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专项培优9特殊四边形中的动点问题
类型 1 平行四边形中的动点问题
1.如图，M，N是平行四边形ABCD对角线 BD上的两点.
(1)若BM=MN=DN,求证:四边形 AMCN为平行四边形；
(2)若M，N为对角线 BD上的动点(均可与端点重合),设BD=12 cm,点 M由点 B向点 D 匀速运动,速度为 2cm /s,同时点 N 由点 D 向点 B 匀速运动，速度为 a cm/s，运动时间为 t s.若要使四边形AMCN 为平行四边形，求a 的值及 t的取值范围.
类型 2 矩形中的动点问题
2.如图,在矩形 ABCD中,AB=12 cm,BC=6 cm,点 P 沿 AB边从点 A 开始向点 B 以 2cm /s的速度移动，点Q 沿 DA 边从点 D 开始向点 A 以1 cm/s的速度移动，如果点 P，Q 同时出发，移动时间为 ts(0≤t≤6).
(1)当t为何值时，△QAP 为等腰三角形
(2)求四边形 QAPC的面积，并探索一个与计算结果有关的结论.
类型 3.菱形中的动点问题
3.如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2 和5，P是对角线 AC 上任意一点(点P 不与点 A，C重合),且 PE∥BC 交 AB 于点E,PF∥CD交AD于点F，则图中阴影部分的面积是 .
4.[2025广州期中]已知在菱形ABCD中,∠DAB=30°.
(1)如图①.过点 B作 BE⊥AD 于点 E,连接CE,点F是线段CE的中点，连接 BF，若 求线段 BF 的长度;
(2)如图②,连接AC.若 AB=2 点Q 是对角线AC上的一个动点,求 QB+QC+QD 的最小值.
类型4 正方形中的动点问题
5.如图,在正方形 ABCD中,M,N为边 BC,CD上的动点(不含端点),连接AN,AM,MN,若AB= ,∠MAN=45°,则△MNC的周长是 ( )
A.
B.2
C.2
D.3
6.如图，在正方形 ABCD 中，AB=8，动点 P 以每秒2个单位长度的速度从点B 出发沿线段 BC方向运动，动点 Q同时以每秒8个单位长度的速度从点 B 出发沿正方形的边BA-AD-DC-CB方向顺时针运动,当点 P与点 Q相遇时停止运动，设点 P 的运动时间为 ts.
(1)当运动时间为 s时，点 P 与点 Q相遇；
(2)当 BQ∥PD时,求线段 DQ的长度;
(3)连接 PA,当△PAB 和以点 Q,A,D三点为顶点的三角形全等时，求t 的值.
专项培优9 特殊四边形中的动点问题
1.(1)【证明】如图,连接 AC,交 BD 于点 O.∵四边形ABCD 是平行四边形,∴BO=DO,AO=CO.
又∵BM=DN,∴OM=ON.
∴四边形 AMCN 为平行四边形.
(2)【解】由题意,得 BM=2t cm,DN= at cm.要使四边形 AMCN是平行四边形，则OM=ON，
∴易得6-2t=6-at,解得a=2.
∵当点 M,N 重合于点O,即 时,点 A,
M，C，N在同一条直线上，不能组成四边形，
∴当0≤t<3或32.【解】(1)由题意知∠A=90°,AD=BC=6 cm,DQ=t cm,AP=2t cm,则AQ=(6-t) cm.
若△QAP为等腰三角形,则只能是AQ=AP,∴6-t=2t.∴t=2.故当t=2时,△QAP为等腰三角形.
(2)由题意知CD=AB=12cm,BP=(12-2t) cm, 结论：在 P、Q的移动过程中，四边形 QAPC的面积始终不变,为36 cm .
3.2.5
4.【解】(1)∵BE⊥AD,∠DAB=30°,
∴BE=1.∴AB=2.
∵四边形 ABCD 是菱形,
∴AB=BC=2,AD∥BC.∴BE⊥BC.
在 Rt△CBE中,
∵点 F 是线段CE 的中点,
(2)如图,过点 C在直线AC 的上方作∠ACK=30°,分别过点 B,Q作 BH⊥CK 于点 H ,QG⊥CK 于点 G,BH 交AC 于点 Q',连接 BG,则
由菱形的性质可知，B、D关于直线AC 对称，∴QB = QD, ∴ QB + QC + QD = QC + 2QB =
当点 Q 与点Q'重合时，QG+QB 的值最小，最小值为BH 的长.
∵四边形ABCD 是菱形,
∴∠DAB=∠BCD=30°.
又∵∠ACK=30°,
∴∠BCK=∠BCA+∠ACK=45°.
∵∠BHC=90°,∴∠CBH=45°=∠BCH.
即 QG+QB 的最小值是2
∴QB+QC+QD 的最小值是4
5. C 【点拨】∵四边形 ABCD 是正方形,∴AB=AD=BC=CD,∠D=∠BAD=∠B=90°.如图,将△ABM绕点 A 顺时针旋转 90°得到 △ADE,则 AE = AM,∠ADE=∠B=90°,BM=DE,∠EAD=∠MAB,∴E在CD的延长线上.∵∠MAB+∠DAN=∠DAB-∠MAN=45°=∠MAN,∴∠EAD+∠DAN=∠EAN=∠MAN.又∵AN=AN,∴△EAN≌△MAN(SAS).∴MN=EN=DE+DN=BM+DN.∴△MNC的周长为MC+NC+MN=(MC+BM)+(NC+DN)= BC + DC.∵ DC = BC= 的周长为2故选 C.
6.【解】(1)3.2
(2)如图①.∵BQ∥PD,∴点 Q 只能在边AD 上.
∵四边形 ABCD 是正方形,∴AD∥BC,
∴四边形 BQDP 是平行四边形.
∴BP=DQ.
由题意得 BP=2t,DQ=16-8t,
∴2t=16-8t,∴t=1.6.
∴DQ=16-8t=3.2.
(3)①当点Q在边AB上,即0∵BP=2t,易知AQ=8-8t,∴8-8t=2t.∴t=0.8;②当点Q在边AD上,即1≤t≤2时,不能构成△QAD;③当点 Q在边 CD 上,即 2∴BP=DQ.易知QD=8t-16,∴2t=8t-16.∴l= ④当点Q在边BC上,即3综上，t的值为0.8或

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