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第二十一章四边形热门考点整合应用
核心考点 整合
考点1 多边形的内角和与外角和
1.新考法整体求值法 如图，在五边形 ABCDE中，AB∥CD,∠1,∠2,∠3是外角,则∠1+∠2+∠3=( )
A.100°
B.180°
C.210°
D.270°
2.按要求完成下列各小题.
(1)一个多边形的内角和比它的外角和多900°，求这个多边形的边数；
(2)如图,若正五边形 ABCDE 和长方形 AFCG按如图方式叠放在一起，求∠EAF的度数.
考点2 平行四边形的性质和判定
3.如图，在下列给出的条件中，可以判定四边形ABCD为平行四边形的条件是 ( )
A. AD=BC,∠B=∠D
B. AD∥BC,AB=CD
C. AB=CD,AD=BC
D. AB∥CD,∠A=∠B
4.如图,在ABCD中,AD=5,BE=8,△DCE的面积为6,则△ABE的面积为 .
5.如图,在ACFD中,点 B,E分别在AC,DF上,AB=FE,AF交CE于点 N,
(1)求证：四边形 BCED 是平行四边形；
(2)已知 DE=6,连接 BN,若 BN平分∠DBC,则CN的长为 .
考点3 三角形的中位线
6.如图,在四边形 ABCD中,AB=CD,E,F,G分别是 BC,AC,AD 的中点,若∠EFG=130°,则∠EGF的度数为 ( )
A.20° B.25° C.30° D.35°
7.在周长为600米的三角形地块中修建如图所示的三条水渠，则水渠的总长为 米.
考点4 直角三角形斜边上的中线的性质
8.[2025杭州一模]如图,△ABC 是边长为6 的等边三角形,点 D 为AB延长线上一点,AB:AD=3:5,过D作 CB所在直线的垂线,垂足为 E,连接 CD,F 为 DC 的中点,则线段 EF 的长是 .
考点5 矩形的性质与判定
9.如图是一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋.若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变.当∠α= 时，该活动框架是矩形.
10.[2025河北]如图,将矩形 ABCD沿对角线 BD折叠,点 A 落在点 A'处,A'D 交 BC 于点 E.将△CDE沿 DE折叠,点 C落在△BDE内的点 C'处，下列结论一定正确的是 ( )
A. B.∠1=α
C. D.∠2=2α
11.如图,在矩形 ABCD中,AD=18,AB=24.
(1)求点 B到AC的距离;
(2)点 E 为边 DC上的一个动点,△AD'E 与△ADE关于直线 AE对称，当△CD'E 为直角三角形时，直接写出 DE 的长.
考点 6 菱形的性质与判定
12.如图,菱形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点O,过点 C作 CE⊥AB,交AB 于点 E,连接OE,若OE=3,OB=4,则CE的长为 ( )
A. B.
C. D.
13.小颖买了一盏简单而精致的吊灯(如图①)，其正面的平面图如图②所示，四边形ABCD是一个菱形外框架，对角线 AC，BD相交于点O，四边形 AECF 是其内部框架，且点 E，F在 BD上,BE=DF.
(1)求证：四边形内部框架 AECF 为菱形；
(2)若AE⊥AD,F为DE的中点, 求四边形AECF的周长.
考点7 正方形的性质与判定
14.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列判断正确的是 ( )
A.若AC⊥BD,则四边形 ABCD 是菱形
B.若AC=BD,则四边形 ABCD是矩形
C.若AC⊥BD,AC=BD,则四边形 ABCD是正方形
D.若 AO=OC,BO=OD,则四边形 ABCD 是平行四边形
15.活动课上，同学们以正方形为背景，探究图形运动中的数学结论.已知在正方形 ABCD 中，AB=6，点 E 是射线 CD 上的一个动点，连接AE,以AE为边作正方形 AEGF(点 F 在边 AD所在直线的上方)，连接 DF，探索发现：
(1)如图①，勤学小组画出了点 E与点C重合时的图形，此时点 F 到边 AD所在直线的距离为 .
(2)如图②，创思小组画出点 E恰好是线段 CD中点时的图形，请你解答如下问题：
①判断线段 AF与 DF 的数量关系，并说明理由；
②直接写出此时点 F 到边 AD 所在直线的距离.
思想方法整合
思想1 方程思想
16.[2025 泰州月考]如图,已知正方形纸片ABCD 的边长为 12.现将正方形纸片沿MN折叠，使得 D点折到 BC边上的 E 点处,且折痕 MN=13,则 DM的长为 .
思想2 分类讨论思想
17.如图,在 Rt△ABC 中,∠B= 点D从点 C出发沿CA方向以每秒2个单位长度的速度向点 A 匀速运动，同时点 E 从点 A 出发沿 AB 方向以每秒1个单位长度的速度向点 B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点 D,E运动的时间是 ts(t>0).过点 D作DF⊥BC于点 F,连接DE,EF.
(1)求证：四边形 AEFD是平行四边形.
(2)四边形 AEFD 能成为菱形吗 如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由.
(3)当t为何值时，△DEF 为直角三角形 请直接写出结果.
1. B 【点拨】如图,延长AB,DC.∵AB∥CD,∴∠4+∠5=180°.∵多边形的外角和为 360°.∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°,∴∠1+∠2+∠3 = 360°-(∠4 +∠5)=360°-180°=180°.
2.【解】(1)设这个多边形的边数为 n，根据题意，得(n-2)× 这个多边形的边数是9.
(2)∵正五边形的内角和为(
∴其每个内角为
∴∠ABC=∠EAB=108°.
∵长方形每个内角为90°,∴∠F=90°.
∴∠EAF=∠EAB+∠BAF=108°+18°=126°.
3. C
4.16 【点拨】作 DG⊥BE于G,AH⊥BC于H.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,BC=AD=5.∴AH=DG.∵BE=8,∴CE=3.又∵△DCE的面积为6,∴AH=DG=4.∴△ABE的面积为 故答案为16.
5.(1)【证明】∵四边形 ACFD 是平行四边形,∴AC∥DF,AC=DF.
∵AB=FE,∴BC=DE.∴四边形 BCED是平行四边形.
(2)6 【点拨】由(1)可知,BC=DE,四边形 BCED是平行四边形,∴BD∥CE.∴∠DBN=∠CNB.∵BN 平分∠DBC,∴∠DBN =∠CBN.∴∠CBN =∠CNB.∴CN=CB=DE=6.
6. B
7.300 【点拨】如图,∵点 D,E,F分别为AB,BC,AC的中点， 的周长为600米,∴AB+BC+AC=600米. 米.∴水渠的总长为300米.
8. 【点拨】∵△ABC 是边长为 6 的等边三角形，∴AB=BC=6,∠ABC=60°.∵AB:AD=3:5,∴AD=10.∴ BD = AD-AB = 4. ∵ DE⊥BC,∠DBE =∠ABC=60°,∴∠BDE = 30°.∴ BE= BD=2. ∵ F 为 DC 的中点,∴EF=
9.90°
10. D 【点拨】∵四边形 ABCD 是矩形,∴AD∥BC,∠C=90°.∴∠ADB=∠1.由折叠知∠ADB=∠A'DB,
∴∠1=∠A'DB.∵∠DEC=90°-α,即2∠1=90°-α,
故 A 不正确.∵∠BDE≠∠CDE,
∴∠1≠α.故 B 不正确.由折叠知∠C'ED=∠CED.
∴∠2=180°-2∠CED=180°-2(90°-α)=2α.故C不正确,D正确.故选 D.
11.【解】(1)设点 B 到AC 的距离为h.∵四边形 ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,AD=BC=18.
又∵
即点 B 到 AC 的距离为
(2)DE的长为18或 9. 【点拨】易知∠ECD'≠90°,分以下两种情况讨论:①当∠CED'=90°时,如图①.∵∠CED'=90°,∴根据轴对称的性质得∠AED= 易知∠D=90°,∴△ADE 是等腰直角三角形.∴DE=AD=18;
②当∠ED'C=90°时,如图②,
根据轴对称的性质得∠AD'E=∠D=90°,AD'=AD=18,DE=D'E,∴∠AD'E+∠CD'E=180°.∴A,D',C在同一直线上.由(1)得AC=30,∴CD'=30-18=12.设 DE=D'E=x,则 EC = CD-DE =24-x,在Rt△D'EC中, 即 x) ,解得x=9,即 DE=9.综上所述,DE的长为18或9.
12. C
13.(1)【证明】∵四边形 ABCD 是菱形,
∴OB=OD,OA=OC,AC⊥BD.
∵BE=DF,∴OE=OF.
∴四边形 AECF 是平行四边形.
∵AC⊥BD,∴平行四边形 AECF 是菱形.
(2)【解】∵AE⊥AD,∴△ADE 是直角三角形.
∵F为DE 的中点,∴AF=EF=DF.
∵四边形 AECF 是菱形,
∴AE=AF.∴AE=EF=AF.
∴△AEF 是等边三角形.∴∠AEF=60°.
∴∠ADE=30°,∴DE=2AE.
∵四边形 ABCD 为菱形,∴AD=AB=6
在 Rt△ADE中,
∴菱形 AECF 的周长为4×6=24.
14. D
15.【解】(1)6
(2)①AF=DF.理由如下:如图,过点 F作FH⊥AD 于点 H,∴∠FHA=90°. ∴∠1+∠2=90°. ∵ 四边形ABCD 和四边形AEGF 均为正方形,∴∠ADE=90°,AD=CD,AE=AF,
∠FAE= 90°. ∴ ∠2 +.∠3= 90°. ∴ ∠1 = ∠3.又∵∠FHA=∠ADE = 90°, ∴△FAH≌△AED.∴AH=ED. ∵ E 是 CD 的 中 点,
又∵FH⊥AD,∴FH垂直平分AD.∴AF=DF.
②点 F 到边AD 所在直线的距离为6.【点拨】由①可知△FAH≌△AED,∴FH=AD.又∵AD=AB=6,∴FH=6,即点 F到边AD 所在直线的距离为6.
【点拨】如图,过点. N 作 NH⊥CD,垂足为 H.由题意得 NH=AD=12.∵MN=13,NH⊥CD,∴在Rt△NHM中,. 5.易知 DE⊥MN,∴∠EDC+∠HMN=90°.∵NH⊥CD,∴∠HMN+∠MNH=90°,∴∠EDC=∠MNH,又易知 DC=NH,∠C=∠NHM=90°,∴△EDC≌△MNH,∴CE=HM=5.设DM=x,由翻折的性质可知 EM =-x,则 MC = 12 -x. 在Rt△MCE中，由勾股定理得 即 解得
17.(1)【证明】由题意得 CD=2t,AE=t.
∵在△DFC中,∠DFC=90°,∠C=30°,
∵∠B=90°,∴AE∥DF,
∴四边形AEFD是平行四边形.
(2)【解】四边形AEFD能成为菱形.
∵在Rt△ABC中,∠B=90°,∠C=30°,
∴易得
∴AD=AC-DC=10-2t.
由(1)知四边形AEFD为平行四边形，
∴若使□AEFD为菱形,则需 AE=AD.
∴t=10-2t,解得
∴当 时，四边形AEFD为菱形.
(3)【解】当 或4时，△DEF为直角三角形.
【点拨】根据题意，分三种情况讨论：①当∠EDF=90°时,如图①所示,∵∠EDF=∠DFC=90°,∴DE∥BC,
∴∠ADE=∠C,∠B=∠AED.∵∠B=90°,∠C=30°.∴∠AED=90°,∠ADE=30°,∴在 Rt△AED中,AD=2AE,即10-2t=2t.解得
②当∠EFD=90°时，由题意可知此种情况不存在；③当∠FED=90°时,如图②所示,由(1)知四边形 AEFD 是平行四边形,∴AD∥EF,∴∠ADE=∠FED=90°.∵∠A=90°-30°=60°,∴∠AED=30°.∴AD= AE. 解得 t=4.综上所述，当 或 4 时,△DEF为直角三角形.

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