.小聪利用所学的数学知识，给同桌出了这样一道题：如图，假如从点A 出发，沿直线走6m 后向左转θ，接着沿直线前进6m 后，再向左转θ，…，如此下去，当第一次回到点 A 时，一共走了72m，则θ的度数为 ( )
A.60° B.75°
C.30° D.45°
10.如图,n边形 A A A A A …A ,从n边形的一个顶点出发可以作 条对角线.若过n边形的一个顶点有 7条对角线，m边形没有对角线，k边形对角线的总条数等于边数，则n-m+k= .
11.剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选1张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了 2 张纸片，这样共有 3 张纸片；从这 3 张中任选 1张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有 4 张纸片……如此下去，若最后得到 10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5张四边形纸 片，则还 有 一 张 多 边 形 纸 片 的 边 数为 .
12.新考法 阅读信息法 阅读小明和小红的对话，解决下列问题.
(1)这个“多加的锐角”是 .
(2)小明求的是几边形的内角和
(3)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度
创新拓展题
13.【初识模型】如图①，是我们常见的“8”字模型图,请证明:∠A+∠B=∠D+∠E.【模型求解】如图②,线段 EF 在四边形 ABCD 内部,连接 BE,CF 相交于点 O,请借助“8”字模型的结论求:∠A+∠ABE+∠DCF+∠D+∠E+∠F的度数.
【构造模型】如图③，是我们常见的“五角星”，请你添加辅助线，借助于“8”字模型求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
【模型应用】我们可以利用连接多边形的某些对角线画出类似于“五角星”的“六角星”“七角星”“八角星”等,如图④,“七角星 ABCDEFG”的七个内角和∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7= ；猜测“n角星”的n个内角的和为 (用含n的式子表示).
21.1.2 多边形及其内角和
1. B 2. A 3. B 4. D 5.65°
由图形的折叠可知 ∠AFB'= ∠AFB, ∴ ∠BAF = 27°. ∴ ∠AFB'=∠AFB=180°-∠B-∠BAF=180°-108°-27°=45°.
7.【解】(1)依题意,得 解得n=12.
(2)∵正多边形的一个内角为108°，
∴这个正多边形的一个外角为72°.
∵多边形的外角和为
8. D
9. C【点拨】∵第一次回到点 A 时，所经过的路线正好构成一个正多边形，∴正多边形的边数为72÷6=12.∵多边形的外角和为 360°,∴θ=360°÷12=30°.
10.(n-3)；12 【点拨】从 n边形的一个顶点出发可以作(n-3)条对角线.∵过n边形的一个顶点有7条对角线,∴n=7+3=10.∵m边形没有对角线,∴m=3.∵k边形对角线的总条数等于边数， ∴k-3=2.∴k=5.∴n-m+k=10-3+5=12.
11.6【点拨】由题意可知，每剪一次，所有的多边形的内角和增加360°，最后得到 10张纸片，故剪了9次，即增加的度数为360°×9.设还有一张多边形纸片的边数为n，可得( 解得 n=6.
12.【解】(1)30°
(2)设这个多边形为 n边形，由题意，得( 解得 n=12,
∴小明求的是十二边形的内角和.
∴这个正多边形的一个内角是 150°.
13.【初识模型】【证明】∵∠A+∠ACB+∠B=180°,∠D+∠E+∠DCE=180°,∠DCE=∠ACB,∴∠A+∠B=∠D+∠E.
【模型求解】【解】由(1)可知,∠E+∠F=∠EBC+∠FCB,
∴∠A+∠ABE+∠DCF+∠D+∠E+∠F
=∠A+∠ABE+∠DCF+∠D+∠EBC+∠FCB
=∠A+∠ABC+∠BCD+∠D=360°.
【构造模型】【解】连接CD，如图①.
6.45°【点拨】∵五边形的内角和为(
由(1)得∠B+∠E=∠1+∠2.在△ACD中,∠A+∠ACD+∠ADC=180°,.即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4=180°,∴∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E=180°.
【模型应用】540°;180°n-720°【点拨】如图②,连接CF,由(1)可得,∠FCE+∠CFD=∠FDE+∠CED,∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=∠1+∠ACF+∠AFC+(∠2+∠7+∠4+∠5+∠FDE+∵五角星的内角和=180°,七角星的内角和=3×180°,∴“n角星”的 n个内角的和为

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